ในทางเรขาคณิตเซตของจุดในอวกาศจะอยู่บนระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อมีระนาบทาง เรขาคณิต ที่บรรจุจุดเหล่านั้นทั้งหมด ตัวอย่างเช่น จุดสามจุดจะอยู่บนระนาบเดียวกันเสมอ และถ้าจุดเหล่านั้นแตกต่างกันและไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันระนาบที่จุดเหล่านั้นกำหนดขึ้นจะมีเพียงระนาบเดียว อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เซตของจุดที่แตกต่างกันสี่จุดขึ้นไปจะไม่วางอยู่ในระนาบเดียวกัน

เส้นตรง สองเส้นในปริภูมิสามมิติจะอยู่บนระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อมีระนาบที่รวมเส้นตรงทั้งสองนั้นไว้ ซึ่งเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองขนานกันหรือตัดกัน ส่วนเส้นตรงสองเส้นที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันเรียกว่าเส้นเฉียง

เรขาคณิตเชิงระยะทางเป็นเทคนิคการแก้ปัญหาในการพิจารณาว่ากลุ่มจุดอยู่บนระนาบเดียวกันหรือไม่ โดยทราบเพียงระยะทางระหว่างจุดเหล่านั้น

ในปริภูมิสามมิติ เวกเตอร์ อิสระเชิงเส้น สองตัว ที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกันจะกำหนดระนาบที่ผ่านจุดนั้น ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ ทั้งสอง เป็น เวกเตอร์ ตั้งฉากกับระนาบนั้น และเวกเตอร์ใดๆที่ตั้งฉากกับผลคูณไขว้ที่ผ่านจุดเริ่มต้นนั้นจะอยู่ในระนาบ^{[ 1 ]}ซึ่งนำไปสู่การทดสอบการอยู่บนระนาบเดียวกันโดยใช้ผลคูณสามเท่าของสเกลาร์ ดังต่อไปนี้ :

จุดสี่จุดที่แตกต่างกันx ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄จะอยู่บนระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle [(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.}$

ซึ่งเทียบเท่ากับ

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.}$

ถ้าเวกเตอร์สามตัวa , b , cอยู่บนระนาบเดียวกัน แล้วถ้าa ⋅ b = 0 (นั่นคือaและbตั้งฉากกัน) แล้ว

${\displaystyle (\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}} )\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c} ,}$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }$แทนเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของaนั่นคือการฉายเวกเตอร์ของcบนaและcบนb รวมกันแล้ว ได้ cเดิม

เนื่องจากจุดสามจุดหรือน้อยกว่านั้นจะอยู่บนระนาบเดียวกันเสมอ ปัญหาในการพิจารณาว่ากลุ่มจุดอยู่บนระนาบเดียวกันหรือไม่จึงมักเป็นที่สนใจเฉพาะเมื่อมีจุดอย่างน้อยสี่จุด ในกรณีที่มีจุดสี่จุดพอดี สามารถใช้วิธีการเฉพาะกิจ ได้หลาย วิธี แต่โดยทั่วไปแล้ววิธีการหนึ่งที่ใช้ได้กับจุดจำนวนเท่าใดก็ได้จะใช้วิธีการทางเวกเตอร์และคุณสมบัติที่ว่าระนาบถูกกำหนดโดยเวกเตอร์สองตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้น

ใน ปริภูมิ nมิติ โดยที่n ≥ 3เซตของ จุด kจุดจะอยู่บนระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของผลต่างสัมพัทธ์ของจุดเหล่านั้น ซึ่งก็คือเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ (หรือแถว) เป็นเวกเตอร์มีอันดับ 2 หรือน้อยกว่า ${\displaystyle \{p_{0},\ p_{1},\ \dots ,\ p_{k-1}\}}$${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ \dots ,\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1}}}$

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้มีจุดสี่จุด

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}),\end{aligned}}}$

ถ้าเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1}&y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_{n}\\\end{bเมทริกซ์}}}$

ถ้าจุดทั้งสี่มีลำดับที่ 2 หรือต่ำกว่า จุดทั้งสี่จะอยู่บนระนาบเดียวกัน

ในกรณีพิเศษของระนาบที่ประกอบด้วยจุดกำเนิด คุณสมบัตินี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: เซตของ จุด kจุดและจุดกำเนิดอยู่บนระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของพิกัดของ จุด k จุดนั้น มีอันดับ 2 หรือน้อยกว่า

รูปหลายเหลี่ยมเฉียงคือรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวต้องมีจุดยอดอย่างน้อยสี่จุด และไม่มีรูปสามเหลี่ยมเฉียง

ทรงหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตร เป็นบวก จะมีจุดยอดที่ไม่ทั้งหมดอยู่บนระนาบเดียวกัน

• ความสอดคล้องเชิงเส้น
• ระนาบการตกกระทบ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ระนาบเดียวกัน" . แมธเวิลด์ .