เลขชี้กำลัง
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ข้อมูลทั่วไป
คำจำกัดความทั่วไป	${\displaystyle \exp z=e^{z}}$
โดเมน โคโดเมน และรูปภาพ
โดเมน	${\displaystyle \mathbb {C} }$
ภาพ	${\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{สำหรับ }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{สำหรับ }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}$
ค่าเฉพาะ
ที่ศูนย์	1
มูลค่าที่ 1	อี
คุณลักษณะเฉพาะ
จุดคงที่	− W n (−1)สำหรับ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง
ต่างตอบแทน	${\displaystyle \exp(-z)}$
ผกผัน	ลอการิทึมธรรมชาติ , ลอการิทึมเชิงซ้อน
อนุพันธ์	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \!\,z}}\exp z=\exp z}$
แอนตี้อนุพันธ์	${\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}$
คำจำกัดความของชุดข้อมูล
ซีรี่ส์เทย์เลอร์	${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันจริง เพียงฟังก์ชันเดียว ที่แปลงค่าจากศูนย์เป็นหนึ่งและมีอนุพันธ์เท่ากับค่าของมันทุกที่ ฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle e^{x}}$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle \exp x}$โดยนิยมใช้แบบหลังเมื่ออาร์กิวเมนต์⁠ ⁠${\displaystyle x}$เป็นนิพจน์ที่ซับซ้อน^{[ 1 ] [ 2 ]}เรียกว่าเลขชี้กำลังเพราะอาร์กิวเมนต์ของมันสามารถมองได้ว่าเป็นเลขชี้กำลังที่ยกกำลัง ด้วย ค่าคงที่e ≈ 2.718ซึ่งเป็นฐาน นอกจากนี้ยังมีนิยามอื่นๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกหลายแบบ ซึ่งล้วนแล้วแต่มีความหมายเทียบเท่ากัน แม้ว่าจะมีลักษณะที่แตกต่างกันมากก็ตาม

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแปลงผลบวกเป็นผลคูณ: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y}$ส่วนฟังก์ชันผกผันของมันคือลอการิทึมธรรมชาติ ⁠ ⁠${\displaystyle \ln }$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle \log }$แปลงผลคูณเป็นผลบวก: ⁠ ⁠${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y}$ .

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติซึ่งตรงกับชื่อลอการิทึมธรรมชาติเพื่อแยกแยะออกจากฟังก์ชันอื่นๆ ที่เรียกกันทั่วไปว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เช่นกัน ฟังก์ชันเหล่านี้รวมถึงฟังก์ชันในรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)=b^{x}}$ซึ่งเป็นการยกกำลังด้วยฐานคงที่⁠ ⁠${\displaystyle b}$โดยทั่วไป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการใช้งาน ฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป⁠ ⁠${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$ก็เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเช่นกัน ฟังก์ชันเหล่านี้เติบโต หรือลดลงแบบเลขชี้กำลัง กล่าวคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle x}$เพิ่มขึ้น จะเป็นสัดส่วนกับค่าปัจจุบันของ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถขยายให้รับจำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวแปรได้ ซึ่งเผยให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างการคูณจำนวนเชิงซ้อน การหมุนในระนาบเชิงซ้อนและตรีโกณมิติสูตรของออยเลอร์แสดงและ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$สรุปความสัมพันธ์เหล่านี้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถขยายให้ครอบคลุมถึงอาร์กิวเมนต์ประเภทอื่นๆ ได้อีกด้วย เช่นเมทริกซ์และองค์ประกอบของพีชคณิต ลี

กราฟของมีลักษณะลาดขึ้น และเพิ่มขึ้นเร็วกว่ากำลังของทุกค่า[ 3 ^{]กราฟจะ}อยู่เหนือ แกน x เสมอ แต่จะเข้าใกล้แกน x มากขึ้นเรื่อยๆ สำหรับค่า x ติดลบมากดังนั้นแกน x จึงเป็นเส้นกำกับ แนวนอน สมการนี้หมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสกราฟที่แต่ละจุดจะเท่ากับความสูง ( พิกัด y ) ของกราฟที่จุดนั้น ${\displaystyle y=e^{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

มีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แม้ว่าจะมีลักษณะที่แตกต่างกันมากก็ตาม

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ได้เพียงฟังก์ชันเดียว ที่เท่ากับอนุพันธ์ ของมัน และมีค่า เท่ากับ 1 เมื่อ ตัวแปร มีค่าเป็น 0

นิยามนี้ต้องการการพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์และการพิสูจน์การมีอยู่ แต่ช่วยให้สามารถอนุมานคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้อย่างง่ายดาย

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันผกผันของลอการิทึมธรรมชาตินั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}}$

สำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน และจำนวนจริงบวกทุกจำนวน${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือผลรวมของอนุกรมกำลัง^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}}$$

โดยที่คือแฟกทอเรียลของn (ผลคูณของ จำนวนเต็มบวก nตัวแรก) อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับทุกค่าโดยใช้การทดสอบอัตราส่วนซึ่งแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดไว้สำหรับทุกค่าและเป็นผลรวมของอนุกรมแมคลาลินของ มันทุกที่${\displaystyle n!}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชัน และแมปเอกลักษณ์การบวก0ไปยังเอกลักษณ์การคูณ1สมการเดียวกันนี้เป็นไปตามฟังก์ชันต่อเนื่องอื่นๆที่ยกกำลังอาร์กิวเมนต์ด้วยฐานใดๆ[ ^{6 ] ใน บรรดาฟังก์ชันเหล่านี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะ เฉพาะ}ด้วยคุณสมบัติที่ว่าอนุพันธ์ของมันที่0คือ1 ^[ 7 ^]$${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$$${\displaystyle f(x)=b^{x}}$${\displaystyle b}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลิมิตเมื่อจำนวนเต็มnเข้าสู่อนันต์^{[ 8 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

ส่วนกลับ :สมการเชิงฟังก์ชันบ่งชี้ว่า ⁠ ⁠${\displaystyle e^{x}e^{-x}=1}$ดังนั้น ⁠ ⁠${\displaystyle e^{x}\neq 0}$สำหรับทุก ⁠ ⁠${\displaystyle x}$และ $${\displaystyle {\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.}$$

ความ เป็น ${\displaystyle e^{x}>0}$บวก:สำหรับทุกจำนวนจริงซึ่ง${\displaystyle x}$เป็นผลมาจากทฤษฎีบทค่ากลางเนื่องจาก และถ้ามี สำหรับบางค่าจะมีค่าที่ทำให้ระหว่างและ${\displaystyle e^{0}=1}$เนื่องจาก${\displaystyle e^{x}<0}$ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเท่ากับอนุพันธ์ของมันดังนั้นจึงหมายความว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle e^{y}=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$

การขยายการยกกำลังไปยังฐานจำนวนจริงบวก:ให้bเป็นจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ดังนั้นจะได้ถ้าnเป็นจำนวนเต็ม สมการเชิงฟังก์ชันของลอการิทึมจะบ่งบอกว่า เนื่องจากนิพจน์ทางขวาสุดถูกกำหนดไว้หากnเป็นจำนวนจริงใดๆ ดังนั้นจึงสามารถกำหนด⁠ ⁠สำหรับจำนวนจริง บวก b ทุกตัวและจำนวนจริง xทุกตัวได้: โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าbคือจำนวนของออยเลอร์จะได้(ฟังก์ชันผกผัน) และดังนั้นสิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันของสัญลักษณ์ทั้งสองสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ${\displaystyle b=\exp(\ln b).}$$${\displaystyle b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).}$$${\displaystyle b^{x}}$$${\displaystyle b^{x}=\exp(x\ln b).}$$${\displaystyle e=\exp(1),}$${\displaystyle \ln e=1}$$${\displaystyle e^{x}=\exp(x).}$$

โดยทั่วไป ฟังก์ชันจะถูกเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (โดยมีคำนำหน้าไม่เจาะจง) หากมีรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$นั่นคือ หากได้มาจากการยกกำลังโดยกำหนดฐานให้คงที่และให้เลขชี้กำลังเปลี่ยนแปลงไป

โดยทั่วไปและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทประยุกต์ คำว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังมักใช้สำหรับฟังก์ชันในรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$เหตุผลอาจมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า หากค่าของฟังก์ชันแสดงถึงปริมาณการเปลี่ยนหน่วยวัดจะเปลี่ยนค่าของ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ด้วย ดังนั้นจึงไม่สมเหตุสมผลที่จะกำหนดให้⁠ ⁠${\displaystyle a=1}$เปลี่ยนแปลง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั่วไปเหล่านี้คือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีคุณสมบัติเทียบเท่าดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle x}$และค่าคงที่บาง${\displaystyle a}$ค่าและ​​${\displaystyle b>0}$
• ${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle x}$และค่าคงที่บาง${\displaystyle a}$ค่าและ​​${\displaystyle k}$
• ค่าของ นั้น เป็นอิสระจาก${\displaystyle f'(x)/f(x)}$${\displaystyle x}$
• สำหรับทุกๆค่าของ จะ ^เป็นอิสระจากนั่นคือสำหรับทุกๆx , y ^{[ 9} ]${\displaystyle d,}$${\displaystyle f(x+d)/f(x)}$${\displaystyle x;}$$${\displaystyle {\frac {f(x+d)}{f(x)}}={\frac {f(y+d)}{f(y)}}}$$

ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฐานของการยกกำลัง ที่ปรากฏใน ฟังก์ชันนั้นเมื่อเขียนเป็น⁠ ⁠ นั่นคือ⁠ ⁠ ^{[ 10 ]}ฐานคือ⁠ ⁠ในการกำหนดลักษณะครั้งที่สองครั้งที่สาม และครั้งสุดท้าย ${\displaystyle x\to ab^{x}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle e^{k}}$${\textstyle \exp {\frac {f'(x)}{f(x)}}}$${\textstyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}}$

ลักษณะสุดท้ายนี้มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์เนื่องจากช่วยให้สามารถทดสอบโดยตรงด้วยวิธีการทดลองว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือไม่

การเติบโตแบบทวีคูณหรือการลดลงแบบทวีคูณ — ซึ่ง การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเป็นสัดส่วนกับค่าของตัวแปร—จึงถูกจำลองด้วยฟังก์ชันทวีคูณ ตัวอย่างเช่น การเพิ่มขึ้นของประชากรอย่างไม่จำกัดซึ่งนำไปสู่หายนะแบบมัลทัสดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่องและการสลายตัวของกัมมันตรังสี

ถ้าฟังก์ชันการสร้างแบบจำลองมีรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle x\mapsto ae^{kx},}$หรือเทียบเท่ากับเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์⁠ ⁠${\displaystyle y'=ky}$ค่าคงที่⁠ ⁠${\displaystyle k}$จะถูกเรียกว่า ค่าคง ^ที่การสลายตัว ค่าคง ที่การแตกตัว [ ^{11 ]}ค่าคงที่อัตรา [ ^{12 ] หรือ}ค่าคงที่การแปลง^{[ 13 ]} ขึ้นอยู่กับ บริบท

เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของคุณสมบัติข้างต้น สามารถดำเนินการได้ดังต่อไปนี้

ลักษณะสองประการแรกนั้นเทียบเท่ากัน เนื่องจากถ้า⁠ ⁠${\displaystyle b=e^{k}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle k=\ln b}$จะได้ว่า คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (อนุพันธ์และสมการเชิงฟังก์ชัน) บ่งบอกถึงเงื่อนไขที่สามและสุดท้ายโดยทันที $${\displaystyle e^{kx}=(e^{k})^{x}=b^{x}.}$$

สมมติว่าเงื่อนไขที่สามได้รับการตรวจสอบแล้ว และให้⁠ ⁠${\displaystyle k}$เป็นค่าคงที่ของเนื่องจากกฎการหารสำหรับการหาอนุพันธ์บ่งชี้ว่า และดังนั้นจึงมีค่าคงที่⁠ ⁠เช่นนั้น${\displaystyle f'(x)/f(x).}$${\textstyle {\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx},}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,{\frac {f(x)}{e^{kx}}}=0,}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)=ae^{kx}.}$

ถ้าเงื่อนไขสุดท้ายเป็นจริง ให้กำหนดซึ่งเป็นอิสระจาก⁠ ⁠โดยใช้⁠ ⁠จะได้ เมื่อหาลิมิตเมื่อ⁠ ⁠เข้าใกล้ศูนย์ จะได้ว่าเงื่อนไขที่สามเป็นจริงด้วย⁠ ⁠ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า⁠ ⁠สำหรับบาง⁠ ⁠และ⁠ ⁠และ เป็นผลพลอยได้คือ เป็นอิสระจากทั้ง⁠ ⁠และ⁠ ⁠${\textstyle \varphi (d)=f(x+d)/f(x),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi (0)=1}$$${\displaystyle {\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}=f(x)\,{\frac {\varphi (d)-\varphi (0)}{d}}.}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle k=\varphi '(0)}$${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle \varphi (d)=e^{kd}.}$$${\displaystyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}=e^{k}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle d}$

การปรากฏครั้งแรกสุดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเกิดขึ้นใน การศึกษา ดอกเบี้ยทบต้นของJacob Bernoulliในปี 1683 ^{[ 14 ]} การศึกษานี้เองที่ทำให้ Bernoulli พิจารณาตัวเลข ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อเลขของออยเลอร์และ ใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$${\displaystyle e}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีส่วนเกี่ยวข้องในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องดังต่อไป นี้

ถ้าเงินต้น 1 ได้รับดอกเบี้ยในอัตราดอกเบี้ยx ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นรายเดือน ดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละเดือนคือ⁠x/12คูณด้วยมูลค่าปัจจุบัน ดังนั้นในแต่ละเดือนมูลค่ารวมจะถูกคูณด้วย (1 + ⁠x/12)และมูลค่า ณ สิ้นปีคือ ( 1 + ⁠x/12) ¹² . หากดอกเบี้ยถูก คิดทบต้นรายวัน จะกลายเป็น (1 + ⁠x/365) ³⁶⁵การปล่อยให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดนำไปสู่ นิยาม ลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่ง Leonhard Eulerเป็น ผู้ให้ไว้เป็นครั้งแรก ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมักปรากฏในคำตอบของสม การเชิงอนุพันธ์ บ่อยครั้ง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามได้ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่จริงแล้ว ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle y'=y}$ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอื่นๆ ทุกฟังก์ชันในรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle y=ab^{x}}$เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์⁠ ⁠${\displaystyle y'=ky}$และคำตอบทุกคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน

คำตอบของสมการในรูปแบบดังกล่าว เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในลักษณะที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เนื่องจากมีรูปแบบ ที่⁠ ⁠เป็นค่าคงที่ใดๆ และอินทิกรัลหมายถึงอนุพันธ์ผกผัน ใดๆ ของตัวแปร $${\displaystyle y'+ky=f(x)}$$$${\displaystyle y=ce^{-kx}+e^{-kx}\int f(x)e^{kx}dx,}$$${\displaystyle c}$

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และในกรณีที่สมการเหล่านั้นไม่ใช่สมการเอกพันธุ์ ก็สามารถแสดงได้ในรูปของอนุพันธ์ผกผัน หลักการนี้ใช้ได้กับระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ด้วยเช่นกัน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ได้อย่างเป็นธรรมชาติ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีจำนวนเชิงซ้อนเป็นโดเมนและโคโดเมนโดยที่การจำกัด ฟังก์ชันนี้ ให้อยู่ในจำนวนจริงจะได้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่นิยามไว้ข้างต้น ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังจริงฟังก์ชันนี้ยังเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังและใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle e^{z}}$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle \exp(z)}$เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างกรณีเชิงซ้อนกับกรณีจำนวนจริง ฟังก์ชันที่ขยายแล้วจึงเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนหรือเรียกสั้นๆ ว่าเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

นิยามส่วนใหญ่ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนำมาใช้กำหนดนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนได้โดยตรง และการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของทั้งสองฟังก์ชันก็เหมือนกับกรณีของจำนวนจริง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนสามารถนิยามได้หลายวิธีที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเหมือนกับกรณีของจำนวนจริง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนเพียงฟังก์ชันเดียวที่เท่ากับอนุพันธ์เชิงซ้อน ของมัน และมีค่าเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$สำหรับอาร์กิวเมนต์⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ : $${\displaystyle {\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนคือผลรวมของอนุกรม อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อนดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนจึงเป็นฟังก์ชัน สมบูรณ์$${\displaystyle e^{z}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}.}$$${\displaystyle z}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนคือลิมิต$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

เช่นเดียวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังจริง (ดู§ สมการเชิงฟังก์ชันด้านบน) เลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชัน ในบรรดาฟังก์ชันเชิงซ้อน มันคือคำตอบเดียวที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกที่จุด⁠ ⁠และหาอนุพันธ์ที่จุดนั้น^{[ 15 ]}$${\displaystyle \exp(z+w)=\exp(z)\cdot \exp(w).}$$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle 1}$

ลอการิทึมเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันผกผันทางขวาของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน: อย่างไรก็ตาม เนื่องจากลอการิทึมเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันหลายค่า จึงมีข้อจำกัดบางประการ และเป็นการยากที่จะกำหนดเลขชี้กำลังเชิงซ้อนจากลอการิทึมเชิงซ้อน ในทางตรงกันข้าม ลอการิทึมเชิงซ้อนมักถูกกำหนดจากเลขชี้กำลังเชิงซ้อน $${\displaystyle e^{\log z}=z.}$$$${\displaystyle \log e^{z}=\{z+2ik\pi \mid k\in \mathbb {Z} \},}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: และ เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ⁠ ⁠นั่นคือ ซึ่งเป็นผลมาจากเอกลักษณ์ของออยเลอร์⁠ ⁠และเอกลักษณ์เชิงฟังก์ชัน $${\displaystyle {\frac {1}{e^{z}}}=e^{-z}}$$$${\displaystyle e^{z}\neq 0\quad {\text{for every }}z\in \mathbb {C} .}$$${\displaystyle 2i\pi }$$${\displaystyle e^{z+2ik\pi }=e^{z}\quad {\text{for every }}k\in \mathbb {Z} .}$$${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

คอน จูเก ต เชิงซ้อนของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนคือ ค่าสัมบูรณ์ของมันคือ โดยที่⁠ ⁠หมายถึงส่วนจริงของ⁠ ⁠$${\displaystyle {\overline {e^{z}}}=e^{\overline {z}}.}$$$${\displaystyle |e^{z}|=e^{\Re (z)},}$$${\displaystyle \Re (z)}$${\displaystyle z}$

ฟังก์ชัน เลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติ เชิงซ้อน มีความสัมพันธ์กันอย่างมากตามสูตรของออยเลอร์ : $${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).}$$

สูตรนี้แสดงการแยกส่วนของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการ : $${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\,\cos y+ie^{x}\,\sin y.}$$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงได้ในรูปของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\\tan x&=i\,{\frac {1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}}\end{aligned}}}$$

ในสูตรเหล่านี้⁠ ⁠${\displaystyle x,y,t}$มักถูกตีความว่าเป็นตัวแปรจริง แต่สูตรยังคงใช้ได้หากตัวแปรถูกตีความว่าเป็นตัวแปรเชิงซ้อน สูตรเหล่านี้อาจใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรเชิงซ้อน^{[ 16 ]}

• กราฟสามมิติแสดงส่วนจริง ส่วนจินตนาการ และค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนว่าเป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรจริงสี่ตัว กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นพื้นผิวสองมิติที่โค้งผ่านสี่มิติ $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

เริ่มต้นด้วยส่วนของโดเมนที่ระบายสีไว้ต่อไปนี้คือภาพแสดงกราฟที่ฉายลงบนระนาบสองหรือสามมิติในรูปแบบต่างๆ ${\displaystyle xy}$

• กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน
• 
  คำอธิบายสัญลักษณ์ตารางหมากรุก: ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  การฉายภาพลงบนระนาบเชิงซ้อนช่วง (V/W) เปรียบเทียบกับภาพถัดไปซึ่งเป็นภาพแบบเปอร์สเปคทีฟ
• 
  การฉายภาพไปยัง มิติ , , และทำให้เกิดรูปทรงคล้ายเขาหรือกรวยที่บานออก (จินตนาการเป็นภาพทัศนียภาพ 2 มิติ)${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$
• 
  การฉายภาพลงใน มิติ , , และทำให้เกิดรูปทรงเกลียว ( ขยายช่วงไปถึง ±2 πอีกครั้งในรูปแบบภาพทัศนียภาพ 2 มิติ)${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle y}$

ภาพที่สองแสดงให้เห็นว่าระนาบเชิงซ้อนโดเมนถูกแปลงไปเป็นระนาบเชิงซ้อนเรนจ์อย่างไร:

• ศูนย์ถูกแปลงเป็น 1
• แกน จริง ถูกแมปไปยัง แกนจริงบวก${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$
• แกน สมมุติจะหมุนรอบวงกลมหน่วยด้วยอัตราเชิงมุมคงที่${\displaystyle y}$
• ค่าที่มีส่วนจริงเป็นลบจะถูกแมปไว้ภายในวงกลมหน่วย
• ค่าที่มีส่วนจริงเป็นบวกจะถูกแมปอยู่นอกวงกลมหน่วย
• ค่าที่มีส่วนจริงคงที่ จะถูกแมปไปยังวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์
• ค่าที่มีส่วนจินตนาการคงที่ จะถูกแมปไปยังรังสีที่ทอดยาวจากศูนย์

ภาพที่สามและสี่แสดงให้เห็นว่ากราฟในภาพที่สองขยายออกไปสู่มิติอื่นอีกสองมิติที่ไม่ได้แสดงในภาพที่สองอย่างไร

ภาพที่สามแสดงกราฟที่ขยายออกไปตามแกนจริง แสดงให้เห็นว่ากราฟเป็นพื้นผิวของการหมุนรอบแกนของกราฟฟังก์ชันเลขชี้กำลังจริง ทำให้เกิดรูปร่างคล้ายเขาหรือกรวย ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ภาพที่สี่แสดงกราฟที่ขยายออกไปตามแกนจินตนาการ แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวของกราฟสำหรับค่าบวกและค่าลบไม่ได้มาบรรจบกันตามแกนจริงลบ แต่กลับก่อตัวเป็นพื้นผิวเกลียวรอบแกน เนื่องจากค่าต่างๆ ได้ถูกขยายไปถึง±2π แล้วภาพนี้จึงแสดงให้เห็น ถึงคาบ 2πในค่า จินตนาการได้ดียิ่งขึ้น${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

ฟังก์ชันe ^zเป็นฟังก์ชันอดิศัยซึ่งหมายความว่ามันไม่ใช่รากของพหุนามเหนือฟิลด์ของเศษส่วนตรรกยะ อันที่จริง นี่เป็นความจริงสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ ที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เท่ากับ 1 ${\displaystyle \mathbb {C} (z);}$

สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อความที่เข้มงวดกว่าที่ว่า ถ้าa ₁ , ..., a _nเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกันแล้วe ^{a ₁ z} , ..., e ^{a _n z}จะเป็นอิสระเชิงเส้นเหนือ ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

ผลลัพธ์ที่ยากกว่ามากคือ ฐานeของฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็นจำนวนอดิศัยดูได้จากทฤษฎีบทลินเดมันน์-ไวเออร์สตรัส

นิยามอนุกรมเทย์เลอร์ข้างต้นโดยทั่วไปมีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณ (ค่าประมาณของ) อย่างไรก็ตาม เมื่อคำนวณใกล้กับค่าอาร์กิวเมนต์ผลลัพธ์จะใกล้เคียงกับ 1 และการคำนวณค่าของความแตกต่างด้วยเลขคณิตแบบจุดลอยตัวอาจทำให้สูญเสีย (อาจทั้งหมด) ตัวเลขสำคัญทำให้เกิดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ขนาดใหญ่ หรืออาจถึงขั้นได้ผลลัพธ์ที่ไม่มีความหมาย ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle e^{x}-1}$

ตามข้อเสนอของWilliam Kahanจึงอาจเป็นประโยชน์ที่จะมีรูทีนเฉพาะ ซึ่งมักเรียกว่าexpm1ซึ่งคำนวณ e ^x − 1โดยตรง โดยไม่ต้องคำนวณe ^xตัวอย่างเช่น อาจใช้ชุดอนุกรมเทย์เลอร์: $${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

สิ่งนี้ได้รับการนำไปใช้ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2522 ใน เครื่องคิดเลข Hewlett-Packard HP-41Cและมีให้ใช้งานในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง^{[ 17 ] [ 18 ]}ระบบปฏิบัติการ (เช่นBerkeley UNIX 4.3BSD ^{[ 19 ]} ) ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์และภาษาโปรแกรม (เช่นC99 ) ^{[ 20 ]}

นอกจากฐานeแล้ว มาตรฐาน IEEE 754-2008ยังกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่คล้ายกันใกล้ 0 สำหรับฐาน 2 และ 10 ดังนี้: และ${\displaystyle 2^{x}-1}$${\displaystyle 10^{x}-1}$

วิธีการที่คล้ายกันนี้ได้ถูกนำมาใช้กับลอการิทึมแล้วดู log1p

เอกลักษณ์ในแง่ของแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกให้ ค่าที่มีความแม่นยำสูงสำหรับค่า x ขนาดเล็กบน ระบบที่ไม่ใช้งานexpm1( x )$${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถคำนวณได้โดยใช้เศษส่วนต่อเนื่อง เช่น กัน

เศษส่วนต่อเนื่องสำหรับe ^xสามารถหาได้จากเอกลักษณ์ของออยเลอร์ : $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

เศษส่วนต่อเนื่องทั่วไปต่อไปนี้สำหรับe ^zซึ่งเป็นผลมาจากออยเลอร์เช่นกัน^{[ 21 ]} ลู่เข้าได้เร็วกว่า: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

หรือโดยการใช้การแทนที่z = ⁠x/y:โดย มีกรณีพิเศษสำหรับ z = 2 : $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$$${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

สูตรนี้ยังลู่เข้าได้เช่นกัน แม้ว่าจะช้ากว่าก็ตาม สำหรับz > 2ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots }}}}}}}}}$$

^{นิยามอนุกรมกำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นั้น}สมเหตุสมผลสำหรับเมทริก ซ์จัตุรัส (ซึ่งฟังก์ชันนี้เรียกว่า^เมทริกซ์เลขชี้กำลัง ) และโดยทั่วไปในพีชคณิตบานาคแบบ เอกลักษณ์ใดๆ Bในบริบทนี้e⁰ = 1และe⁻ˣสามารถหาตัวผกผันได้ โดยมีตัวผกผันคือ^e⁻ˣสำหรับ x ใดๆใน B ถ้า xy = yx แล้ว e⁻ˣ + ^{y =} e⁻ˣ + ^e⁻ˣ + ^yแต่เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้สำหรับxและy ^{ที่ ไม่สลับ ที่}กัน

นิยามทางเลือกบางอย่างนำไปสู่ฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่นe ^xสามารถนิยามได้ดังนี้ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

หรือe ^xสามารถกำหนดเป็นf _x (1)โดยที่f _x  : R → Bคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์⁠df _x/ดีที⁠ ( t ) = x f _x ( t )โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น f _x (0) = 1 ; ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า f _x ( t ) = e ^txสำหรับทุก tใน R

เมื่อกำหนดกลุ่มลีG และ พีชคณิตลี ที่เกี่ยวข้องแล้วแผนที่เลขชี้กำลังเป็นแผนที่ที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน ในความเป็นจริง เนื่องจากRคือพีชคณิตลีของกลุ่มลีของจำนวนจริงบวกทั้งหมดภายใต้การคูณ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดาสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นจำนวนจริงจึงเป็นกรณีพิเศษของสถานการณ์พีชคณิตลี ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากกลุ่มลีGL( n , R )ของเมทริกซ์ผกผัน ขนาด n × nมีพีชคณิตลีM( n , R ) ซึ่งเป็น ปริภูมิของ เมทริกซ์ขนาด n × n ทั้งหมด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสจึงเป็นกรณีพิเศษของแผนที่เลขชี้กำลังของพีชคณิตลี ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$

เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้กับองค์ประกอบพีชคณิตลีxและyที่ไม่สลับที่กันสูตรเบเกอร์-แคมป์เบลล์-เฮาส์ดอร์ฟจะให้พจน์แก้ไขที่จำเป็น ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

• "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]