ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตฟิลด์ลูกบาศก์คือฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตที่มีดีกรีสาม

ถ้าKเป็นฟิลด์ส่วนขยายของจำนวนตรรกยะQที่มีดีกรี [ K : Q ] = 3 แล้วKเรียกว่าฟิลด์ลูกบาศก์ฟิลด์ดังกล่าวจะสมสัณฐานกับฟิลด์ในรูปแบบ

${\displaystyle \mathbf {Q} [x]/(f(x))}$

โดยที่fเป็นพหุนามกำลังสามที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์อยู่ในQถ้าfมีรากจริง สาม รากKเรียกว่าฟิลด์กำลังสามที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดและเป็นตัวอย่างของฟิลด์ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดในทางกลับกัน ถ้าfมีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงKเรียกว่าฟิลด์ กำลังสามที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ฟิลด์ลูกบาศก์Kเรียกว่าฟิลด์ลูกบาศก์แบบวัฏจักรถ้ามันประกอบด้วยรากทั้งสามของพหุนามก่อกำเนิดf ของมัน หรือเทียบเท่ากันKเป็นฟิลด์ลูกบาศก์แบบวัฏจักร ถ้ามันเป็นส่วนขยายกาโลอิสของQซึ่งในกรณีนี้กลุ่มกาโลอิส ของมัน เหนือQจะเป็นวัฏจักรอันดับสาม สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อKเป็นจำนวนจริงทั้งหมดเท่านั้น เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยากในแง่ที่ว่า ถ้าเซตของฟิลด์ลูกบาศก์เรียงลำดับตาม ดิสค ริมิแนนต์สัดส่วนของฟิลด์ลูกบาศก์ที่เป็นวัฏจักรจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อขอบเขตของดิสคริมิแนนต์เข้าใกล้อนันต์^{[ 1 ]}

ฟิลด์ลูกบาศก์เรียกว่าฟิลด์ลูกบาศก์บริสุทธิ์ถ้าสามารถได้มาจากการต่อรากที่สามที่ เป็นจำนวนจริง ของจำนวนเต็มบวกn ที่ ไม่มีตัวประกอบกำลังสาม เข้ากับฟิลด์จำนวนตรรกยะQ ฟิลด์ดังกล่าวเป็นฟิลด์ลูกบาศก์เชิงซ้อนเสมอ เนื่องจากจำนวนบวกแต่ละจำนวนมีรากที่สาม ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริง สองตัว${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$

• การต่อรากที่สามจริงของ 2 เข้ากับจำนวนตรรกยะจะได้ฟิลด์ลูกบาศก์นี่เป็นตัวอย่างของฟิลด์ลูกบาศก์บริสุทธิ์ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟิลด์ลูกบาศก์เชิงซ้อน ในความเป็นจริง ในบรรดาฟิลด์ลูกบาศก์บริสุทธิ์ทั้งหมด ฟิลด์นี้มีค่าดิสคริมิแนนต์ที่เล็กที่สุด (ในค่าสัมบูรณ์ ) คือ −108 ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$
• ฟิลด์ลูกบาศก์เชิงซ้อนที่ได้จากการต่อรากของx ³ + x ² − 1 เข้ากับ Qนั้นไม่บริสุทธิ์ มีค่าดิสคริมิแนนต์ที่เล็กที่สุด (ในค่าสัมบูรณ์) ของฟิลด์ลูกบาศก์ทั้งหมด คือ −23 ^{[ 3 ]}
• การเพิ่มรากของx ³ + x ² − 2 x − 1ลงในQจะได้ฟิลด์ลูกบาศก์แบบวัฏจักร และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟิลด์ลูกบาศก์แบบสมบูรณ์จริง ฟิลด์นี้มีค่าดิสคริมิแนนต์ที่เล็กที่สุดในบรรดาฟิลด์ลูกบาศก์แบบสมบูรณ์จริงทั้งหมด คือ 49 ^{[ 4 ]}
• ฟิลด์ที่ได้จากการต่อรากของx ³ + x ² − 3 x − 1 เข้ากับ Qเป็นตัวอย่างของฟิลด์ลูกบาศก์จริงทั้งหมดที่ไม่เป็นวัฏจักร ค่าดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์นี้คือ 148 ซึ่งเป็นค่าดิสคริมิแนนต์ที่เล็กที่สุดของฟิลด์ลูกบาศก์จริงทั้งหมดที่ไม่เป็นวัฏจักร^{[ 5 ]}
• ไม่มีฟิลด์ไซโคลโทมิกใดเป็นลูกบาศก์ เนื่องจากดีกรีของฟิลด์ไซโคลโทมิกเท่ากับ φ( n ) โดยที่ φ คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ซึ่งรับ ค่า คู่ เท่านั้น ยกเว้น φ(1) = φ(2) = 1

ฟิลด์ลูกบาศก์วัฏจักรKคือการปิดกาโลอิส ของตัวเอง โดยมีกลุ่มกาโลอิส Gal( K / Q ) ที่สมมาตร กับ กลุ่มวัฏจักรอันดับสาม อย่างไรก็ตาม ฟิลด์ลูกบาศก์อื่นใดKเป็นส่วนขยายที่ไม่ใช่กาโลอิสของQและมีส่วนขยายฟิลด์Nที่มีดีกรีสองเป็นการปิดกาโลอิส กลุ่มกาโลอิส Gal( N / Q ) นั้นสมมาตรกับกลุ่มสมมาตรS ₃บนตัวอักษรสามตัว

ตัวแยกแยะของฟิลด์ลูกบาศก์Kสามารถเขียนได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นdf ²โดยที่dเป็นตัวแยกแยะพื้นฐานจากนั้นKจะเป็นวัฏจักรก็ต่อเมื่อd = 1 ซึ่งในกรณีนี้ฟิลด์ย่อยเพียง ฟิลด์  เดียวของการปิดกาโลอิสของKคือQเอง ถ้าd  ≠ 1 การปิดกาโลอิสNของKจะมีฟิลด์กำลังสองk ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งตัวแยกแยะคือd (ในกรณีd  = 1 ฟิลด์ย่อยQบางครั้งถือว่าเป็นฟิลด์กำลังสอง "เสื่อมสภาพ" ของตัวแยกแยะ 1) ตัวนำของNเหนือkคือfและf ²คือตัวแยกแยะสัมพัทธ์ของNเหนือK ตัว ^{แยกแยะ}ของNคือd ³ f ^{4 [ 6} ] ^{[ 7 ]}

ฟิลด์Kเป็นฟิลด์ลูกบาศก์บริสุทธิ์ก็ต่อเมื่อd  = −3 เท่านั้น กรณีนี้ฟิลด์กำลังสองที่อยู่ในการปิดกาโลอิสของKคือฟิลด์ไซโคลโทมิกของรากที่สามของเอกภาพ^{[ 7 ]}

เนื่องจากเครื่องหมายของดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์จำนวนKคือ (−1) ^{r ₂}โดยที่r ₂คือจำนวนคู่สังยุคของการฝังเชิงซ้อนของKลงในCดังนั้นดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์ลูกบาศก์จะเป็นบวกก็ต่อเมื่อฟิลด์นั้นเป็นจำนวนจริงทั้งหมด และจะเป็นลบหากเป็นฟิลด์ลูกบาศก์เชิงซ้อน

เมื่อกำหนดจำนวนจริงN  > 0 แล้ว จะมีฟิลด์ลูกบาศก์K เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ที่ดิสคริมิแนนต์D _K สอดคล้อง กับ| D _K | ≤  N ^{[ 9 ]}เป็นที่ทราบสูตรที่คำนวณการแยกตัวประกอบเฉพาะของD _Kและสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน^{[ 10 ]}

ต่างจากฟิลด์กำลังสอง ฟิลด์ลูกบาศก์ที่ไม่สมมาตรหลายฟิลด์K ₁ , ..., K _mอาจใช้ดิสคริมิแนนต์D เดียวกันได้ จำนวนmของฟิลด์เหล่านี้เรียกว่ามัลติพลิซิตี้^{[ 11 ]}ของดิสคริมิแนนต์Dตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ได้แก่m  = 2 สำหรับD   = −1836, 3969, m  = 3 สำหรับD   = −1228, 22356, m   = 4 สำหรับD  = −3299, 32009 และm  = 6 สำหรับD  = −70956, 3054132

ฟิลด์ลูกบาศก์ใดๆKจะอยู่ในรูปแบบK  =  Q (θ) สำหรับจำนวน θ บางจำนวนที่เป็นรากของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

${\displaystyle f(X)=X^{3}-aX+b}$

โดยที่aและbเป็นจำนวนเต็มดิสคริมิแนนต์ของfคือ Δ = 4 a ³  − 27 b ^{2 โดยกำหนดให้ดิสคริมิแน} นต์ของKเป็นDดัชนีi (θ) ของ θ จะ ถูก กำหนดโดย Δ =  i (θ) ² D

ในกรณีของสนามลูกบาศก์ที่ไม่เป็นวัฏจักรKสูตรดัชนีนี้สามารถรวมเข้ากับสูตรตัวนำD = f ² dเพื่อให้ได้การแยกส่วนของดิสคริมิแนนต์พหุนาม Δ = i (θ) ² f ² dออกเป็นกำลังสองของผลคูณi (θ) fและดิสคริมิแนนต์dของสนามกำลังสองkที่เกี่ยวข้องกับสนามลูกบาศก์Kโดยที่dเป็นจำนวนเต็มบวกกำลังสองยกเว้นตัวประกอบที่เป็นไปได้ 2 ²หรือ 2 3 ^Georgy Voronoyได้เสนอวิธีการแยกi (θ) และfในส่วนกำลังสองของ Δ ^{[ 12 ]}

การศึกษาจำนวนฟิลด์ลูกบาศก์ที่มีค่าดิสคริมิแนนต์น้อยกว่าขอบเขตที่กำหนดเป็นหัวข้อการวิจัยในปัจจุบัน ให้N ⁺ ( X ) (หรือN ⁻ ( X )) แทนจำนวนฟิลด์ลูกบาศก์ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด (หรือจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด) ที่มีค่าดิสคริมิแนนต์จำกัดด้วย ค่าสัมบูรณ์ของ Xในช่วงต้นทศวรรษ 1970 Harold DavenportและHans Heilbronnได้กำหนดพจน์แรกของพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของN ^± ( X ) (เช่น เมื่อXเข้าสู่ค่าอนันต์) ^{[ 13 ] [ 14 ]}โดยการวิเคราะห์เศษเหลือของ ฟังก์ชันซีตาของ Shintani ร่วมกับการศึกษาตารางฟิลด์ลูกบาศก์ที่รวบรวมโดย Karim Belabas ( Belabas 1997 ) และฮิวริสติก บางอย่าง David P. Roberts ได้ตั้งสมมติฐาน สูตรเชิงอะซิ มโทติกที่แม่นยำยิ่งขึ้น: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle N^{\pm }(X)\sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}}$

โดยที่A _±  = 1 หรือ 3, B _±  = 1 หรือขึ้นอยู่กับกรณีที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดหรือจำนวนเชิงซ้อน ζ( s ) คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และ Γ( s ) คือฟังก์ชันแกมมาบทพิสูจน์ของสูตรนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยBhargava, Shankar & Tsimerman (2013)โดยใช้วิธีการที่อิงจากงานก่อนหน้าของ Bhargava รวมถึงโดยTaniguchi & Thorne (2013)โดยอิงจากฟังก์ชันซีตาของชินทานิ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

ตามทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichletอันดับหน่วยที่ปราศจากแรงบิดrของฟิลด์จำนวนพีชคณิตKที่มี การฝังจริง r ₁และ คู่ของการฝังเชิงซ้อนสังยุค r ₂จะถูกกำหนดโดยสูตรr = r ₁ + r ₂ − 1 ดังนั้นฟิลด์ลูกบาศก์จริงทั้งหมดKที่มีr ₁ = 3, r ₂ = 0 จะมีหน่วยอิสระสองหน่วย ε ₁ , ε ₂และฟิลด์ลูกบาศก์เชิงซ้อนKที่มีr ₁ = r ₂ = 1 จะมีหน่วยพื้นฐานเดียว ε ₁ระบบหน่วยพื้นฐานเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ อัลกอริทึม เศษส่วนต่อเนื่อง ทั่วไป โดยVoronoi [ ^{16 ]}ซึ่งได้รับการตีความทาง^{เรขาคณิต}โดยDeloneและFaddeev ^{[ 17 ]}

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับCubic fieldใน Wikimedia Commons