ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ได้เพียงฟังก์ชันเดียว ที่เท่ากับอนุพันธ์ ของมัน และมีค่า เท่ากับ 1 เมื่อ ตัวแปรมีค่าเป็น 0

นิยามนี้ต้องการการพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์และการพิสูจน์การมีอยู่ แต่ช่วยให้สามารถอนุมานคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้อย่างง่ายดาย

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันผกผันของลอการิทึมธรรมชาตินั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}}$

สำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน${\displaystyle x}$และจำนวนจริงบวกทุกจำนวน${\displaystyle y.}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือผลรวมของอนุกรมกำลัง^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle n!}$คือแฟกทอเรียลของn (ผลคูณของ จำนวนเต็มบวก nตัวแรก) อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับทุก ๆ${\displaystyle x}$โดยใช้การทดสอบอัตราส่วนซึ่งแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังนั้นนิยามได้สำหรับทุก ๆ⁠${\displaystyle x}$และเป็นผลรวมของอนุกรมแมคลาลินในทุก

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน$${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$$ และแปลงเอกลักษณ์การบวก0ให้เป็นเอกลักษณ์การคูณ1สมการเดียวกันนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องอื่นๆ ด้วย${\displaystyle f(x)=b^{x}}$ที่ยกกำลังข้อโต้แย้งของตนด้วยฐานที่กำหนดขึ้นเอง${\displaystyle b}$[ ^{6 ] ในบรรดาฟังก์ชันเหล่านี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมี ลักษณะ}เฉพาะคืออนุพันธ์ที่0 ^มี ค่า เท่ากับ1 [ ^{7 ]}

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลิมิตเมื่อจำนวนเต็มnเข้าสู่อนันต์^{[ 8 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

ส่วนกลับ :สมการเชิงฟังก์ชันบ่งชี้ว่า ⁠${\displaystyle e^{x}e^{-x}=1}$ดังนั้น​​${\displaystyle e^{x}\neq 0}$สำหรับทุกๆ​${\displaystyle x}$และ​ $${\displaystyle {\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.}$$

ทัศนคติเชิงบวก: ⁠${\displaystyle e^{x}>0}$สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน${\displaystyle x}$ผลลัพธ์นี้ได้มาจากทฤษฎีบทค่ากลางเนื่องจาก${\displaystyle e^{0}=1}$และถ้าหากใครสักคนอยากจะ ...${\displaystyle e^{x}<0}$สำหรับบางคน${\displaystyle x}$จะมี​${\displaystyle y}$โดยที่​${\displaystyle e^{y}=0}$ระหว่าง​​${\displaystyle 0}$และ​​${\displaystyle x}$เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเท่ากับอนุพันธ์ของมัน นั่นหมายความว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง

การขยายการยกกำลังไปยังฐานจำนวนจริงบวก:ให้bเป็นจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ดังนั้นจึงได้ว่า${\displaystyle b=\exp(\ln b).}$ถ้าnเป็นจำนวนเต็ม สมการเชิงฟังก์ชันของลอการิทึมจะหมายความว่า $${\displaystyle b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).}$$ เนื่องจากนิพจน์ทางขวาสุดนั้นสามารถนิยามได้หากnเป็นจำนวนจริงใดๆ ดังนั้นจึงสามารถนิยามได้ว่า⁠${\displaystyle b^{x}}$สำหรับจำนวนจริงบวก b ทุกจำนวน และจำนวนจริง x ทุกจำนวน : $${\displaystyle b^{x}=\exp(x\ln b).}$$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าbคือจำนวนของออยเลอร์${\displaystyle e=\exp(1),}$หนึ่งมี${\displaystyle \ln e=1}$(ฟังก์ชันผกผัน) และด้วยเหตุนี้$${\displaystyle e^{x}=\exp(x).}$$นี่แสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันของสัญลักษณ์ทั้งสองแบบสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ลักษณะสุดท้ายนี้มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์เนื่องจากช่วยให้สามารถทดสอบโดยตรงด้วยวิธีการทดลองว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือไม่

การเติบโตแบบทวีคูณหรือการลดลงแบบทวีคูณ—ซึ่งการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเป็นสัดส่วนกับค่าของตัวแปร—จึงถูกจำลองด้วยฟังก์ชันทวีคูณ ตัวอย่างเช่น การเพิ่มขึ้นของประชากรอย่างไม่จำกัดซึ่งนำไปสู่หายนะแบบมัลทัสดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่องและการสลายตัวของกัมมันตรังสี

หากฟังก์ชันการสร้างแบบจำลองมีรูปแบบดังนี้${\displaystyle x\mapsto ae^{kx},}$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์${\displaystyle y'=ky}$ค่าคงที่${\displaystyle k}$⁠เรียกว่าค่าคงที่การสลาย ตัว ^ค่า คง ที่การแตกตัว^{[ 11 ]}ค่าคงที่อัตรา [12 ^{] หรือ}ค่าคงที่การเปลี่ยนแปลง^{[ 13 ] ขึ้นอยู่กับบริบท}

เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของคุณสมบัติข้างต้น สามารถดำเนินการได้ดังต่อไปนี้

ลักษณะสองประการแรกนั้นเทียบเท่ากัน เนื่องจากถ้า⁠${\displaystyle b=e^{k}}$และ​​${\displaystyle k=\ln b}$หนึ่งมี $${\displaystyle e^{kx}=(e^{k})^{x}=b^{x}.}$$ คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (อนุพันธ์และสมการเชิงฟังก์ชัน) บ่งชี้ถึงเงื่อนไขที่สามและสุดท้ายโดยทันที

สมมติว่าเงื่อนไขที่สามได้รับการตรวจสอบแล้ว และให้⁠${\displaystyle k}$ให้เป็นค่าคงที่ของ${\displaystyle f'(x)/f(x).}$เนื่องจาก${\textstyle {\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx},}$กฎการหารสำหรับการหาอนุพันธ์บ่งชี้ว่า $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,{\frac {f(x)}{e^{kx}}}=0,}$$และด้วยเหตุนี้จึงมีค่าคงที่${\displaystyle a}$โดยที่${\displaystyle f(x)=ae^{kx}.}$

ถ้าเงื่อนไขสุดท้ายได้รับการตรวจสอบแล้ว ให้...${\textstyle \varphi (d)=f(x+d)/f(x),}$ซึ่งเป็นอิสระจาก⁠${\displaystyle x}$การใช้​${\displaystyle \varphi (0)=1}$หนึ่งได้รับ $${\displaystyle {\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}=f(x)\,{\frac {\varphi (d)-\varphi (0)}{d}}.}$$ การหาลิมิตเมื่อ⁠${\displaystyle d}$⁠ tends to zero, one gets that the third condition is verified with ⁠${\displaystyle k=\varphi '(0)}$⁠. It follows therefore that ⁠${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$⁠ for some ⁠${\displaystyle a,}$⁠ and ⁠${\displaystyle \varphi (d)=e^{kd}.}$⁠ As a byproduct, one gets that $${\displaystyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}=e^{k}}$$ is independent of both ⁠${\displaystyle x}$⁠ and ⁠${\displaystyle d}$⁠.

ฟังก์ชัน เลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติ เชิงซ้อน มีความสัมพันธ์กันอย่างมากตามสูตรของออยเลอร์ : $${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).}$$

สูตรนี้แสดงการแยกส่วนของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการ : $${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\,\cos y+ie^{x}\,\sin y.}$$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงได้ในรูปของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\\tan x&=i\,{\frac {1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}}\end{aligned}}}$$

ในสูตรเหล่านี้⁠${\displaystyle x,y,t}$โดยทั่วไปแล้วตัวแปร เหล่านี้จะถูกตีความว่าเป็นตัวแปรจริง แต่สูตรยังคงใช้ได้หากตัวแปรเหล่านี้ถูกตีความว่าเป็นตัวแปรเชิงซ้อน สูตรเหล่านี้อาจใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรเชิงซ้อน ^{[ 16 ]}

• กราฟสามมิติแสดงส่วนจริง ส่วนจินตนาการ และค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนว่าเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปรจริงสี่ตัว: $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$ กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นพื้นผิวสองมิติที่โค้งผ่านสี่มิติ

เริ่มต้นด้วยส่วนที่ใช้รหัสสี${\displaystyle xy}$ต่อไปนี้เป็นภาพแสดงกราฟในรูปแบบต่างๆ ที่ฉายลงบนระนาบสองหรือสามมิติ

• กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน
• 
  คำอธิบายสัญลักษณ์ตารางหมากรุก: ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  การฉายภาพลงบนระนาบเชิงซ้อนช่วง (V/W) เปรียบเทียบกับภาพถัดไปซึ่งเป็นภาพแบบเปอร์สเปคทีฟ
• 
  การฉายภาพเข้าไปใน${\displaystyle x}$,${\displaystyle v}$, และ${\displaystyle w}$มิติที่ทำให้เกิดรูปทรงคล้ายเขาหรือกรวยที่บานออก (จินตนาการเป็นภาพทัศนียภาพแบบ 2 มิติ)
• 
  การฉายภาพเข้าไปใน${\displaystyle y}$,${\displaystyle v}$, และ${\displaystyle w}$มิติ ทำให้เกิดรูปทรงเกลียว (${\displaystyle y}$(ขยายช่วงเป็น ±2 πอีกครั้งในรูปแบบภาพมุมมอง 2 มิติ)

ภาพที่สองแสดงให้เห็นว่าระนาบเชิงซ้อนโดเมนถูกแมปไปยังระนาบเชิงซ้อนเรนจ์อย่างไร:

• ศูนย์ถูกแปลงเป็น 1
• ของจริง${\displaystyle x}$แกนถูกแมปไปยังค่าจริงบวก${\displaystyle v}$แกน
• จินตนาการ${\displaystyle y}$แกนหมุนจะพันรอบวงกลมหน่วยด้วยอัตราเชิงมุมคงที่
• ค่าที่มีส่วนจริงเป็นลบจะถูกแมปไว้ภายในวงกลมหน่วย
• ค่าที่มีส่วนจริงเป็นบวกจะถูกแมปอยู่นอกวงกลมหน่วย
• ค่าที่มีส่วนจริงคงที่ จะถูกแมปไปยังวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์
• ค่าที่มีส่วนจินตนาการคงที่ จะถูกแมปไปยังรังสีที่ทอดยาวจากศูนย์

ภาพที่สามและสี่แสดงให้เห็นว่ากราฟในภาพที่สองขยายออกไปสู่มิติอื่นอีกสองมิติที่ไม่ได้แสดงในภาพที่สองอย่างไร

ภาพที่สามแสดงกราฟที่ขยายออกไปตามค่าจริง${\displaystyle x}$แกนนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟเป็นพื้นผิวของการหมุนรอบแกน${\displaystyle x}$แกนของกราฟฟังก์ชันเลขชี้กำลังจริง ทำให้เกิดรูปทรงคล้ายเขาหรือกรวย

ภาพที่สี่แสดงกราฟที่ขยายออกไปตามเส้นสมมุติ${\displaystyle y}$แกนนี้แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวของกราฟสำหรับค่าบวกและค่าลบ${\displaystyle y}$ค่านิยมไม่ได้สอดคล้องกันอย่างแท้จริงในแง่ของความเป็นจริงเชิงลบ${\displaystyle v}$แกน แต่กลับก่อตัวเป็นพื้นผิวเกลียวรอบแกนแทน${\displaystyle y}$แกนของมัน${\displaystyle y}$ค่าต่างๆ ได้ถูกขยายไปถึง± 2πแล้ว ภาพนี้ยังแสดงให้เห็นถึง ความเป็น คาบ 2πในส่วนจินตนาการ ได้ดีขึ้นด้วย${\displaystyle y}$ค่า.

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถคำนวณได้โดยใช้เศษส่วนต่อเนื่อง เช่น กัน

เศษส่วนต่อเนื่องสำหรับe ^xสามารถหาได้จากเอกลักษณ์ของออยเลอร์ : $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

เศษส่วนต่อเนื่องทั่วไปต่อไปนี้สำหรับe ^zซึ่งเป็นผลมาจากออยเลอร์เช่นกัน^{[ 21 ]} ลู่เข้าได้เร็วกว่า: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

หรือโดยการแทนที่ด้วยz = ⁠ x / y ⁠ : $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$ โดยมีกรณีพิเศษสำหรับz = 2 : $${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

สูตรนี้ยังลู่เข้าได้เช่นกัน แม้ว่าจะช้ากว่าก็ตาม สำหรับz > 2ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots }}}}}}}}}$$

^{นิยามอนุกรมกำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นั้น}สมเหตุสมผลสำหรับเมทริก ซ์จัตุรัส (ซึ่งฟังก์ชันนี้เรียกว่า^เมทริกซ์เลขชี้กำลัง ) และโดยทั่วไปในพีชคณิตบานาคแบบ เอกลักษณ์ใดๆ Bในบริบทนี้e⁰ = 1และe⁻ˣสามารถหาตัวผกผันได้ โดยมีตัวผกผันคือ^e⁻ˣสำหรับ x ใดๆใน B ถ้า xy = yx แล้ว e⁻ˣ + ^{y =} e⁻ˣ + ^e⁻ˣ + ^yแต่เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้สำหรับxและy ^{ที่ ไม่สลับ ที่}กัน

นิยามทางเลือกบางอย่างนำไปสู่ฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่นe ^xสามารถนิยามได้ดังนี้ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

หรือe ^xสามารถกำหนดเป็นf (1)โดยที่f   : R → Bคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์⁠ df / dt ⁠ ( t ) = x f ( t )โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นf ( 0) = 1 ; ซึ่งสรุปได้ว่าf ( t ) = e ^txสำหรับทุกtในR

กำหนดให้กลุ่มลีG และ พีชคณิตลีที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$แผนที่เลขชี้กำลังเป็นแผนที่ชนิดหนึ่ง${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$โดยมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกัน ในความเป็นจริง เนื่องจากRคือพีชคณิตลีของกลุ่มลีของจำนวนจริงบวกทั้งหมดภายใต้การคูณ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดาสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นจำนวนจริงจึงเป็นกรณีพิเศษของสถานการณ์พีชคณิตลี ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากกลุ่มลีGL( n , R )ของ เมทริกซ์ n × n ที่ผกผันได้ มีพีชคณิตลีM( n , R ) ซึ่งเป็น ปริภูมิของ เมทริกซ์ n × n ทั้งหมด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสจึงเป็นกรณีพิเศษของแผนที่เลขชี้กำลังของพีชคณิตลี

อัตลักษณ์${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$สูตร นี้อาจใช้ไม่ได้กับองค์ประกอบพีชคณิตลีxและyที่ไม่สามารถสลับลำดับกันได้โดยสูตร Baker–Campbell–Hausdorffจะให้พจน์แก้ไขที่จำเป็น