ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดของเวกเตอร์แบบวัฏจักรและแยกส่วนมีความสำคัญในทฤษฎีพีชคณิตของฟอน นอยมันน์ [ ^{1 ] [ 2 ] และ}โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีโทมิตะ-ทาเคซากิแนวคิดที่เกี่ยวข้องคือเวกเตอร์ที่เป็นวัฏจักรสำหรับตัวดำเนินการที่กำหนด การมีอยู่ของเวกเตอร์แบบวัฏจักรได้รับการรับประกันโดยการสร้างของ เก ลฟานด์-ไนมาร์ก-เซกัล (GNS)

กำหนดให้H เป็น ปริภูมิฮิลเบิร์ต และA เป็นปริภูมิเชิงเส้น ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตในH เราจะเรียก องค์ประกอบ Ω ของHว่าเป็นวัฏจักรสำหรับAถ้าปริภูมิเชิงเส้นA Ω = { a Ω: a ∈ A } มีความหนาแน่นเชิงบรรทัดฐานในH และ เราจะเรียกองค์ประกอบ Ω ว่าเป็นตัวแยกถ้าa Ω = 0 สำหรับaในAหมายความว่าa = 0 โปรดทราบว่า:    

• องค์ประกอบ Ω ใดๆ ของHกำหนด เซมิ - นอร์มpบนAโดยที่p ( a ) = || aΩ || ดังนั้น ข้อความที่ว่า "Ω เป็นองค์ประกอบแยก" จึงเทียบเท่ากับข้อความที่ว่าp เป็น นอร์มจริงๆ
• ถ้า Ω เป็นวัฏจักรสำหรับAแล้ว Ω จะเป็นการแยกตัวประกอบสำหรับคอมมิวแทนต์A′ของAในB ( H ) ซึ่งเป็นพีชคณิตของฟอน นอยมันน์ที่ประกอบด้วยตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ทั้งหมด ในHที่สลับตำแหน่งกับองค์ประกอบทั้งหมดของAโดยที่Aเป็นเซตย่อยของB ( H ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าaเป็นสมาชิกของคอมมิวแทนต์A′ และสอดคล้องกับa Ω  =  0 สำหรับ Ω บางตัว ดังนั้นสำหรับทุกbในAเราจะได้ว่า 0  = ba Ω = ab Ω เนื่องจากปริภูมิย่อยb Ω สำหรับbในAมีความหนาแน่นในปริภูมิฮิลเบิร์ตHดังนั้นจึงหมายความว่าaมีค่าเป็นศูนย์ในปริภูมิย่อยที่มีความหนาแน่นของHโดยความต่อเนื่อง ดังนั้นจึงหมายความว่าaมีค่าเป็นศูนย์ทุกที่ ดังนั้น Ω จึงเป็นตัวแยกสำหรับA ′   

ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าต่อไปนี้จะคงอยู่หากAเป็น*-พีชคณิต (พีชคณิตที่ปิดภายใต้ตัวผกผัน ) และมีเอกลักษณ์ (กล่าวคือ มีตัวดำเนินการเอกลักษณ์1 ) สำหรับการพิสูจน์ โปรดดูข้อเสนอที่ 5 ของส่วนที่ 1 บทที่ 1 ของพีชคณิตของฟอน นอยมันน์^{[ 2 ]}

ข้อเสนอถ้า Aเป็น *-พีชคณิตของ ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบน Hและ 1เป็นสมาชิกของ Aแล้ว Ω จะเป็นวัฏจักรสำหรับ Aก็ต่อเมื่อมันเป็นวัฏจักรแยกสำหรับคอมมิวแทนต์ A ′

กรณีพิเศษเกิดขึ้นเมื่อAเป็นพีชคณิตของฟอน นอยมันน์ซึ่งในกรณีนี้ เวกเตอร์ Ω ที่เป็นวัฏจักรและแยกส่วนได้สำหรับAจะเป็นวัฏจักรและแยกส่วนได้สำหรับคอมมิวแทนต์A′ด้วย เช่นกัน

ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกωบนพีชคณิต * -Aเรียกว่าเป็นฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์ถ้าสำหรับองค์ประกอบบวก ใดๆ aในA ω ( a )  =  0 หมายความว่าa = 0   

ทุกองค์ประกอบ Ω ของปริภูมิฮิลเบิร์ตHกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นบวก ω บน พีชคณิต * -Aของ ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนHผ่านผลคูณภายในω ( a )  =  ( a Ω,Ω) สำหรับทุกaในAถ้าω ถูกกำหนดในลักษณะนี้และAเป็นพีชคณิต C*แล้วω จะซื่อสัตย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ Ω เป็นเวกเตอร์แยกสำหรับAโปรดทราบว่าพีชคณิตฟอนนอยมันน์เป็นกรณีพิเศษของพีชคณิต C *

ข้อเสนอให้ φและ ψเป็นสมาชิกของ Hที่เป็นวัฏจักรสำหรับ Aสมมติว่า ω   = ω แล้วจะมีไอโซเมตรีUในคอมมิวแทนต์A ′ที่ทำให้ φ = Uψ