จุด Sethi-Skiba [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}หรือที่รู้จักกันในชื่อจุด DNSS เกิดขึ้นใน ปัญหา การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งแสดงให้เห็น ^ถึงวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดหลายวิธี จุด Sethi-Skiba เป็นจุดที่ไม่แตกต่างกันในปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด โดยที่เมื่อเริ่มต้นจากจุดดังกล่าว ปัญหาจะมีวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดที่แตกต่างกันมากกว่าหนึ่งวิธี การอภิปรายที่ดีเกี่ยวกับจุดดังกล่าวสามารถพบได้ใน Grass et al. ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 6 ]}

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษในที่นี้คือปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด แบบอนันต์ขอบฟ้าที่ลดราคาซึ่งเป็นอิสระ ^{[ 2 ]}ปัญหาเหล่านี้สามารถกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle \max _{u(t)\in \Omega }\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}\varphi \left(x(t),u(t)\right)dt}$

สต

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right),x(0)=x_{0},}$

โดยที่คืออัตราส่วนลดและคือตัวแปรสถานะและตัวแปรควบคุม ตามลำดับ ณ เวลาt ฟังก์ชันและถือว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเทียบกับตัวแปรต้น และไม่ขึ้นอยู่กับเวลาโดยตรงและคือเซตของการควบคุมที่เป็นไปได้ และเป็นอิสระจากเวลาโดยตรงเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ถือว่าปริพันธ์ลู่เข้าสำหรับทุกคำตอบที่ยอมรับได้ในปัญหาที่มีตัวแปรสถานะหนึ่งมิติเช่นนี้สถานะเริ่มต้นเรียกว่าจุด Sethi-Skibaหากระบบที่เริ่มต้นจากจุดนั้นแสดงคำตอบหรือสมดุลที่เหมาะสมที่สุดหลายจุด ดังนั้น อย่างน้อยในบริเวณใกล้เคียงระบบจะเคลื่อนไปยังสมดุลหนึ่งสำหรับและไปยังอีกสมดุลหนึ่งสำหรับในแง่นี้คือจุดที่ไม่แตกต่างกัน ซึ่งระบบสามารถเคลื่อนไปยังสมดุลใดสมดุลหนึ่งจากสองสมดุลนั้นได้ ${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \left(x(.),u(.)\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x>x_{0}}$${\displaystyle x<x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

สำหรับปัญหา การควบคุมที่เหมาะสมแบบสองมิติGrass et al. ^{[ 5 ]}และ Zeiler et al. ^{[ 7 ]}นำเสนอตัวอย่างที่แสดงเส้นโค้ง DNSS

เอกสารอ้างอิงบางส่วนเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้จุด Sethi-Skiba ได้แก่ Caulkins et al., ^{[ 8 ]} Zeiler et al., ^{[ 9 ]}และ Carboni และ Russu ^{[ 10 ]}

Suresh P. Sethiระบุจุดที่ไม่แตกต่างกันดังกล่าวเป็นครั้งแรกในปี 1977 ^{[ 11 ]}นอกจากนี้ Skiba ^{[ 12 ]} Sethi ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}และ Deckert และ Nishimura ^{[ 16 ]}ได้สำรวจจุดที่ไม่แตกต่างกันเหล่านี้ในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ คำว่าจุด DNSS (Deckert, Nishimura, Sethi, Skiba) ซึ่งนำเสนอโดย Grass et al. ^{[ 5 ]}เป็นการยกย่อง (เรียงตามตัวอักษร) ผลงานของผู้เขียนเหล่านี้ จุดที่ไม่แตกต่างกันเหล่านี้ยังถูกเรียกว่าจุด Skibaหรือจุด DNSในเอกสารก่อนหน้านี้ ด้วย ^{[ 5 ]}

ปัญหาง่ายๆ ที่แสดงพฤติกรรมนี้แสดงโดยและมีการแสดงให้เห็นใน Grass et al. ^{[ 5 ]}ว่าเป็นจุด Sethi-Skiba สำหรับปัญหานี้ เนื่องจากเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดอาจเป็นหรือโปรดทราบว่าสำหรับเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือและสำหรับเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือ ${\displaystyle \varphi \left(x,u\right)=xu,}$${\displaystyle f\left(x,u\right)=-x+u,}$${\displaystyle \Omega =\left[-1,1\right]}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \left(1-e^{-t}\right)}$${\displaystyle \left(-1+e^{-t}\right)}$${\displaystyle x_{0}<0}$${\displaystyle x(t)=-1+e^{-t\left(x_{0}+1\right)}}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle x(t)=1+e^{-t\left(x_{0}-1\right)}}$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมและส่วนขยาย โปรดดูที่ Grass et al. ^{[ 5 ]}