ในทางคณิตศาสตร์จำนวนสิบเหลี่ยมคือจำนวนรูปทรงที่ขยายแนวคิดของ จำนวน สามเหลี่ยมและจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปยังรูปสิบเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมสิบด้าน) ^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ต่างจากจำนวนสามเหลี่ยมและจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปแบบที่เกี่ยวข้องกับการสร้างจำนวนสิบเหลี่ยมนั้นไม่สมมาตรแบบหมุนได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนสิบเหลี่ยมลำดับ ที่ nจะนับจุดในรูปแบบของรูปสิบเหลี่ยมซ้อนกันn รูป โดยทั้งหมดมีมุมร่วมกัน โดยที่รูปสิบเหลี่ยมลำดับที่ iในรูปแบบนั้นมีด้านที่ทำจาก จุด iจุดที่เว้นระยะห่างกันหนึ่งหน่วย จำนวนสิบเหลี่ยมลำดับที่nกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้

${\displaystyle d_{n}=4n^{2}-3n}$[ ^{2 ]​}

ตัวเลขสิบเหลี่ยมแรกๆ ได้แก่:

0 , 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232 , 297 , 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105 , 1242, 1387, 1540, 1701, 1870, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000 , 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326 (ลำดับA001107ในOEIS )

จำนวน สิบเหลี่ยมลำดับที่ nสามารถคำนวณได้โดยการบวกกำลังสองของn เข้ากับ จำนวนพรอนิกลำดับที่ ( n − 1) สามเท่า หรือเขียนในเชิงพีชคณิตได้ดังนี้

${\displaystyle D_{n}=n^{2}+3\left(n^{2}-n\right)}$.

• ตัวเลขสิบเหลี่ยมจะสลับความเป็นคู่หรือ คี่อย่างสม่ำเสมอ
• ${\displaystyle D_{n}}$คือผลรวมของจำนวนธรรมชาติแรกที่สอดคล้องกับ 1 mod 8${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle D_{n}}$คือจำนวนตัวหารของ${\displaystyle 48^{n-1}}$
• จำนวนสิบเหลี่ยมเพียงสองจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนกำลังสอง ได้แก่ 0 และ 1
• จำนวนสิบเหลี่ยมเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดดังต่อไปนี้:

${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0}$

${\displaystyle D_{n}=2D_{n-1}-D_{n-2}+8,D_{0}=0,D_{1}=1}$

${\displaystyle D_{n}=3D_{n-1}-3D_{n-2}+D_{n-3},D_{0}=0,D_{1}=1,D_{2}=10}$

ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนสิบแถวมีรูปแบบปิดที่เรียบง่าย: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\left(4n-3\right)}}=\ln \left(2\right)+{\frac {\pi }{6}}.}$$

การพิสูจน์นี้อาศัยวิธีการเพิ่ม "ศูนย์เชิงสร้างสรรค์": โดยการจัดเรียงใหม่และพิจารณาผลรวมแต่ละรายการ: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\left(4n-3\right)}}&{}={\frac {4}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n}}\right)\\&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2}{4n-3}}-{\frac {2}{4n}}+\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n-2}}\right)-\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n-2}}\right)\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-2}}+{\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-1}}\right)\right]\\&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-2}}+{\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)+{\frac {1}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)+{\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2(2n-1)-1}}-{\frac {1}{2(2n)-1}}\right)\\&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}+{\frac {1}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}+{\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}\\&=\ln \left(2\right)+{\frac {\pi }{6}}.\end{aligned}}}$$