การเรียนรู้แบบ DeGrootหมายถึงกระบวนการเรียนรู้ทางสังคมแบบใช้กฎเกณฑ์คร่าวๆ แนวคิดนี้ได้รับการกล่าวถึงในรูปแบบทั่วไปโดยนักสถิติชาวอเมริกันMorris H. DeGroot [ ^{1 ] แนวคิด}เบื้องต้นได้รับการอธิบายโดย John RP French ^{[ 2 ]}และFrank Harary [ ^{3 ] แบบ}จำลองนี้ถูกนำไปใช้ในฟิสิกส์วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และแพร่หลาย ที่สุดในทฤษฎีเครือข่ายสังคม^{[ 4 ] [ 5 ]}

ลองพิจารณาสังคมแห่งหนึ่งดู${\displaystyle n}$ตัวแทนที่ทุกคนมีมุมมองต่อเรื่องใดเรื่องหนึ่ง โดยมุมมองนั้นแสดงออกมาในรูปของเวกเตอร์ความน่าจะเป็น${\displaystyle p(0)=(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))}$ตัวแทนจะไม่ได้รับข้อมูลใหม่ใด ๆ ที่จะนำมาใช้ปรับปรุงความคิดเห็นของตน แต่พวกเขาจะติดต่อสื่อสารกับตัวแทนอื่น ๆ ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแทน (ใครรู้จักใคร) และน้ำหนักที่พวกเขามอบให้กับความคิดเห็นของกันและกันนั้นแสดงโดยเมทริกซ์ความไว้วางใจ${\displaystyle T}$ที่ไหน${\displaystyle T_{ij}}$น้ำหนักของตัวแทนนั้นคืออะไร${\displaystyle i}$สวมบทบาทเป็นเอเยนต์${\displaystyle j}$ความคิดเห็นของเขา เมทริกซ์ความไว้วางใจจึงมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกราฟแบบ มีทิศทาง และมีน้ำหนักโดยมีเส้นเชื่อมระหว่างกัน${\displaystyle i}$และ${\displaystyle j}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle T_{ij}>0}$เมทริกซ์ความเชื่อมั่นเป็นเมทริกซ์สุ่มโดยแต่ละแถวประกอบด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ และผลรวมของแต่ละแถวเท่ากับ 1

ตามหลักการแล้ว ความเชื่อจะได้รับการปรับปรุงในแต่ละช่วงเวลาดังนี้

${\displaystyle p(t)=Tp(t-1)}$

ดังนั้น${\displaystyle t}$ความคิดเห็นในช่วงที่ th เกี่ยวข้องกับความคิดเห็นเริ่มต้นโดย

${\displaystyle p(t)=T^{t}p(0)}$

คำถามสำคัญคือความเชื่อจะลู่เข้าสู่ค่าจำกัดและเข้าหากันในระยะยาวหรือไม่ เนื่องจากเมทริกซ์ความเชื่อมั่นเป็นแบบสุ่มผลลัพธ์มาตรฐานใน ทฤษฎี ลูกโซ่มาร์คอฟ จึง สามารถนำมาใช้ระบุเงื่อนไขที่ค่าจำกัดจะลู่เข้าสู่ค่าจำกัดได้

${\displaystyle p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)}$

มีอยู่สำหรับความเชื่อเริ่มต้นใดๆ${\displaystyle p(0)\in [0,1]^{n}}$กรณีต่อไปนี้ได้รับการจัดการใน Golub และ Jackson ^{[ 6 ]} (2010)

ลองพิจารณา เครือข่ายสังคม ที่มีการเชื่อมต่ออย่างแน่นหนาและไม่มีช่วงเวลาที่แน่นอนในกรณีนี้ ความเชื่อที่จำกัดร่วมกันจะถูกกำหนดโดยความเชื่อเริ่มต้นผ่านทาง

${\displaystyle p(\infty )=s\cdot p(0)}$

ที่ไหน${\displaystyle s}$คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายที่มี ความยาวหนึ่งหน่วยที่ไม่ซ้ำกัน ของ${\displaystyle T}$สอดคล้องกับค่าไอเกน 1 เวกเตอร์${\displaystyle s}$แสดงให้เห็นถึงน้ำหนักที่ตัวแทนแต่ละคนให้แก่ความเชื่อเริ่มต้นของกันและกันในขีดจำกัดฉันทามติ ดังนั้น ยิ่งค่าสูงเท่าไร...${\displaystyle s_{i}}$ยิ่งบุคคลมีอิทธิพล มากเท่าไร${\displaystyle i}$มีพื้นฐานมาจากความเชื่อที่เป็นเอกฉันท์

คุณสมบัติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle s=sT}$หมายความว่า

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}}$

นี่หมายความว่าอิทธิพลของ${\displaystyle i}$เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของอิทธิพลของตัวแทนเหล่านั้น${\displaystyle s_{j}}$ผู้ที่ให้ความสนใจกับ${\displaystyle i}$โดยมีน้ำหนักตามระดับความไว้วางใจ ดังนั้น บุคคลที่มีอิทธิพลจึงมีลักษณะที่ได้รับความไว้วางใจจากบุคคลอื่นที่มีอิทธิพลสูง

ตัวอย่างเหล่านี้ปรากฏใน Jackson ^{[ 4 ]} (2008)

การบรรจบกันของความเชื่อ

พิจารณาสังคมที่มีสมาชิกสามคน โดยมีเมทริกซ์ความไว้วางใจดังต่อไปนี้:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

ดังนั้น บุคคลแรกจึงให้น้ำหนักความเชื่อของอีกสองคนเท่าๆ กัน ในขณะที่คนที่สองฟังเฉพาะคนแรก และคนที่สามฟังเฉพาะคนที่สอง สำหรับโครงสร้างความไว้วางใจทางสังคมนี้ ขีดจำกัดมีอยู่และเท่ากับ

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)}$

ดังนั้นเวกเตอร์อิทธิพลคือ${\displaystyle s=\left(2/5,2/5,1/5\right)}$และความเชื่อที่เป็นเอกฉันท์คือ ${\displaystyle 2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)}$กล่าวคือ โดยไม่ขึ้นอยู่กับความเชื่อเริ่มต้น บุคคลจะบรรลุข้อตกลงร่วมกันได้ก็ต่อเมื่อความเชื่อเริ่มต้นของบุคคลที่หนึ่งและบุคคลที่สองมีอิทธิพลมากกว่าความเชื่อเริ่มต้นของบุคคลที่สามถึงสองเท่า

ความเชื่อที่ไม่สอดคล้องกัน

ถ้าเราเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้โดยให้บุคคลที่สามฟังแต่บุคคลแรกเพียงอย่างเดียว เราจะได้เมทริกซ์ความไว้วางใจดังต่อไปนี้:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

ในกรณีนี้สำหรับใดๆ${\displaystyle k\geq 1}$เรามี

${\displaystyle T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

และ

${\displaystyle T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}}$

ดังนั้น${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}}$ไม่มีอยู่จริง และความเชื่อจะไม่บรรจบกันในขีดจำกัด โดยสัญชาตญาณแล้ว 1 จะอัปเดตตามความเชื่อของ 2 และ 3 ในขณะที่ 2 และ 3 จะอัปเดตตามความเชื่อของ 1 เพียงอย่างเดียว ดังนั้นพวกเขาจึงสลับความเชื่อกันในแต่ละช่วงเวลา

เป็นไปได้ที่จะตรวจสอบผลลัพธ์ของกระบวนการเรียนรู้ของเดอโกรทในสังคมขนาดใหญ่ กล่าวคือ ใน...${\displaystyle n\to \infty }$ขีดจำกัด

ให้เรื่องที่ผู้คนมีความคิดเห็นนั้นเป็น "สถานะที่แท้จริง"${\displaystyle \mu \in [0,1]}$สมมติว่าแต่ละบุคคลมีสัญญาณรบกวนที่เป็นอิสระต่อกัน${\displaystyle p_{i}^{(0)}(n)}$ของ${\displaystyle \mu }$ (ตอนนี้ตัวยกหมายถึงเวลา ตัวแปรหมายถึงขนาดของสังคม) สมมติว่าสำหรับทุก ๆ${\displaystyle n}$เมทริกซ์ความไว้วางใจ${\displaystyle T(n)}$เป็นเช่นนั้นที่ความเชื่อที่จำกัด${\displaystyle p_{i}^{(\infty )}(n)}$ดำรงอยู่โดยอิสระจากความเชื่อเริ่มต้น จากนั้นลำดับของสังคมต่างๆ${\displaystyle \left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }}$เรียกว่าฉลาดถ้า

${\displaystyle \max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0}$

ที่ไหน${\displaystyle {\xrightarrow {\ p\ }}}$แสดงถึงการบรรจบกันของความน่าจะเป็น หมายความว่า หากสังคมเติบโตอย่างไม่มีขอบเขต เมื่อเวลาผ่านไป พวกเขาจะมีความเชื่อร่วมกันและถูกต้องเกี่ยวกับเรื่องที่ไม่แน่นอนนั้น

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับปัญญา สามารถกำหนดได้ด้วยความช่วยเหลือของเวกเตอร์อิทธิพลลำดับของสังคมจะมีปัญญา ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0}$

กล่าวคือ สังคมจะฉลาดก็ต่อเมื่ออิทธิพลของบุคคลที่มีอิทธิพลมากที่สุดก็หายไปในขอบเขตของสังคมขนาดใหญ่ สำหรับลักษณะเฉพาะและตัวอย่างเพิ่มเติม โปรดดู Golub และ Jackson ^{[ 6 ]} (2010)