ลูกตุ้มทรงกรวยประกอบด้วยตุ้มน้ำหนัก (หรือลูกตุ้ม ) ที่ยึดติดอยู่กับปลายเชือกหรือแท่งที่แขวนจากจุดหมุน โครงสร้างของมันคล้ายกับลูกตุ้ม ธรรมดา อย่างไรก็ตาม แทนที่จะแกว่งไปมาตามส่วนโค้งวงกลม ลูกตุ้มของลูกตุ้มทรงกรวยจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในวงกลมหรือวงรีโดยเชือก (หรือแท่ง) จะลากเป็นรูปกรวยลูกตุ้มทรงกรวยได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษโรเบิร์ต ฮุกประมาณปี ค.ศ. 1660 ^{[ 1 ]}ในฐานะแบบจำลองสำหรับการเคลื่อนที่ในวงโคจรของดาวเคราะห์^{[ 2 ]} ในปี ค.ศ. 1673 นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์คริสเตียนฮุยเกนส์ได้คำนวณคาบของมัน โดยใช้แนวคิดใหม่เกี่ยวกับแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางในหนังสือHorologium Oscillatorium ของเขา ต่อมามันถูกใช้เป็นองค์ประกอบในการบอกเวลาในนาฬิกาเชิงกลบางเรือนและอุปกรณ์บอกเวลาแบบกลไกอื่นๆ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1800 ลูกตุ้มทรงกรวยถูกใช้เป็นองค์ประกอบในการจับเวลาในกลไกนาฬิกาบางกลไกที่ต้องการการเคลื่อนไหวที่ราบรื่น ซึ่งแตกต่างจากการเคลื่อนไหวที่กระตุกอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ของลูกตุ้มธรรมดา^{[ 4 ]} ตัวอย่างสองประการ ได้แก่ กลไกในการหมุนเลนส์ของประภาคารเพื่อกวาดลำแสงไปทั่วทะเล และกลไกขับเคลื่อนตำแหน่งของกล้องโทรทรรศน์แบบติดตั้งบนฐานเส้นศูนย์สูตร เพื่อให้กล้องโทรทรรศน์สามารถติดตามดาวได้อย่างราบรื่นบนท้องฟ้าขณะที่โลกหมุน^{[ 3 ]}

หนึ่งในประโยชน์ที่สำคัญที่สุดของลูกตุ้มทรงกรวยคือการนำไปใช้ในตัวควบคุมความเร็วแบบลูกตุ้ม ( ตัวควบคุมความเร็วแบบแรงเหวี่ยง ) ที่เจมส์ วัตต์ คิดค้นขึ้น ในปี 1788 ซึ่งใช้ควบคุมความเร็วของเครื่องยนต์ไอน้ำในช่วงยุคไอน้ำในทศวรรษ 1800

เกมในสนามเด็กเล่นบางเกม เช่นเทนนิสเสาและเทเทอร์บอลใช้ลูกบอลที่ผูกติดกับเสาด้วยเชือก ซึ่งทำหน้าที่เหมือนลูกตุ้มทรงกรวย แม้ว่าในเทเทอร์บอล ลูกตุ้มจะสั้นลงเมื่อเชือกพันรอบเสามากขึ้นก็ตามเครื่องเล่นในสวนสนุก บางชนิด ก็ทำงานเหมือนลูกตุ้มทรงกรวยเช่นกัน

พิจารณาลูกตุ้มทรงกรวยซึ่งประกอบด้วยลูกตุ้มมวลmหมุนเป็นวงกลมโดยไม่มีแรงเสียดทานด้วยความเร็วคงที่vบนเชือกยาวLทำมุมθกับแนวดิ่ง

มีแรงสองแรงกระทำต่อลูกตุ้ม:

• แรงตึงTในสาย ซึ่งกระทำไปตามแนวเส้นของสายและมุ่งไปยังจุดที่แขวนอยู่
• น้ำหนัก ของลูกตุ้มที่เคลื่อนลงคือmgโดยที่mคือมวลของลูกตุ้ม และgคือความเร่งโน้มถ่วง เฉพาะ ที่

แรงที่กระทำโดยเชือกสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบในแนวนอนT  sin( θ ) ที่พุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม และส่วนประกอบในแนวตั้งT  cos( θ ) ที่พุ่งขึ้นด้านบน จากกฎข้อที่สองของนิวตันส่วนประกอบในแนวนอนของแรงตึงในเชือกทำให้ลูกตุ้มมีความเร่งสู่ศูนย์กลางพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม:

${\displaystyle T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,}$

เนื่องจากไม่มีความเร่งในทิศทางแนวตั้ง ดังนั้นส่วนประกอบแนวตั้งของแรงตึงในเชือกจึงเท่ากับและตรงข้ามกับน้ำหนักของลูกตุ้ม:

${\displaystyle T\cos \theta =mg\,}$

สามารถแก้สมการทั้งสองนี้เพื่อหาค่าT / mแล้วนำมาเท่ากัน ซึ่งจะทำให้Tและm หายไป และได้ค่าความเร่งสู่ศูนย์กลาง:

${\displaystyle {g\tan \theta }={\frac {v^{2}}{r}}}$

เมื่อจัดเรียงใหม่เล็กน้อยจะได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}}$

เนื่องจากความเร็วของลูกตุ้มคงที่ จึงสามารถแสดงได้ด้วยสูตร เส้นรอบวง 2πr หารด้วยเวลาtที่ลูกตุ้มหมุนครบหนึ่งรอบ:

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{t}}}$

เมื่อแทนค่า vทางด้านขวาของสมการนี้ลงในสมการก่อนหน้า เราจะได้ว่า:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}}$

โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ tan( θ ) = sin( θ ) / cos( θ ) และแก้หาค่าtจะได้ว่าเวลาที่ลูกตุ้มใช้ในการหมุนครบหนึ่งรอบคือ

${\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}}$

ในการทดลองจริงrจะแปรผันและวัดได้ยากกว่าความยาวเชือกคงที่L สามารถตัดr ออกจากสมการได้โดยสังเกตว่า r , hและLประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่θคือมุมระหว่างด้านประกอบมุมฉากhกับด้านตรงข้ามมุมฉากL (ดูแผนภาพ) ดังนั้น

${\displaystyle r=L\sin \theta \,}$

การแทนค่านี้ลงในrจะได้สูตรที่มีพารามิเตอร์แปรผันเพียงอย่างเดียวคือมุมแขวน  θ : ^{[ 5 ]}

สำหรับมุมθ ขนาดเล็ก cos( θ ) ≈ 1; ในกรณีนี้

${\displaystyle t\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

ดังนั้นสำหรับมุมเล็กๆ คาบเวลาtของลูกตุ้มทรงกรวยจะเท่ากับคาบเวลาของลูกตุ้มธรรมดาที่มีความยาวเท่ากัน นอกจากนี้ คาบเวลาสำหรับมุมเล็กๆ แทบจะไม่ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของมุมθซึ่งหมายความว่าคาบเวลาของการหมุนแทบจะไม่ขึ้นอยู่กับแรงที่ใช้ในการหมุน คุณสมบัตินี้เรียกว่าไอโซโครนิสม์ (isochronism ) ซึ่งเป็นคุณสมบัติร่วมกับลูกตุ้มธรรมดา และทำให้ลูกตุ้มทั้งสองประเภทมีประโยชน์ในการบอกเวลา

• กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
• ลูกตุ้ม
• ลูกตุ้ม (กลศาสตร์)
• ลูกตุ้มทรงกลม

• โปรแกรมจำลองลูกตุ้มทรงกรวยแบบโต้ตอบได้ในภาษา Java