ในทางคณิตศาสตร์การวัดที่สมบูรณ์ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือปริภูมิการวัดที่สมบูรณ์ ) คือปริภูมิการวัดที่เซตย่อยทุกเซตของเซตว่าง ทุกเซต สามารถวัดได้ (มีการวัดเป็นศูนย์ ) กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ปริภูมิการวัด ( X , Σ,  μ ) จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ และ }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

ความจำเป็นในการพิจารณาประเด็นเรื่องความครบถ้วนสมบูรณ์สามารถแสดงให้เห็นได้โดยการพิจารณาปัญหาเรื่องพื้นที่ของผลิตภัณฑ์

สมมติว่าเราได้สร้างมาตรวัดเลเบสบนเส้นจำนวนจริงแล้ว : ให้ แทนปริภูมิมาตรวัดนี้ด้วยตอนนี้เราต้องการสร้างมาตรวัดเลเบสสองมิติบนระนาบเป็นมาตรวัดผลคูณโดยทั่วไปแล้ว เราจะถือว่าพีชคณิต 𝜎บนเป็นพีชคณิต 𝜎 ที่เล็กที่สุดที่บรรจุ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" ที่วัดได้ทั้งหมดสำหรับ${\displaystyle (\mathbb {R} ,B,\lambda ).}$${\displaystyle \lambda ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle B\otimes B,}$${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$${\displaystyle A_{1},A_{2}\in B.}$

แม้ว่าแนวทางนี้จะกำหนดปริภูมิการวัดได้แต่ก็มีข้อบกพร่อง เนื่องจาก เซต ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ทุก เซตจะมีมาตรวัดเลเบสแบบหนึ่งมิติเป็นศูนย์ ดังนั้น สำหรับเซตย่อยใดๆของอย่างไรก็ตาม สมมติว่าเป็นเซตย่อยที่ไม่สามารถวัดได้ของเส้นจำนวนจริง เช่นเซตวิทาลีมาตรวัด -มิติของจะไม่ถูกกำหนด แต่ และเซตที่ใหญ่กว่านี้จะมีค่ามาตรวัด -มิติเป็นศูนย์ ดังนั้น "มาตรวัดเลเบสแบบสองมิติ" ที่เพิ่งกำหนดขึ้นนี้จึงไม่สมบูรณ์ และจำเป็นต้องมีกระบวนการเติมเต็มบางอย่าง $${\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda ^{2}}$${\displaystyle \{0\}\times A}$$${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \lambda ^{2}}$

เมื่อกำหนดปริภูมิการวัด ( X , Σ,  μ ) (ซึ่งอาจไม่สมบูรณ์) จะมีส่วนขยาย ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) ของปริภูมิการวัดนี้ที่สมบูรณ์^{[ 3 ]} ส่วนขยายดังกล่าวที่เล็กที่สุด (เช่น σ -algebra Σ ₀ที่เล็กที่สุด) เรียกว่าการ ทำให้ ปริภูมิการวัด สมบูรณ์

การก่อสร้างแล้วเสร็จสามารถดำเนินการได้ดังนี้:

• ให้Zเป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตย่อยของX ที่มี μ เป็นศูนย์ (โดยสัญชาตญาณแล้ว สมาชิกของZที่ไม่ได้อยู่ใน Σ อยู่แล้ว คือสมาชิกที่ขัดขวางไม่ให้ความสมบูรณ์เป็นจริง)
• ให้ Σ ₀เป็น พีชคณิต σที่สร้างขึ้นโดย Σ และZ (กล่าวคือ พีชคณิต σ ที่เล็กที่สุด ที่ประกอบด้วยทุกองค์ประกอบของ Σ และของZ )
• μมีส่วนขยายμ ₀ไปยัง Σ ₀ (ซึ่งมีเพียงหนึ่งเดียวหากμเป็นσ- finite ) เรียกว่ามาตรภายนอกของμซึ่งกำหนดโดยค่าต่ำสุด

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}.}$

ดังนั้น ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) จึงเป็นปริภูมิการวัดที่สมบูรณ์ และเป็นการเติมเต็มของ ( X , Σ,  μ )

จากโครงสร้างข้างต้น สามารถแสดงได้ว่า สมาชิกทุกตัวของ Σ ₀มีรูปแบบA  ∪  BสำหรับบางA  ∈ Σ และบางB  ∈  Zและ

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

• การวัดแบบบอเรล (Borel measure)ที่นิยามไว้บนพีชคณิตบอเรลσที่สร้างขึ้นจากช่วงเปิด ของเส้นจำนวนจริงนั้นไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงต้องใช้วิธีการทำให้สมบูรณ์ข้างต้นเพื่อนิยามการวัดแบบเลเบส (Lebesgue measure) ที่สมบูรณ์ สิ่งนี้แสดงให้เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของเซตบอเรลทั้งหมดบนจำนวนจริงมีขนาดเท่ากับจำนวนจริง ในขณะที่เซตแคนเตอร์ (Cantor set)เป็นเซตบอเรล มีการวัดเป็นศูนย์ และเซตกำลังของมันมีขนาดมากกว่าจำนวนจริงอย่างชัดเจน ดังนั้นจึงมีเซตย่อยของเซตแคนเตอร์ที่ไม่รวมอยู่ในเซตบอเรล ด้วยเหตุนี้ การวัดแบบบอเรลจึงไม่สมบูรณ์
• การวัดแบบเลเบสในมิติ nคือส่วนเติมเต็มของ ผลคูณ nเท่าของปริภูมิเลเบสในมิติเดียว และยังเป็นส่วนเติมเต็มของการวัดแบบโบเรลเช่นเดียวกับในกรณีมิติเดียวด้วย

ทฤษฎีบทของมาฮารัมกล่าวว่า ปริภูมิการวัดที่สมบูรณ์ทุกปริภูมิสามารถแยกย่อยได้เป็นการวัดบนคอนทินิวอาและการวัดการนับ แบบจำกัดหรือนับ ได้

• การวัดภายใน
• เซตที่วัดได้ของเลเบส  – นิยามที่กว้างที่สุดของขนาดในปริภูมิที่มีมิติเป็นจำนวนเต็มหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง