ในกลศาสตร์ต่อเนื่องและอุณหพลศาสตร์ปริมาตรควบคุม ( CV ) เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางกายภาพ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยมันคือบริเวณ สมมติที่มี ปริมาตรที่กำหนดซึ่งคงที่ในอวกาศหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วการไหลคงที่ซึ่งตัวกลางต่อเนื่อง (ตัวกลางต่อเนื่อง เช่น ก๊าซ ของเหลว หรือของแข็ง)ไหลผ่านพื้นผิวปิดที่ล้อมรอบบริเวณนั้นเรียกว่า พื้น ผิวควบคุม^{[ 1 ]}

ในสภาวะสมดุลคงที่ปริมาตรควบคุมสามารถคิดได้ว่าเป็นปริมาตรใดๆ ที่มวลของสสารคงที่ เมื่อสสารเคลื่อนที่ผ่านปริมาตรควบคุม มวลที่เข้าสู่ปริมาตรควบคุมจะเท่ากับมวลที่ออกจากปริมาตรควบคุม ในสภาวะสมดุลคงที่และในกรณีที่ไม่มีงานและการถ่ายเทความร้อนพลังงานภายในปริมาตรควบคุมจะคงที่ แนวคิดนี้คล้ายคลึงกับ แนวคิด ในกลศาสตร์คลาสสิกเรื่อง แผนภาพแรงอิสระ

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อทำความเข้าใจว่ากฎทางฟิสิกส์ ข้อใด ข้อหนึ่งนำไปใช้กับระบบที่กำลังพิจารณาอย่างไร เราต้องเริ่มต้นด้วยการพิจารณาว่ามันนำไปใช้กับปริมาตรควบคุมขนาดเล็ก หรือ "ปริมาตรตัวแทน" อย่างไร ปริมาตรควบคุมนั้นไม่มีอะไรพิเศษ มันเป็นเพียงตัวแทนของส่วนเล็กๆ ของระบบที่สามารถนำกฎทางฟิสิกส์ไปใช้ได้ง่าย ซึ่งนำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบปริมาตร หรือแบบแบ่งตามปริมาตร

เราอาจกล่าวได้ว่า เนื่องจากกฎทางฟิสิกส์แสดงพฤติกรรมในลักษณะหนึ่งบนปริมาตรควบคุมเฉพาะจุดหนึ่ง ดังนั้นจึงแสดงพฤติกรรมในลักษณะเดียวกันบนปริมาตรควบคุมทั้งหมด เนื่องจากปริมาตรควบคุมเฉพาะจุดนั้นไม่ได้มีความพิเศษแต่อย่างใด ด้วยวิธีนี้ เราจึงสามารถพัฒนารูปแบบทางคณิตศาสตร์ แบบเฉพาะจุด เพื่ออธิบายพฤติกรรมทางฟิสิกส์ของระบบทั้งหมด (และอาจซับซ้อนกว่านั้น) ได้

ในกลศาสตร์ต่อเนื่องสมการอนุรักษ์ (เช่น สมการนาเวียร์-สโตกส์ ) อยู่ในรูปแบบอินทิกรัล ดังนั้นจึงใช้ได้กับปริมาตร การหารูปแบบของสมการที่ไม่ขึ้นอยู่กับปริมาตรควบคุมช่วยให้สามารถลดรูปเครื่องหมายอินทิกรัลได้ ปริมาตรควบคุมอาจอยู่นิ่งหรืออาจเคลื่อนที่ด้วยความเร็วตามอำเภอใจ^{[ 2 ]}

การคำนวณในกลศาสตร์ต่อเนื่องมักต้องการให้ตัวดำเนิน การอนุพันธ์ ตามเวลาปกติ ถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนิน การอนุพันธ์เชิงเนื้อหาซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้ ${\displaystyle d/dt\;}$${\displaystyle D/Dt}$

ลองพิจารณาแมลงตัวหนึ่งที่กำลังเคลื่อนที่ผ่านปริมาตรที่มีตัวแปรเชิงปริมาณ บางอย่าง เช่นความดันซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาและตำแหน่ง : ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$

หากในช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง มีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของบั๊ก จาก ถึง แสดง ว่าบั๊กนั้นประสบกับการเปลี่ยนแปลงค่าสเกลาร์ ${\displaystyle t\;}$${\displaystyle t+dt\;}$${\displaystyle (x,y,z)\;}$${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$${\displaystyle dp\;}$

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

( ผลต่างรวม ) ถ้าแมลงเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของอนุภาคคือ และเราอาจเขียนได้ว่า ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

โดยที่คือเกรเดียนต์ของฟิลด์สเกลาร์pดังนั้น: ${\displaystyle \nabla p}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

ถ้าแมลงเคลื่อนที่ไปตามกระแส สูตรเดียวกันก็ยังคงใช้ได้ แต่คราวนี้เวกเตอร์ความเร็วvคือเวกเตอร์ของกระแสu นิพจน์ในวงเล็บสุดท้ายคืออนุพันธ์เชิงเนื้อหาของความดัน สเกลาร์ เนื่องจากความดัน p ในการคำนวณนี้เป็นสนามสเกลาร์ใดๆ เราจึงสามารถแยกมันออกมาและเขียนตัวดำเนินการอนุพันธ์เชิงเนื้อหาได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

• กลศาสตร์ต่อเนื่อง
• สมการโมเมนตัมของโคชี
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
• อนุพันธ์เชิงเนื้อหา

• แนวทางแบบบูรณาการสำหรับการวิเคราะห์ปริมาตรควบคุมของการไหลของของเหลว