ในทางคณิตศาสตร์วงจรของการเรียงสับเปลี่ยนπ ของ เซตจำกัดSสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับวงโคจรของกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยπ ที่กระทำบนS วงโคจรเหล่า นี้เป็นเซตย่อย ของSที่สามารถเขียนได้เป็น{ c ₁ , ..., c _n }โดยที่

π ( c _i ) = c _{i + 1}สำหรับ i = 1, ..., n − 1และ π ( c _n ) = c ₁

วัฏจักรที่สอดคล้องกันของπเขียนได้เป็น ( c ₁ c ₂ ... c _n ); นิพจน์นี้ไม่มีเอกลักษณ์ เนื่องจากc ₁สามารถเลือกให้เป็นองค์ประกอบใดก็ได้ของวงโคจร

ขนาดnของวงโคจรเรียกว่าความยาวของวัฏจักรที่สอดคล้องกัน เมื่อn = 1องค์ประกอบเดี่ยวในวงโคจรเรียกว่าจุดคงที่ของการเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยนถูกกำหนดโดยการแสดงนิพจน์สำหรับแต่ละวัฏจักร และสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนคือการเขียนนิพจน์เหล่านั้นต่อกันในลำดับใดลำดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ให้

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&6&7&2&5&4&8&3\\2&8&7&4&5&3&6&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&4&1&3&5&8&7&6\end{pmatrix}}}$

เป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่แปลง 1 ไป 2, 6 ไป 8 เป็นต้น จากนั้นจึงสามารถเขียนได้ว่า

π = ( 1 2 4 3 ) ( 5 ) ( 6 8 ) (7) = (7) ( 1 2 4 3 ) ( 6 8 ) ( 5 ) = ( 4 3 1 2 ) ( 8 6 ) ( 5 ) (7) = ...

ในที่นี้ 5 และ 7 เป็นจุดคงที่ของπเนื่องจากπ (5) = 5 และπ (7) = 7 เป็นเรื่องปกติ แต่ไม่จำเป็นที่จะไม่เขียนวัฏจักรที่มีความยาวหนึ่งในนิพจน์ดังกล่าว^{[ 1 ]}ดังนั้นπ  = (1 2 4 3)(6 8) จึงเป็นวิธีที่เหมาะสมในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนนี้

มีหลายวิธีในการเขียนการเรียงสับเปลี่ยนในรูปของรายการวัฏจักร แต่จำนวนวัฏจักรและเนื้อหาของวัฏจักรนั้นได้มาจากการแบ่งเซต S ออกเป็นวงโคจร และด้วยเหตุนี้จึงเหมือนกันสำหรับทุกนิพจน์ดังกล่าว

จำนวนสเตอร์ลิงที่ไม่มีเครื่องหมายชนิดแรกs ( k , j ) นับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบk ที่มี วงจรที่ไม่ซ้ำ กัน j วงพอดี ^{[ 2 ] [ 3 ]}

(1)สำหรับทุกk > 0 : s ( k , k ) = 1

(2)สำหรับทุกk > 0 : s ( k , 1) = ( k − 1)!

(3)สำหรับทุกk > j > 1, s ( k , j ) = s ( k − 1, j − 1) + s ( k − 1, j )·( k − 1)

(1)มีเพียงวิธีเดียวในการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบk ตัวที่มี kวงจร: วงจรทุกวงต้องมีความยาว 1 ดังนั้นองค์ประกอบทุกตัวต้องเป็นจุดคงที่

(2.a)วัฏจักรทุกวัฏจักรที่มีความยาวkสามารถเขียนได้ในรูปการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวน 1 ถึงkโดยมี การเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้ k ! แบบ

(2.b)มีkวิธีที่แตกต่างกันในการเขียนวงจรที่มีความยาวkเช่น ( 1 2 4 3 ) = ( 2 4 3 1 ) = ( 4 3 1 2 ) = ( 3 1 2 4 )

(2.c)สุดท้าย: s ( k , 1) = k !/ k = ( k − 1)!

(3)มีสองวิธีที่แตกต่างกันในการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบk ตัวที่มีวงจร j :

(3.a)หากเราต้องการให้องค์ประกอบkเป็นจุดคงที่ เราอาจเลือก การเรียงสับเปลี่ยน s ( k − 1, j − 1) หนึ่ง รายการที่มีองค์ประกอบk − 1 และวัฏจักร j − 1และเพิ่มองค์ประกอบkเป็นวัฏจักรใหม่ที่มีความยาว 1

(3.b)หากเราต้องการให้องค์ประกอบk ไม่ใช่จุดคงที่ เราอาจเลือก การเรียงสับเปลี่ยน s ( k − 1, j ) หนึ่ง ชุดที่มี องค์ประกอบ k − 1ตัวและ วัฏจักร jวัฏจักร แล้วแทรกองค์ประกอบk ลง ในวัฏจักรที่มีอยู่หน้าองค์ประกอบk − 1 ตัวใดตัวหนึ่ง

ค่าf ( k , j )นับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบk ตัวที่มีจุดตรึง j จุดพอดี สำหรับบทความหลักเกี่ยวกับหัวข้อนี้ โปรดดูที่rencontres numbers

(1)สำหรับทุกj < 0 หรือj > k  : f ( k , j ) = 0

(2) f (0, 0) = 1.

(3)สำหรับทุกk > 1 และk ≥ j ≥ 0, f ( k , j ) = f ( k − 1, j − 1) + f ( k − 1, j )·( k − 1 − j ) + f ( k − 1, j + 1)·( j + 1)

(3)มีสามวิธีที่แตกต่างกันในการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบk ตัวที่มีจุดคงที่ jจุด:

(3.a) เราอาจเลือกการเรียงสับเปลี่ยน f ( k − 1, j − 1)หนึ่งรายการที่มีองค์ประกอบk − 1 และจุดคงที่ j − 1จุด และเพิ่มองค์ประกอบkเป็นจุดคงที่ใหม่

(3.b) เราอาจเลือกการเรียงสับเปลี่ยน f ( k − 1, j )หนึ่งรายการที่มี องค์ประกอบ k − 1และ จุดคงที่ jจุด แล้วแทรกองค์ประกอบkในวงจรที่มีอยู่ซึ่งมีความยาว > 1 ไว้ข้างหน้าองค์ประกอบ หนึ่งใน ( k − 1) − j

(3.c) เราอาจเลือกการเรียงสับเปลี่ยน f ( k − 1, j + 1)หนึ่งรายการที่มี องค์ประกอบ k − 1รายการและ จุดคงที่ j + 1รายการ แล้วเชื่อมองค์ประกอบk กับจุดคงที่ j + 1 รายการ หนึ่งเข้ากับวัฏจักรที่มีความยาว 2

สมการ	ตัวอย่าง
${\displaystyle f(k,1)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}{k \choose i}i(ki)!}$	${\displaystyle {\begin{aligned}f(5,1)&=5\times 1\times 4!-10\times 2\times 3!+10\times 3\times 2!-5\times 4\times 1!+1\times 5\times 0!\\&=120-120+60-20+5=45.\end{aligned}}}$
${\displaystyle f(k,0)=k!-\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}{k \choose i}(ki)!}$	${\displaystyle {\begin{aligned}f(5,0)&=120-(5\times 4!-10\times 3!+10\times 2!-5\times 1!+1\times 0!)\\&=120-(120-60+20-5+1)=120-76=44.\end{aligned}}}$
สำหรับทุกk > 1: ${\displaystyle f(k,0)=(k-1)(f(k-1,0)+f(k-2,0))}$	${\displaystyle f(5,0)=4\times (9+2)=4\times 11=44}$
สำหรับทุกk > 1: ${\displaystyle f(k,0)=k!\sum _{i=2}^{k}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}f(5,0)&=120\times (1/2-1/6+1/24-1/120)\\&=120\times (60/120-20/120+5/120-1/120)=120\times 44/120=44\end{aligned}}}$
${\displaystyle f(k,0)\approx {\frac {k!}{e}}}$ โดยที่ e คือเลขของออยเลอร์ ≈ 2.71828

• การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร
• สัญกรณ์วงจร