ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่อธิบายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์หนึ่งๆ โดยกำหนดให้เหตุการณ์เฉพาะอย่างหนึ่งเกิดขึ้น เมื่อมีตัวแปรสุ่ม สองตัว ที่มีการแจกแจงร่วมกัน คือและการแจกแจง ความน่าจะ เป็นแบบมีเงื่อนไขของเมื่อทราบว่า มีค่าใดค่าหนึ่ง คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของ เมื่อทราบว่ามีค่าใดค่าหนึ่ง ในบางกรณี ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอาจแสดงในรูปของฟังก์ชันที่มีค่าที่ไม่ระบุของเป็นพารามิเตอร์เมื่อทั้งและเป็นตัวแปรเชิงหมวดหมู่ โดยทั่วไปจะใช้ตารางความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเพื่อแสดงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขแตกต่างจากการแจกแจงแบบทั่วไปของตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นการแจกแจงโดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรอื่น ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ถ้าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของที่กำหนดเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่องฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของมันเรียกว่า ฟังก์ชันความหนาแน่น แบบมีเงื่อนไข^{[ 1 ]}คุณสมบัติของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข เช่นโมเมนต์มักจะถูกอ้างถึงด้วยชื่อที่สอดคล้องกัน เช่นค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขและความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกล่าวถึงการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของกลุ่มย่อยของชุดตัวแปรมากกว่าสองตัว การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขนี้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรที่เหลือทั้งหมด และหากมีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวรวมอยู่ในกลุ่มย่อย การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขนี้ก็คือการแจกแจงร่วม แบบมีเงื่อนไข ของตัวแปรที่รวมอยู่ด้วย

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของค่าที่กำหนดให้ สามารถเขียนได้ตามนิยามดังนี้: ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=x}$

เนื่องจากการปรากฏของในตัวส่วน ทำให้ค่านี้ถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ (ดังนั้นจึงเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด)${\displaystyle P(X=x)}$${\displaystyle P(X=x).}$

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าที่กำหนดคือ: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

พิจารณาการทอยลูกเต๋าที่ยุติธรรม และให้ค่า เป็น 1 ถ้าเลขที่ได้เป็นเลขคู่ (เช่น 2, 4 หรือ 6) และเป็น 1 ถ้าเป็นเลขอื่น นอกจากนี้ ให้ค่า เป็น 1 ถ้าเลขที่ได้เป็นจำนวนเฉพาะ (เช่น 2, 3 หรือ 5) และเป็น 1 ถ้าเป็นเลขอื่น ${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle Y=1}$${\displaystyle Y=0}$

ดังนั้น ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่ว่าคือ 3/6 = 1/2 (เนื่องจากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทอยลูกเต๋าหกแบบ ซึ่งสามแบบเป็นเลขคู่) ในขณะที่ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ที่ว่า คือ 1/3 (เนื่องจากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ของการทอยลูกเต๋า ที่เป็นจำนวนเฉพาะ สามแบบ คือ 2, 3 และ 5 ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นเลขคู่) ${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=1}$${\displaystyle Y=1}$

ในทำนองเดียวกันสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเมื่อกำหนดการเกิดของค่าของสามารถเขียนได้เป็น^{[ 2 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

โดยที่แสดงถึงความหนาแน่นร่วมของและในขณะที่แสดงถึงความหนาแน่นส่วนขอบของนอกจากนี้ ในกรณีนี้จำเป็นต้องมีด้วย ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าที่กำหนดนั้นแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

แนวคิดเรื่องการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนั้นไม่ได้เข้าใจง่ายอย่างที่คิด: ปรากฏการณ์บอเรลแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องคงที่ภายใต้การแปลงพิกัด

กราฟแสดงความหนาแน่นร่วมปกติแบบสองตัวแปรสำหรับตัวแปรสุ่มและเพื่อดูการกระจายของโดยมีเงื่อนไขว่าเราสามารถจินตนาการถึงเส้นในระนาบ ก่อน แล้วจึงจินตนาการถึงระนาบที่บรรจุเส้นนั้นและตั้งฉากกับระนาบ จุดตัดของระนาบนั้นกับความหนาแน่นร่วมปกติ เมื่อปรับขนาดให้มีพื้นที่ใต้จุดตัดเท่ากับหนึ่งหน่วย จะได้เป็นความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องของ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{Y}+{\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho (70-\mu _{X}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{Y}^{2}\right).}$

ตัวแปรสุ่ม และ จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของเมื่อกำหนดให้เท่ากับการแจกแจงแบบไม่มีเงื่อนไขของ สำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ ของ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง หมายความว่าสำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของและโดยที่สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องและซึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่นร่วมหมายความว่าสำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของและโดยที่ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X=x)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

เมื่อมองว่าเป็นฟังก์ชันของสำหรับค่าที่กำหนดให้มันคือฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล ดังนั้นผลรวมเหนือทุกค่า(หรือปริพันธ์หากเป็นความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข) จะเท่ากับ 1 เมื่อมองว่าเป็นฟังก์ชันของสำหรับค่าที่กำหนดให้มันคือฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขดังนั้นผลรวม (หรือปริพันธ์) เหนือทุกค่าจึงไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 1 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

นอกจากนี้ ค่ามาร์จินัลของการแจกแจงร่วมสามารถแสดงได้ในรูปของค่าคาดหวังของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น. ${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(x\ |\ Y)]}$

ให้เป็นปริภูมิความน่าจะเป็น และเป็นฟิลด์ ในเมื่อกำหนดทฤษฎีบทRadon–Nikodymบ่งชี้ว่ามี^{[ 3 ]}ตัวแปรสุ่มที่วัดได้เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเช่นสำหรับทุกและตัวแปรสุ่มดังกล่าวถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงเซตที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเรียกว่าปกติถ้าเป็นการวัดความน่าจะเป็นบนสำหรับทุกae ${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )}$${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}})}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

กรณีพิเศษ:

• สำหรับพีชคณิตซิกมาแบบง่ายความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือฟังก์ชันคงที่${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\โอเมก้า \}}$${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).}$
• ถ้าเช่นนั้นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ (ที่กำหนดไว้ด้านล่าง )${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}}$

ให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าอยู่ใน สำหรับแต่ละให้กำหนดสำหรับใดๆฟังก์ชันเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเมื่อกำหนดให้ถ้า เป็นการวัดความน่าจะเป็นบนแล้วเรียกว่า การแจกแจง แบบปกติ${\displaystyle X:\Omega \to E}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$$${\displaystyle \mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}})}$$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

สำหรับตัวแปรสุ่มค่าจริง (โดยสัมพันธ์กับฟิลด์ Borel บน) การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขทุกแบบเป็นแบบปกติ^{[ 4 ]}ในกรณีนี้เกือบจะแน่นอน ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu _{X\mid {\mathcal {G}}}(dx,\cdot )}$

สำหรับเหตุการณ์ใดๆให้กำหนดฟังก์ชันตัวบ่งชี้ : ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม โปรดสังเกตว่าค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มนี้เท่ากับความน่าจะเป็นของAเอง:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A).\;}$

เมื่อกำหนด ฟิลด์แล้ว ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะเป็นรูปแบบหนึ่งของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันตัวบ่งชี้สำหรับ: ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {G}})\;}$

ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มโดยสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขปกติ จะเท่ากับค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่มนั้น

พิจารณาปริภูมิความน่าจะเป็น และฟิลด์ซับซิกมา ฟิลด์ซับซิกมาสามารถตีความอย่างคร่าวๆ ได้ว่าประกอบด้วยเซตย่อยของข้อมูลในตัวอย่างเช่น เราอาจคิดว่าคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เมื่อกำหนดข้อมูลใน ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (B|{\mathcal {A}})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

โปรดจำไว้ด้วยว่าเหตุการณ์หนึ่งจะเป็นอิสระจากสนามซับซิกมาก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆ. การสรุปโดยทั่วไปว่าข้อมูลในไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นั้นไม่ถูกต้อง สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยตัวอย่างค้าน: ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=\mathbb {P} (B)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B}$

พิจารณาปริภูมิความน่าจะเป็นบนช่วงหน่วย , . ให้เป็นฟิลด์ซิกมาของเซตที่นับได้ทั้งหมด และเซตที่มีส่วนเติมเต็มเป็นเซตที่นับได้ ดังนั้นแต่ละเซตในมีการวัดหรือและเป็นอิสระจากเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ในอย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่ายังประกอบด้วยเหตุการณ์เอกพจน์ทั้งหมดใน(เซตเหล่านั้นที่มีเพียง เดียว) ดังนั้นการรู้ว่าเหตุการณ์ใดในเกิดขึ้นเทียบเท่ากับการรู้ว่าเหตุการณ์ใดเกิดขึ้นอย่างแน่นอน! ดังนั้นในแง่หนึ่ง จึงไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับ(เป็นอิสระจากกัน) และในอีกแง่หนึ่ง มันประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดใน^{[ 5 ]}${\displaystyle \Omega =[0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• การปรับเงื่อนไข (ความน่าจะเป็น)
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขปกติ
• ทฤษฎีบทของเบย์ส