ความสอดคล้อง (เรขาคณิต)

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ความสอดคล้อง (เรขาคณิต)

ในทางเรขาคณิตรูปทรงหรือวัตถุสองรูปจะเท่ากันทุกประการหากมีรูปร่างและขนาด เหมือนกัน หรือหากรูปหนึ่งมีรูปร่างและขนาดเหมือนกับภาพสะท้อนของอีกรูปหนึ่ง

Q: ความสอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยม สองรูปจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อ ด้าน ที่สอดคล้องกัน มีความยาวเท่ากัน และ มุม ที่สอดคล้องกัน มีขนาดเท่ากัน

Q: การพิจารณาความสอดคล้อง

หลักฐานที่เพียงพอสำหรับการพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมสองรูปใน ปริภูมิยุคลิด นั้นเท่ากัน ทุกประการ สามารถแสดงได้โดยการเปรียบเทียบดังต่อไปนี้:

ในทางเรขาคณิตรูปทรงหรือวัตถุสองรูปจะเท่ากันทุกประการหากมีรูปร่างและขนาด เหมือนกัน หรือหากรูปหนึ่งมีรูปร่างและขนาดเหมือนกับภาพสะท้อนของอีกรูปหนึ่ง^{[ 1 ]}

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น จุดสองชุดจะเรียกว่าสมมาตรกันก็ต่อเมื่อ จุดหนึ่งสามารถแปลงเป็นอีกจุดหนึ่งได้โดยใช้ไอโซเมตรี กล่าว คือ การรวมกันของการเคลื่อนที่แบบคงรูปได้แก่การเลื่อน การหมุนและการสะท้อนซึ่งหมายความว่าวัตถุใดวัตถุหนึ่งสามารถจัดตำแหน่งใหม่และสะท้อน (แต่ไม่สามารถเปลี่ยนขนาดได้) เพื่อให้ทับซ้อนกับวัตถุอีกชิ้นหนึ่งได้อย่างแม่นยำ ดังนั้นรูปทรงเรขาคณิต สองรูปที่แตกต่างกัน บนกระดาษแผ่นเดียวกันจะสมมาตรกันก็ต่อเมื่อสามารถตัดออกมาแล้วนำมาต่อกันได้อย่างสมบูรณ์ การพลิกกระดาษนั้นทำได้

ในเรขาคณิตเบื้องต้น คำว่าcongruentมักใช้ดังนี้^{[ 2 ]} คำว่าequalมักใช้แทนคำว่าcongruentสำหรับวัตถุเหล่านี้

เส้นตรงสอง เส้น จะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อมีความยาวเท่ากัน
มุมสอง มุม จะมีขนาดเท่ากันก็ต่อเมื่อมุมทั้งสองมีขนาดเท่ากัน
วงกลมสอง วง จะเท่ากันทุกประการหากมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน

ในความหมายนี้ ประโยคที่ว่า "รูปทรงเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ" หมายความว่าลักษณะที่สอดคล้องกันของรูป ทรงเรขาคณิตทั้งสองนั้น เท่ากันทุกประการ (หรือเท่ากัน ) ซึ่งรวมถึงไม่เพียงแต่ด้านและมุมที่สอดคล้องกันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นทแยงมุม เส้นรอบรูป และพื้นที่ที่สอดคล้องกันด้วย

แนวคิดที่เกี่ยวข้องคือความคล้ายคลึงกันซึ่งใช้ได้ในกรณีที่วัตถุมีรูปร่างเหมือนกัน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน (คำจำกัดความส่วนใหญ่ถือว่าความสอดคล้องเป็นรูปแบบหนึ่งของความคล้ายคลึงกัน แม้ว่าจะมีบางคำจำกัดความที่กำหนดให้วัตถุต้องมีขนาดแตกต่างกันจึงจะถือว่าคล้ายคลึงกัน)

การตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยมสีส้มและสีเขียวเท่ากันทุกประการ ส่วนรูปสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินไม่เท่ากันทุกประการ ทั้งสามรูปมีเส้นรอบรูปและพื้นที่ เท่ากัน (การเรียงลำดับด้านของรูปสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินนั้น "สลับกัน" ทำให้มุมภายในสองมุมและเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นไม่เท่ากัน)

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการได้นั้น รูปหลายเหลี่ยมทั้งสองต้องมีจำนวนด้านเท่ากัน (และด้วยเหตุนี้จึงต้องมีจำนวนจุดยอดเท่ากันด้วย) รูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีnด้านจะเท่ากันทุกประการได้ก็ต่อเมื่อลำดับของด้านและมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งสองนั้นเหมือนกันทุกประการ (แม้ว่าลำดับจะเป็นตามเข็มนาฬิกาสำหรับรูปหลายเหลี่ยมหนึ่งและทวนเข็มนาฬิกาสำหรับอีกรูปหนึ่งก็ตาม) โดยมีรูปแบบคือ ด้าน-มุม-ด้าน-มุม-... สำหรับnด้านและnมุม

สามารถตรวจสอบความสอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมได้โดยใช้กราฟดังต่อไปนี้:

ขั้นแรก ให้จับคู่และระบุชื่อจุดยอดที่ตรงกันของรูปทั้งสองรูป
ประการที่สอง ลากเวกเตอร์จากจุดยอดจุดหนึ่งของรูปหนึ่งไปยังจุดยอดที่สอดคล้องกันของอีกรูปหนึ่ง จากนั้น เลื่อนรูปแรกไปตามเวกเตอร์นี้เพื่อให้จุดยอดทั้งสองตรงกัน
ประการที่สามหมุนรูปที่แปลแล้วรอบจุดยอดที่ตรงกันจนกระทั่งด้านที่สอดคล้อง กันคู่หนึ่งตรงกัน
ประการที่สี่สะท้อนภาพที่หมุนแล้วไปรอบๆ ด้านที่ตรงกันนี้ จนกระทั่งภาพทั้งสองตรงกัน

หากไม่สามารถดำเนินการตามขั้นตอนได้ในเวลาใดก็ตาม รูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นจะไม่เท่ากันทุกประการ

ความสอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อด้าน ที่สอดคล้องกัน มีความยาวเท่ากัน และมุม ที่สอดคล้องกัน มีขนาดเท่ากัน

ในเชิงสัญลักษณ์ เราเขียนความสอดคล้องและความไม่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมสองรูป $△ ABC$ และ $△ A'B'C'$ ดังนี้:

$ABC\cong A'B'C'$ $ABC\ncong A'B'C'$ ในหลายกรณี การพิสูจน์ว่าส่วนประกอบที่สอดคล้องกันทั้งสามส่วนเท่ากันก็เพียงพอแล้ว และใช้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้เพื่อสรุปว่าสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

การพิจารณาความสอดคล้อง

หลักฐานที่เพียงพอสำหรับการพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมสองรูปในปริภูมิยุคลิด นั้นเท่ากัน ทุกประการ สามารถแสดงได้โดยการเปรียบเทียบดังต่อไปนี้:

SAS (ด้าน-มุม-ด้าน): ถ้าด้านสองคู่ของสามเหลี่ยมสองรูปมีความยาวเท่ากัน และมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะเป็นรูปที่เท่ากันทุกประการ
SSS (ด้าน-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านสามคู่ของสามเหลี่ยมสองรูปมีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นจะเป็นรูปที่เท่ากันทุกประการ
ASA (มุม-ด้าน-มุม): ถ้ามุมสองคู่ของสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดเท่ากัน และด้านที่อยู่ระหว่างมุมทั้งสองนั้นมีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ

สัจพจน์ ASA นั้นมีที่มาจากธาเลสแห่งมิเลตุสในระบบสัจพจน์ส่วนใหญ่ เกณฑ์ทั้งสามข้อ ได้แก่ SAS, SSS และ ASA จะถูกกำหนดให้เป็นทฤษฎีบทในระบบSchool Mathematics Study Group นั้นSASถือเป็นหนึ่งในสัจพจน์ (#15) จำนวน 22 ข้อ

AAS (มุม-มุม-ด้าน): ถ้ามุมสองคู่ของสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่คั่นกลางที่สอดคล้องกันมีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ เงื่อนไข AAS เทียบเท่ากับเงื่อนไข ASA เนื่องจากถ้ากำหนดมุมสองมุมใดๆ มุมที่สามก็จะถูกกำหนดเช่นกัน เพราะผลรวมของมุมทั้งสองควรเป็น 180° บางครั้ง ASA และ AAS จะรวมกันเป็นเงื่อนไขเดียวคือAAcorrS – มุมสองมุมใดๆ และด้านที่สอดคล้องกัน^{[ 3 ]}
RHS (มุมฉาก-ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก): หรือที่รู้จักกันในชื่อ HL (ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก): ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านประกอบมุมฉากอีกคู่หนึ่งยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ

มุมด้านข้าง

เงื่อนไข SSA (ด้าน-ด้าน-มุม) ซึ่งระบุด้านสองด้านและมุมที่ไม่คั่นกลาง (หรือที่เรียกว่า ASS หรือ มุม-ด้าน-ด้าน) นั้น ไม่ได้พิสูจน์ความสอดคล้องกันโดยตัวมันเอง ในการแสดงความสอดคล้องกัน จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม เช่น ขนาดของมุมที่สมนัยกัน และในบางกรณี ความยาวของด้านที่สมนัยกันทั้งสองคู่ มีกรณีที่เป็นไปได้อยู่ไม่กี่กรณี:

ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปเป็นไปตามเงื่อนไข SSA และความยาวด้านตรงข้ามมุมมากกว่าหรือเท่ากับความยาวด้านประชิด (SSA หรือ ด้านยาว-ด้านสั้น-มุม) แล้วสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ บางครั้งด้านตรงข้ามจะยาวกว่าเมื่อมุมที่สอดคล้องกันเป็นมุมแหลม แต่จะ ยาวกว่า เสมอเมื่อมุมที่สอดคล้องกันเป็นมุมฉากหรือมุมป้าน ในกรณีที่มุมเป็นมุมฉาก หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก (HL) หรือเงื่อนไขมุมฉาก-ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก (RHS) เราสามารถคำนวณด้านที่สามได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบท SSS ได้

ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปเป็นไปตามเงื่อนไข SSA และมุมที่สอดคล้องกันเป็นมุมแหลม และความยาวด้านตรงข้ามมุมเท่ากับความยาวด้านประชิดคูณด้วยไซน์ของมุมนั้น สามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ

ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปตรงตามเงื่อนไข SSA และมุมที่สอดคล้องกันเป็นมุมแหลม และความยาวด้านตรงข้ามมุมมากกว่าความยาวด้านประชิดคูณด้วยไซน์ของมุม (แต่ต่ำกว่าความยาวด้านประชิด) แล้วจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ นี่คือกรณีที่คลุมเครือและสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่แตกต่างกันสองรูปได้จากข้อมูลที่กำหนด แต่ข้อมูลเพิ่มเติมที่แยกแยะสามเหลี่ยมทั้งสองรูปได้จะนำไปสู่การพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

มุม มุม มุม

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด AAA (มุม-มุม-มุม) (หรือแค่ AA เพราะในเรขาคณิตแบบยุคลิด ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°) ไม่ได้ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับขนาดของสามเหลี่ยมทั้งสองรูป ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้เพียงความคล้ายคลึงกันเท่านั้น ไม่ใช่ความเท่ากันทุกประการในปริภูมิยุคลิด

อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (ซึ่งผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะแปรผันตามขนาด) AAA เพียงพอสำหรับการสอดคล้องกันบนความโค้งของพื้นผิวที่กำหนด^{[ 4 ]}

ซีพีซีทีซี

คำย่อนี้หมายถึงส่วนที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการนั้นเท่ากันทุกประการซึ่งเป็นรูปแบบย่อของคำจำกัดความของสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

กล่าวโดยละเอียดแล้ว นี่เป็นวิธีพูดอย่างกระชับว่า ถ้าสามเหลี่ยม $ABC$ และ $DEF$ เท่ากันทุกประการ นั่นคือ

$\triangle ABC\cong \triangle DEF,$

ถ้าสามเหลี่ยมด้านเท่ามีมุมที่สอดคล้องกันที่จุดยอด $A$ และ $D$ ; $B$ และ $E$ ; และ $C$ และ $F$ และมีด้านที่สอดคล้องกัน ที่ $AB$ และ $DE$ ; $BC$ และ $EF$ ; และ $CA$ และ $FD$ แล้ว ข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง:

${\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}$ ${\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}$ ${\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}$ $\angle BAC\cong \angle EDF$ $\angle ABC\cong \angle DEF$ $\angle BCA\cong \angle EFD.$

ข้อความนี้มักใช้เป็นเหตุผลในการพิสูจน์ทางเรขาคณิตเบื้องต้น เมื่อต้องการข้อสรุปว่าส่วนต่าง ๆ ของสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ หลังจากที่ได้พิสูจน์แล้วว่าสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ ตัวอย่างเช่น หากได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการโดยใช้ เกณฑ์ SSSและต้องการข้อความที่ระบุว่ามุมที่สอดคล้องกันเท่ากันในการพิสูจน์ ก็สามารถใช้ CPCTC เป็นเหตุผลสนับสนุนข้อความดังกล่าวได้

ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องอีกทฤษฎีหนึ่งคือCPCFCซึ่งในทฤษฎีบทนี้ "สามเหลี่ยม" ถูกแทนที่ด้วย "รูปทรง" เพื่อให้ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมหรือทรงหลายเหลี่ยม ใดๆ ที่เท่ากันทุกประการ

นิยามของความสอดคล้องในเรขาคณิตวิเคราะห์

ในระบบพิกัดแบบยุคลิดความสอดคล้องกันเป็นหลักการพื้นฐาน เปรียบเสมือนความเท่ากันของจำนวน ในเรขาคณิตวิเคราะห์ความสอดคล้องกันอาจนิยามได้โดยง่ายดังนี้: การแมปภาพสองภาพไปยังระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเดียวกันจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อ สำหรับ จุดสองจุด ใดๆในการแมปภาพแรกระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดทั้งสองนั้นเท่ากับระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดที่สอดคล้องกันในการแมปภาพที่สอง

นิยามที่เป็นทางการกว่าระบุว่าเซตย่อยAและB สองเซต ในปริภูมิยุคลิดR ⁿเรียกว่าสมมูลกัน ถ้ามีไอโซเมตรีf : R ⁿ → R ⁿ (สมาชิกของกลุ่มยุคลิดE ( n )) โดยที่f ( A ) = Bความสมมูลคือความสัมพันธ์สมมูล

ภาคตัดกรวยที่สมมาตร

ภาคตัดกรวยสองรูปจะสมมาตรกันก็ต่อเมื่อค่าความเยื้องศูนย์และพารามิเตอร์อื่นอีกหนึ่งตัวที่บ่งบอกลักษณะของภาคตัดกรวยทั้งสองนั้นเท่ากัน ค่าความเยื้องศูนย์กำหนดรูปร่างของภาคตัดกรวย ซึ่งความเท่ากันของค่าความเยื้องศูนย์ก็เพียงพอที่จะบ่งบอกถึงความคล้ายคลึงกัน และพารามิเตอร์ตัวที่สองจะกำหนดขนาด เนื่องจากวงกลม พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลาเหลี่ยม สองรูป จะมีค่าความเยื้องศูนย์เท่ากันเสมอ (โดยเฉพาะ 0 ในกรณีของวงกลม 1 ในกรณีของพาราโบลา และ 1 ในกรณีของไฮเปอร์โบ ลาเหลี่ยม) ${\sqrt {2}}$ ในกรณีของไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า วงกลม พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป จำเป็นต้องมีค่าพารามิเตอร์ร่วมกันเพียงค่าเดียวเท่านั้น เพื่อกำหนดขนาดของรูปทั้งสอง จึงจะถือว่าสมมาตรกัน

ทรงหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

สำหรับทรงหลายเหลี่ยม สองรูป ที่มีประเภทเชิงการจัดเรียงเหมือนกัน (นั่นคือ มีจำนวนขอบE เท่ากัน จำนวน หน้า เท่ากัน และจำนวนด้านบนหน้าที่สอดคล้องกันเท่ากัน) จะมีชุด การวัด E ชุด ที่สามารถระบุได้ว่าทรงหลายเหลี่ยมนั้นสมมาตรกันหรือไม่^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} จำนวนนี้ค่อนข้างจำกัด หมายความว่าการวัดน้อยกว่าE ครั้งจะไม่เพียงพอหากทรงหลายเหลี่ยมนั้นเป็นแบบทั่วไปในประเภทเชิงการจัดเรียง แต่การวัดที่น้อยกว่านั้นก็สามารถใช้ได้ในกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์มี 12 ขอบ แต่การวัด 9 ครั้งก็เพียงพอที่จะตัดสินได้ว่าทรงหลายเหลี่ยมประเภทเชิงการจัดเรียงนั้นสมมาตรกับลูกบาศก์ปกติที่กำหนดหรือไม่

สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการบนทรงกลม

เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมระนาบ บนทรงกลม สามเหลี่ยมสองรูปที่มีลำดับมุม-ด้าน-มุม (ASA) เดียวกันจะต้องเท่ากันทุกประการ (นั่นคือ มีด้านที่เหมือนกันสามด้านและมุมที่เหมือนกันสามมุม) ^{[ 9 ]}สามารถมองได้ดังนี้: เราสามารถวางจุดยอดจุดหนึ่งที่มีมุมที่กำหนดไว้ที่ขั้วใต้ และลากด้านที่มีความยาวที่กำหนดขึ้นไปตามเส้นเมริเดียนหลัก การทราบมุมทั้งสองที่ปลายด้านใดด้านหนึ่งของส่วนที่มีความยาวคงที่ทำให้มั่นใจได้ว่าด้านอีกสองด้านจะออกมาด้วยวิถีที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง และจะมาบรรจบกันที่จุดที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง ดังนั้น ASA จึงใช้ได้

ทฤษฎีบทความสอดคล้องด้าน-มุม-ด้าน (SAS) และด้าน-ด้าน-ด้าน (SSS) ยังใช้ได้กับทรงกลมด้วย นอกจากนี้ หากสามเหลี่ยมทรงกลมสองรูปมีลำดับมุม-มุม-มุม (AAA) ที่เหมือนกัน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นจะสอดคล้องกัน (ซึ่งแตกต่างจากสามเหลี่ยมระนาบ) ^{[ 9 ]}

ทฤษฎีบทความสอดคล้องของสามเหลี่ยมระนาบ มุม-มุม-ด้าน (AAS) ไม่เป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมทรงกลม^{[ 10 ]}เช่นเดียวกับในเรขาคณิตระนาบ ด้าน-ด้าน-มุม (SSA) ไม่ได้หมายความถึงความสอดคล้อง

สัญกรณ์

สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการเท่ากันคือเครื่องหมายเท่ากับที่มีเครื่องหมายทิลเดอยู่ด้านบน $≅$ ซึ่งตรงกับ อักขระ ยูนิโค้ด 'ประมาณเท่ากับ' (U+2245) ในสหราชอาณาจักร บางครั้งอาจใช้เครื่องหมายเท่ากับสามขีด $\equiv$ (U+2261)

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

หน่วย SSSที่Cut-the-Knot
SSAที่Cut-the-Knot
แอนิเมชันแบบโต้ตอบสาธิตรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการมุมที่เท่ากันทุกประการส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการและสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการที่ Math Open Reference

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]