ช่องว่างคูลอมบ์ซึ่งนำเสนอครั้งแรกโดย M. Pollak ^{[ 1 ]}เป็นช่องว่างอ่อนในความหนาแน่นสถานะ (DOS) ของอนุภาคเดี่ยวของระบบอิเล็กตรอนเฉพาะที่ที่มีปฏิสัมพันธ์กัน เนื่องจากการปฏิสัมพันธ์คูลอมบ์ระยะไกล ความหนาแน่นสถานะ (DOS) ของอนุภาคเดี่ยวจะหายไปที่ศักยภาพทางเคมีที่อุณหภูมิต่ำพอที่การกระตุ้นทางความร้อนจะไม่ทำให้ช่องว่างหายไป

ที่อุณหภูมิศูนย์ การพิจารณาระบบแบบคลาสสิกจะให้ขอบเขตบนสำหรับ DOS ใกล้พลังงานเฟอร์มิซึ่งเสนอโดยEfrosและShklovskii เป็นครั้งแรก ^{[ 2 ]}ข้อโต้แย้งมีดังนี้: ลองพิจารณา การกำหนด ค่าสถานะพื้นฐานของระบบ กำหนดให้เป็นพลังงานของอิเล็กตรอนที่ไซต์เนื่องมาจากความไม่เป็นระเบียบและปฏิสัมพันธ์คูลอมบ์กับอิเล็กตรอนอื่นๆ ทั้งหมด (เรากำหนดสิ่งนี้สำหรับทั้งไซต์ที่ถูกครอบครองและไซต์ที่ว่างอยู่) จะเห็นได้ง่ายว่าพลังงานที่จำเป็นในการเคลื่อนย้ายอิเล็กตรอนจากไซต์ที่ถูกครอบครองไปยังไซต์ที่ว่างอยู่จะได้รับจากนิพจน์: ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Delta E=E_{j}-E_{i}-e^{2}/r_{ij}}$.

การลบพจน์สุดท้ายนั้นอธิบายถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามีพจน์เนื่องจากปฏิสัมพันธ์กับอิเล็กตรอนที่อยู่ในตำแหน่งนั้นแต่หลังจากเคลื่อนย้ายอิเล็กตรอนแล้ว พจน์นี้ไม่ควรนำมาพิจารณา จากนี้จะเห็นได้ง่ายว่ามีพลังงานอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ทุกตำแหน่งที่มีพลังงานสูงกว่านั้นว่างเปล่า และต่ำกว่านั้นเต็ม (นี่คือพลังงานเฟอร์มิ แต่เนื่องจากเรากำลังจัดการกับระบบที่มีปฏิสัมพันธ์ จึงไม่ชัดเจนในเบื้องต้นว่ามันยังคงนิยามได้ดี) สมมติว่าเรามี DOS ของอนุภาคเดี่ยวที่มีค่าจำกัดที่พลังงานเฟอร์มิสำหรับการถ่ายโอนอิเล็กตรอนที่เป็นไปได้ทุกครั้งจากตำแหน่งที่ถูกครอบครองไปยังตำแหน่งที่ว่างพลังงานที่ลงทุนควรเป็นบวก เนื่องจากเราสมมติว่าเราอยู่ในสถานะพื้นฐานของระบบ นั่นคือสมมติว่าเรามีระบบขนาดใหญ่ พิจารณาทุกตำแหน่งที่มีพลังงานในช่วงจำนวนของตำแหน่งเหล่านี้ ตามสมมติฐาน คือ ดังที่ได้อธิบายไว้ของตำแหน่งเหล่านี้จะถูกครอบครอง และส่วนที่เหลือจะว่างเปล่า จากคู่ไซต์ที่ถูกครอบครองและว่างเปล่าทั้งหมด ให้เลือกคู่ที่ทั้งสองอยู่ใกล้กันที่สุด หากเราสมมติว่าไซต์กระจายแบบสุ่มในอวกาศ เราจะพบว่าระยะห่างระหว่างสองไซต์นี้มีลำดับ: โดยที่คือมิติของอวกาศ เมื่อแทนนิพจน์สำหรับลงในสมการก่อนหน้า เราจะได้อสมการ: โดยที่คือสัมประสิทธิ์ที่มีลำดับหนึ่ง เนื่องจาก อสมการนี้จะถูกละเมิดอย่างแน่นอนสำหรับค่า ที่เล็กพอดังนั้น การสมมติว่า DOS มีค่าจำกัดที่ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง การคำนวณข้างต้นซ้ำภายใต้สมมติฐานว่า DOS ใกล้เป็นสัดส่วนกับแสดงให้เห็นว่านี่คือขอบเขตบนสำหรับช่องว่างคูลอมบ์ Efros ^{[ 3 ]}พิจารณาการกระตุ้นอิเล็กตรอนเดี่ยว และได้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงปริพันธ์สำหรับ DOS ซึ่งแสดงให้เห็นว่าช่องว่างคูลอมบ์เป็นไปตามสมการข้างต้น (นั่นคือ ขอบเขตบนเป็นขอบเขตที่แน่น) ${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle g(E_{f})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \Delta E>=0}$${\displaystyle [E_{f}-\เอปไซลอน ,E_{f}+\เอปไซลอน ].}$${\displaystyle N=2\เอปไซลอน g(E_{f})}$${\displaystyle N/2}$${\displaystyle R\sim (N/V)^{-1/d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E_{j}-E_{i}-Ce^{2}(\เอปไซลอน g(E_{f})/V)^{1/d}>0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E_{j}-E_{i}<2\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle (E-E_{f})^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha >=d-1}$

การแก้ปัญหาอื่นๆ ได้แก่ วิธีการเชิงตัวเลขแบบสนามเฉลี่ย^{[ 4 ​​]} รวมถึงวิธีการล่าสุด เช่น^{[ 5 ]}ซึ่งตรวจสอบขอบเขตบนที่แนะนำข้างต้นว่าเป็นขอบเขตที่แน่นหนา นอกจากนี้ยังมีการจำลองมอนเตคาร์โลหลายครั้ง^{[ 6 ] [ 7 ]} ซึ่งบางส่วนไม่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่อ้างถึงข้างต้น มีงานวิจัยเพียงไม่กี่ชิ้นที่เกี่ยวข้องกับแง่มุมควอนตัมของปัญหา^{[ 8 ]} ช่องว่างคูลอมบ์แบบคลาสสิกในระบบที่สะอาดปราศจากความผิดปกติสามารถอธิบายได้ดีภายในทฤษฎีสนามเฉลี่ยแบบไดนามิก ขยาย (EDMFT) ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยการจำลองมอนเตคาร์โลแบบเมโทรโพลิส^{[ 9 ]}

การยืนยันช่องว่างโดยตรงจากการทดลองได้ดำเนินการผ่านการทดลองอุโมงค์ ซึ่งตรวจสอบ DOS ของอนุภาคเดี่ยวในสองและสามมิติ^{[ 10 ] [ 11 ]}การทดลองแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงช่องว่างเชิงเส้นในสองมิติ และช่องว่างพาราโบลาในสามมิติ ผลการทดลองอีกประการหนึ่งของช่องว่างคูลอมบ์พบได้ในค่าการนำไฟฟ้าของตัวอย่างในระบอบเฉพาะที่ การมีอยู่ของช่องว่างในสเปกตรัมของการกระตุ้นจะส่งผลให้ค่าการนำไฟฟ้าลดลงกว่าที่ทำนายโดยการกระโดดแบบช่วงตัวแปรของ Mottหากใช้การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ของ DOS ของอนุภาคเดี่ยวในการหาอนุพันธ์ของ Mott จะได้ความสัมพันธ์สากลสำหรับทุกมิติ^{[ 12 ]}คาดว่าจะมีการสังเกตสิ่งนี้เกิดขึ้นที่อุณหภูมิต่ำกว่าค่าหนึ่ง ซึ่งพลังงานการกระโดดที่เหมาะสมที่สุดจะมีค่าน้อยกว่าความกว้างของช่องว่างคูลอมบ์ การเปลี่ยนจาก Mott ไปสู่การกระโดดแบบช่วงตัวแปรที่เรียกว่า Efros–Shklovskii ได้รับการสังเกตจากการทดลองสำหรับระบบต่างๆ^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีการพิสูจน์สูตรการนำไฟฟ้าของ Efros–Shklovskii อย่างเข้มงวด และในการทดลองบางอย่างพบพฤติกรรมที่มีค่าที่ไม่ตรงกับทฤษฎีของ Mott หรือ Efros–Shklovskii ${\displaystyle e^{-1/T^{1/2}}}$${\displaystyle e^{-1/T^{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha }$

• กฎของคูลอมบ์