ผลรวมโดยตรงของโมดูล

Q: การสร้างสำหรับปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิ

สมมติว่า V และ W เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ เหนือ ฟิลด์ K ผล คูณ คาร์ทีเซียน V × W สามารถกำหนดโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์เหนือ K ได้ ( Halmos 1974 , §18) โดยการกำหนดการดำเนินการแบบแยกส่วน:

Q: การก่อสร้างสำหรับกลุ่มอาเบเลียนสองกลุ่ม

สำหรับ กลุ่มอาเบเลียน G และ H ที่เขียนในรูปบวก ผลคูณโดยตรง ของ G และ H เรียกว่าผลรวมโดยตรง ( Mac Lane & Birkhoff 1999 , §V.6) ดังนั้น ผลคูณคาร์ทีเซียน G × H จึงมีโครงสร้างของกลุ่มอาเบเลียนโดยการกำหนดการดำเนินการแบบแยกส่วน:

ในพีชคณิตนามธรรมผลรวมโดยตรง (direct sum)คือโครงสร้างที่รวมโมดูลหลายๆโมดูลเข้าด้วยกันเป็นโมดูลใหม่ที่ใหญ่กว่า ผลรวมโดยตรงของโมดูลคือโมดูลที่เล็กที่สุดที่บรรจุโมดูลที่กำหนดให้เป็นโมดูลย่อยโดยไม่มีข้อจำกัด "ที่ไม่จำเป็น" ทำให้เป็นตัวอย่างของผลคูณร่วม (coproduct ) ซึ่งแตกต่างจากผลคูณโดยตรง (direct product)ซึ่งเป็นแนวคิดคู่ตรงข้าม

ตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดของการสร้างนี้เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ (โมดูลเหนือฟิลด์ ) และกลุ่มอาเบเลียน (โมดูลเหนือริงZของจำนวนเต็ม ) การสร้างนี้ยังสามารถขยายไปครอบคลุมปริภูมิบานาคและปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ อีกด้วย

โปรดดูบทความเรื่อง การแยกส่วนของโมดูลเพื่อเรียนรู้วิธีการเขียนโมดูลในรูปผลรวมโดยตรงของโมดูลย่อย

การสร้างปริภูมิเวกเตอร์และกลุ่มอาเบเลียน

เราจะแสดงวิธีการสร้างในสองกรณีนี้ก่อน โดยสมมติว่าเรามีวัตถุเพียงสองชิ้น จากนั้นเราจะขยายไปสู่ตระกูลของโมดูลใดๆ ก็ได้ องค์ประกอบสำคัญของการสร้างทั่วไปจะถูกระบุได้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นโดยการพิจารณาสองกรณีนี้อย่างละเอียด

การสร้างสำหรับปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิ

สมมติว่าVและWเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์K ผล คูณคาร์ทีเซียนV × Wสามารถกำหนดโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์เหนือK ได้ ( Halmos 1974 , §18)โดยการกำหนดการดำเนินการแบบแยกส่วน:

( v , w ) + ( v , w ) = ( v + v , w + w )
α ( โวลต์ , w ) = ( α โวลต์ , α w )

สำหรับv , v , v ∈ V , w , w , w ∈ Wและα ∈ K

ปริมาณเวกเตอร์ที่ได้นี้เรียกว่าผลรวมโดยตรงของVและWและมักจะใช้สัญลักษณ์บวกภายในวงกลมแทน $V\oplus W$

ตามธรรมเนียมแล้ว การเขียนองค์ประกอบของผลรวมที่มีลำดับจะไม่เขียนในรูปคู่ลำดับ ( v , w ) แต่จะเขียนในรูปผลรวมv + w

ปริภูมิย่อยV × {0} ของV ⊕ Wนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับVและมักถูกระบุว่าเป็นVเช่นเดียวกับ {0} × WและW (ดูผลรวมโดยตรงภายในด้านล่าง) ด้วยการระบุนี้ ทุกองค์ประกอบของV ⊕ Wสามารถเขียนได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้นในรูปผลรวมขององค์ประกอบของVและองค์ประกอบของWมิติของV ⊕ Wเท่ากับผลรวมของมิติของV และ W การใช้งานพื้นฐานอย่างหนึ่งคือการสร้างปริภูมิเวกเตอร์จำกัดขึ้นใหม่จากปริภูมิย่อยW ใดๆ และปริภูมิย่อยเชิงตั้งฉากของมัน: $\mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }$

โครงสร้างนี้สามารถขยายไปใช้กับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีจำนวนจำกัด ใดๆ ได้อย่างง่ายดาย

การก่อสร้างสำหรับกลุ่มอาเบเลียนสองกลุ่ม

สำหรับกลุ่มอาเบเลียนGและHที่เขียนในรูปบวกผลคูณโดยตรงของGและHเรียกว่าผลรวมโดยตรง( Mac Lane & Birkhoff 1999 , §V.6)ดังนั้นผลคูณคาร์ทีเซียนG × Hจึงมีโครงสร้างของกลุ่มอาเบเลียนโดยการกำหนดการดำเนินการแบบแยกส่วน:

( g , h ) + ( g , h ) = ( g + g , h + h )

สำหรับg , g ในGและh , h ในH

ตัวคูณจำนวนเต็มจะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันโดยแยกตามส่วนประกอบ

n ( g , h ) = ( ng , nh )

สำหรับgในG , hในHและnเป็นจำนวนเต็มนี่เป็นไปในทำนองเดียวกับการขยายผลคูณเชิงสเกลาร์ของปริภูมิเวกเตอร์ไปสู่ผลรวมโดยตรงข้างต้น

กลุ่มอาเบเลียนที่ได้นี้เรียกว่าผลรวมโดยตรงของGและHและมักจะใช้สัญลักษณ์บวกภายในวงกลมแทน $G\oplus H$

ตามธรรมเนียมแล้ว องค์ประกอบของผลรวมที่มีลำดับจะไม่เขียนในรูปคู่ลำดับ ( g , h ) แต่จะเขียนในรูปผลรวมg + h

กลุ่มย่อยG × {0} ของG ⊕ HสมสัณฐานกับGและมักถูกระบุว่าเป็นGเช่นเดียวกับ {0} × HและH (ดูผลรวมโดยตรงภายในด้านล่าง) ด้วยการระบุนี้ จึงเป็นความจริงที่ว่าทุกองค์ประกอบของG ⊕ H สามารถเขียน ได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้นในรูปผลรวมขององค์ประกอบของGและองค์ประกอบของH อันดับของG ⊕ H เท่ากับผลรวมของอันดับของGและH

โครงสร้างนี้สามารถขยายไปใช้กับกลุ่มอาเบเลียนที่มีจำนวนจำกัด ใดๆ ได้อย่างง่ายดาย

การก่อสร้างสำหรับตระกูลโมดูลใดๆ

ควรสังเกตความคล้ายคลึงกันอย่างชัดเจนระหว่างนิยามของผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิและของกลุ่มอาเบเลียนสองกลุ่ม อันที่จริงแล้ว แต่ละอย่างเป็นกรณีพิเศษของการสร้างผลรวมโดยตรงของโมดูลสองโมดูลนอกจากนี้ การปรับเปลี่ยนนิยามยังสามารถรองรับผลรวมโดยตรงของตระกูลโมดูลอนันต์ได้ นิยามที่แม่นยำมีดังต่อไปนี้( Bourbaki 1989 , §II.1.6 )

ให้Rเป็นริง และ { Mi : ∈ I } เป็นตระกูลของโมดูลซ้ายRที่กำหนดดัชนีโดยเซตIผลรวมโดยตรงของ { Mi ถูกกำหนดให้เป็นเซตของลำดับทั้งหมด $(\alpha _{i})$ ที่ไหน $\alpha _{i}\in M_{i}$ และ $\alpha _{i}=0$ สำหรับดัชนีi จำนวนจำกัด ( ผลคูณโดยตรงมีลักษณะคล้ายกัน แต่ดัชนีไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์แบบจำกัด)

นอกจากนี้ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชัน α จากIไปยังผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของโมดูลM โดยที่ α( i ) ∈ M สำหรับทุกi ∈ Iและ α( i ) = 0 สำหรับดัชนีi จำนวนจำกัดฟังก์ชันเหล่านี้สามารถมองได้เทียบเท่ากับ ส่วนตัด ที่มีการรองรับอย่างจำกัดของไฟเบอร์บันเดิ ล เหนือเซตดัชนีIโดยที่ไฟเบอร์เหนือ $i\in I$ สิ่งมีชีวิต $M_{i}$ .

เซตนี้สืบทอดโครงสร้างโมดูลผ่านการบวกแบบทีละส่วนประกอบและการคูณสเกลาร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลำดับ (หรือฟังก์ชัน) α และ β สองลำดับสามารถบวกกันได้โดยการเขียน $(\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}$ สำหรับทุกi (โปรดทราบว่าค่านี้จะเป็นศูนย์สำหรับทุกดัชนี ยกเว้นดัชนีจำนวนจำกัด) และฟังก์ชันดังกล่าวสามารถคูณกับองค์ประกอบrจากR ได้ โดยการกำหนด $r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}$ สำหรับทุกiด้วยวิธีนี้ ผลรวมโดยตรงจะกลายเป็น โมดูล R ด้านซ้าย และจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วย $\bigoplus _{i\in I}M_{i}.$

ตามธรรมเนียมแล้วจะเขียนลำดับดังนี้ $(\alpha _{i})$ โดยผลรวม $\sum \alpha _{i}$ บางครั้งผลรวมที่มีเครื่องหมายไพรม์ $\sum '\alpha _{i}$ ใช้เพื่อระบุว่าจำนวนพจน์ที่เป็นศูนย์มีจำนวนจำกัด

คุณสมบัติ

ผลรวมโดยตรงเป็นโมดูลย่อยของผลคูณโดยตรงของโมดูลM ( Bourbaki 1989 , §II.1.7)ผลคูณโดยตรงคือเซตของฟังก์ชันα ทั้งหมด จากIไปยังการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนของโมดูลM โดยที่α ( i )∈ M แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์สำหรับทุก i ยกเว้นi จำนวนจำกัด หากเซตดัชนีIเป็นเซตจำกัด ผลรวมโดยตรงและผลคูณโดยตรงจะเท่ากัน
แต่ละโมดูลM สามารถระบุได้ด้วยโมดูลย่อยของผลรวมโดยตรง ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันที่หายไปในทุกดัชนีที่แตกต่างจากiด้วยการระบุเหล่านี้ องค์ประกอบx ทุกตัวของผลรวมโดยตรงสามารถเขียนได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น ในรูป ผลรวมขององค์ประกอบจำนวนจำกัดจากโมดูลM
ถ้าM เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง ๆ แล้ว มิติของผลรวมโดยตรงจะเท่ากับผลรวมของมิติของM เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับอันดับของกลุ่มอาเบเลียนและความยาวของโมดูลด้วย
ทุกปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kนั้นสม isomorphic กับผลรวมโดยตรงของสำเนาK จำนวนมากพอ ดังนั้นในแง่หนึ่งจึงต้องพิจารณาเฉพาะผลรวมโดยตรงเหล่านี้เท่านั้น แต่สิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับโมดูลเหนือริงใดๆ
ผล คูณเท เซอร์กระจายตัวเหนือผลรวมโดยตรงในความหมายดังต่อไปนี้: ถ้าNเป็นโมดูลR ทางขวาบางตัว ผลรวมโดยตรงของผลคูณเท เซอร์ของ NกับMi (ซึ่งเป็นกลุ่มอาเบเลียน) จะสมมูลกันโดยธรรมชาติกับผลคูณเทนเซอร์ของN กับผลรวมโดยตรงของMi
ผลรวมโดยตรงมีคุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่ม (ยกเว้นไอโซมอร์ฟิซึม) ซึ่งหมายความว่าลำดับในการสร้างผลรวมโดยตรงนั้นไม่สำคัญ
กลุ่มอาเบเลียนของ โฮโมมอ ร์ฟิซึมเชิงเส้นRจากผลรวมโดยตรงไปยังโมดูลR L บางตัว นั้น สม isomorphic โดยธรรมชาติกับผลคูณโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนของ โฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้น RจากMiไปยังL : $\operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).$ อันที่จริง มีโฮโมมอร์ฟิซึมτ อย่างชัดเจน จากด้านซ้ายไปยังด้านขวา โดยที่τ ( θ )( i ) คือ โฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้น Rที่ส่งx ∈ M ไปยังθ ( x ) (โดยใช้การรวมตามธรรมชาติของM ในผลรวมโดยตรง) ส่วนกลับของโฮโมมอร์ฟิซึมτถูกกำหนดโดย $\tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))$ สำหรับα ใดๆ ในผลรวมโดยตรงของโมดูลM ประเด็นสำคัญคือ นิยามของτ ⁻¹ นั้น สมเหตุสมผล เพราะα ( i ) เป็นศูนย์สำหรับ i ทั้งหมด ยกเว้น iจำนวนจำกัดดังนั้นผลรวมจึงมีค่าจำกัด
โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเวกเตอร์คู่ของผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์นั้น สมมาตรกับผลคูณโดยตรงของปริภูมิคู่ของปริภูมิเหล่านั้น
ผล รวมโดยตรงแบบ จำกัดของโมดูลเป็นผลคูณสองทาง : ถ้า $p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}$ เป็นการแมปการฉายภาพแบบมาตรฐานและ $i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$ แผนที่การรวมนั้นคืออะไร $i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}$ เท่ากับมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของA ⊕ ⋯ ⊕ A และ $p_{k}\circ i_{l}$ คือการแปลงเอกลักษณ์ของA ในกรณีที่l = kและคือแผนที่ศูนย์ในกรณีอื่น ๆ

ผลรวมโดยตรงภายใน

สมมติว่าMเป็นR-โมดูล และMiเป็นซับโมดูลของสำหรับแต่ละiในIถ้าทุกxในM สามารถเขียน เพียงวิธีเดียวในรูปผลรวมขององค์ประกอบจำนวนจำกัดของMiแล้วเราจะกล่าวว่าเป็นผลรวมโดยตรงภายในของซับโมดูลMi ( Halmos 1974 , §18)ในกรณีนี้M จะสมสัณฐานกับผลรวมโดยตรง (ภายนอก ของMiตามที่กำหนดไว้ข้างต้น( Adamson 1972 , หน้า 61 )

โมดูลย่อยNของMเรียกว่าส่วนประกอบโดยตรงของM ก็ต่อ เมื่อมีโมดูลย่อยN′ อื่น ของM อยู่ ซึ่งMเป็น ผลรวมโดยตรง ภายในของNและN′ในกรณีนี้NและN′เรียกว่าโมดูลย่อยเสริมกัน

คุณสมบัติสากล

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ผลรวมโดยตรงเป็นผลคูณร่วมและด้วยเหตุนี้จึงเป็นโคลิมิตในหมวดหมู่ของ โมดูล R ซ้าย ซึ่งหมายความว่ามีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากล ต่อไปนี้ สำหรับทุกiในIให้พิจารณาการฝังตัวตามธรรมชาติ

j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}

ซึ่งส่งองค์ประกอบของM ไปยังฟังก์ชันเหล่านั้นซึ่งมีค่าเป็นศูนย์สำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมด ยกเว้นiทีนี้ ให้Mเป็น โมดูล R ใดๆ และf : M → Mเป็นแผนที่เชิงเส้นR ใดๆ สำหรับทุก iแล้วจะมีแผนที่เชิงเส้นR เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M

โดยที่f o j = f สำหรับทุกi

กลุ่มโกรเทนดิค

ผลรวมโดยตรงทำให้กลุ่มของวัตถุมีโครงสร้างของโมโน อิดสลับที่ได้ กล่าวคือ การบวกวัตถุสามารถนิยามได้ แต่การลบไม่สามารถนิยามได้ อันที่จริง การลบสามารถนิยามได้ และโมโนอิดสลับที่ได้ทุกตัวสามารถขยายไปเป็นกลุ่มอาเบเลียนได้การขยายนี้เรียกว่ากลุ่มโกรเทนดีคการขยายทำได้โดยการนิยามชั้นสมมูลของคู่ของวัตถุ ซึ่งทำให้สามารถพิจารณาคู่บางคู่เป็นตัวผกผันได้ การสร้างซึ่งมีรายละเอียดอยู่ในบทความเกี่ยวกับกลุ่มโกรเทนดีคเป็น "สากล" กล่าวคือ มีคุณสมบัติสากลคือมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว และเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับการฝังโมโนอิดสลับที่อื่นๆ ในกลุ่มอาเบเลียน

ผลรวมโดยตรงของโมดูลที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม

หากโมดูลที่เรากำลังพิจารณามีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง (เช่นนอร์มหรือผลคูณภายใน ) ผลรวมโดยตรงของโมดูลเหล่านั้นมักจะสามารถมีโครงสร้างเพิ่มเติมนี้ได้เช่นกัน ในกรณีนี้ เราจะได้ผลคูณร่วมในหมวดหมู่ ที่เหมาะสม ของวัตถุทั้งหมดที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมนั้น ตัวอย่างที่โดดเด่นสองตัวอย่างเกิดขึ้นในปริภูมิบานาคและปริภูมิฮิลเบิร์ต

สิ่งที่ในตำราคลาสสิกบางเล่ม^{[ 1 ]}เรียกว่า "ผลรวมโดยตรง" ของพีชคณิตเหนือฟิลด์ตอนนี้เรียกว่าผลคูณโดยตรงของพีชคณิต ดูบทความเกี่ยวกับผลคูณโดยตรงสำหรับข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้

ผลรวมโดยตรงของปริภูมิบานาค

ผลรวมโดยตรงของปริภูมิบานาคสองปริภูมิ $X$ และ $Y$ คือผลรวมโดยตรงของ $X$ และ $Y$ ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ โดยมีนอร์ม $\|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ สำหรับทุกคน $x\in X$ และ $y\in Y.$

โดยทั่วไป ถ้า $X_{i}$ เป็นชุดของพื้นที่แบบบานาค ซึ่ง $i$ วนไปตามชุดดัชนี $I,$ จากนั้นผลรวมโดยตรง $\bigoplus _{i\in I}X_{i}$ เป็นโมดูลที่ประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมด $x$ กำหนดไว้เหนือ $I$ โดยที่ $x(i)\in X_{i}$ สำหรับทุกคน $i\in I$ และ $\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .$

ค่ามาตรฐานกำหนดโดยผลรวมข้างต้น ผลรวมโดยตรงกับค่ามาตรฐานนี้ก็คือปริภูมิบานาคอีกเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาชุดดัชนี $I=\mathbb {N}$ และ $X_{i}=\mathbb {R} ,$ จากนั้นผลรวมโดยตรง $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ คือพื้นที่ $\ell _{1},$ ซึ่งประกอบด้วยลำดับทั้งหมด $\left(a_{i}\right)$ ของจำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานจำกัด ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

พื้นที่ย่อยปิด $A$ ของปริภูมิบานาค $X$ จะได้รับการเติมเต็มหากมีพื้นที่ย่อยปิดอื่น $B$ ของ $X$ โดยที่ $X$ เท่ากับผลรวมโดยตรงภายใน $A\oplus B.$ โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกปริภูมิย่อยปิดจะมีส่วนเติมเต็มเสมอไป เช่น $c_{0}$ ไม่ได้รับการเติมเต็มใน $\ell ^{\infty }.$

ผลรวมโดยตรงของโมดูลที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่

อนุญาต $\left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}$ เป็นครอบครัวที่ถูกจัดทำดัชนีโดย $I$ ของโมดูลที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่ ผลรวมโดยตรง เชิงตั้งฉากคือผลรวมโดยตรงของโมดูลที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่ $B$ กำหนดโดย^{[ 2 ]} $B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)$ ซึ่งผลรวมนั้นสมเหตุสมผลแม้กระทั่งสำหรับเซตดัชนีอนันต์ $I$ เนื่องจากมีเพียงจำนวนจำกัดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์

ผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ต

ถ้ามีจำนวนฮิลเบิร์ตสเปซ จำกัด $H_{1},\ldots ,H_{n}$ เมื่อกำหนดเวกเตอร์ปริภูมิเวกเตอร์แล้ว เราสามารถสร้างผลรวมโดยตรงเชิงตั้งฉากได้ดังที่แสดงด้านบน (เนื่องจากเป็นปริภูมิเวกเตอร์) โดยกำหนดผลคูณภายในดังนี้: $\left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .$

ผลรวมโดยตรงที่ได้คือปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งประกอบด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ตที่กำหนดให้ในรูปของปริภูมิ ย่อย ที่ตั้งฉาก ซึ่งกันและกัน

หากมีปริภูมิฮิลเบิร์ตจำนวนอนันต์ $H_{i}$ สำหรับ $i\in I$ เมื่อกำหนดแล้ว เราสามารถดำเนินการสร้างแบบเดียวกันได้ โปรดสังเกตว่าเมื่อกำหนดผลคูณภายใน จะมีเพียงจำนวนจำกัดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์จะเป็นเพียงปริภูมิผลคูณภายในและไม่จำเป็นต้องสมบูรณ์เสมอไป จากนั้นเราจะกำหนดผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ต $H_{i}$ เพื่อให้พื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายในนี้เสร็จสมบูรณ์

อีกทางเลือกหนึ่งและโดยปริยายแล้ว เราสามารถกำหนดผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ $H_{i}$ ในฐานะพื้นที่ของฟังก์ชันทั้งหมด α ที่มีโดเมน $I,$ โดยที่ $\alpha (i)$ เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ $H_{i}$ สำหรับทุกๆ $i\in I$ และ: $\sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .$

ผลคูณภายในของฟังก์ชัน α และ β สองฟังก์ชันดังกล่าว จะถูกนิยามดังนี้: $\langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .$

พื้นที่นี้สมบูรณ์แล้ว และเราได้พื้นที่ฮิลเบิร์ต

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาชุดดัชนี $I=\mathbb {N}$ และ $X_{i}=\mathbb {R} ,$ จากนั้นผลรวมโดยตรง $\oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ คือพื้นที่ $\ell _{2},$ ซึ่งประกอบด้วยลำดับทั้งหมด $\left(a_{i}\right)$ ของจำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานจำกัด ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$ เมื่อเปรียบเทียบกับตัวอย่างของปริภูมิบานาคเราจะเห็นว่าผลรวมโดยตรงของปริภูมิบานาคและผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ตไม่จำเป็นต้องเหมือนกันเสมอไป แต่ถ้ามีจำนวนตัวบวกเพียงจำกัด ผลรวมโดยตรงของปริภูมิบานาคจะสมสัณฐานกับผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ต แม้ว่าค่าบรรทัดฐานจะแตกต่างกันก็ตาม

ปริภูมิฮิลเบิร์ตทุกปริภูมิสมสัณฐานกับผลรวมโดยตรงของสำเนาจำนวนมากพอของฟิลด์ฐาน ซึ่งอาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้ $\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .$ นี่เทียบเท่ากับการยืนยันว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตทุกปริภูมิมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิย่อยปิดทุกปริภูมิของปริภูมิฮิลเบิร์ตจะมีส่วนเติมเต็มเพราะมันยอมรับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากในทางกลับกันทฤษฎีบทลินเดนสเตราส์-ซาฟริรีกล่าวว่า ถ้าปริภูมิย่อยปิดทุกปริภูมิของปริภูมิบานาคมีส่วนเติมเต็มแล้ว ปริภูมิบานาคจะเป็นไอโซมอร์ฟิก (ทางโทโพโลยี) กับปริภูมิฮิลเบิร์ต

ดูเพิ่มเติม

ผลพลอยได้– วัตถุที่เป็นทั้งผลิตภัณฑ์และผลพลอยได้
โมดูลที่ไม่สามารถแยกย่อยได้
ทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์– การแยกส่วนโครงสร้างพีชคณิตหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
ทฤษฎีบทครัลล์-ชมิดท์– ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
ลำดับที่แน่นอนแบบแยกส่วน– ลำดับที่แน่นอนแบบสั้นชนิดหนึ่งในทางคณิตศาสตร์

[ 1 ]

[ 2 ]