การวัดที่สามารถแยกส่วนได้
ในทางคณิตศาสตร์การวัดที่สามารถแยกส่วนได้[ 1 ] (เรียกอีกอย่างว่าการวัดที่สามารถระบุตำแหน่งได้อย่างเคร่งครัด ) คือการวัดที่เป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของการวัดแบบจำกัดนี่เป็นการวางนัยทั่วไปของการวัดแบบ σ-finiteซึ่งเหมือนกับการวัดที่เป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของ การวัดแบบจำกัด จำนวนนับได้ มีทฤษฎีบทหลายข้อในทฤษฎีการวัดเช่นทฤษฎีบท Radon–Nikodymที่ไม่เป็นจริงสำหรับการวัดแบบใดๆ แต่เป็นจริงสำหรับการวัดแบบ σ-finite ทฤษฎีบทดังกล่าวหลายข้อยังคงเป็นจริงสำหรับกลุ่มการวัดที่สามารถแยกส่วนได้ทั่วไป ความทั่วไปเพิ่มเติมนี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้มากนัก เนื่องจากการวัดที่สามารถแยกส่วนได้ส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติเป็นแบบ σ-finite
ตัวอย่าง
- การวัดการนับบนปริภูมิการวัดที่นับไม่ได้ซึ่งเซตย่อยทั้งหมดสามารถวัดได้ คือการวัดที่แยกส่วนได้ซึ่งไม่ใช่ σ-finite ทฤษฎีบทของฟูบินีและทฤษฎีบทของโทเนลลีใช้ได้กับการวัด σ-finite แต่อาจใช้ไม่ได้กับการวัดนี้
- โดยทั่วไปแล้ว การวัดการนับในปริภูมิการวัดที่นับไม่ได้ซึ่งเซตย่อยบางส่วนไม่สามารถวัดได้นั้น ไม่ใช่การวัดที่สามารถแยกส่วนได้
- ปริภูมิจุดเดียวที่มีขนาดอนันต์นั้นไม่สามารถแยกส่วนได้
บรรณานุกรม
- Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), การวิเคราะห์เชิงจริงและเชิงนามธรรม การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา เล่มที่ 25 เบอร์ลิน ไฮเดลเบิร์ก นิวยอร์ก: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR 0188387 , Zbl 0137.03202
- Fremlin, DH (2016). ทฤษฎีการวัด เล่ม 2: พื้นฐานกว้างๆ ( ฉบับปกแข็ง). Torres Fremlin.พิมพ์ครั้งที่สอง