ตรรกะเริ่มต้น (Default logic)เป็นตรรกะที่ไม่เป็นไปตามลำดับ (non-monotonic logic)ที่เสนอโดยเรย์มอนด์ ไรเตอร์เพื่อใช้ในการกำหนดรูปแบบการให้เหตุผลโดยใช้สมมติฐานเริ่มต้น

ตรรกะเริ่มต้นสามารถแสดงข้อเท็จจริงได้ เช่น “โดยปกติแล้ว บางสิ่งเป็นจริง” ในทางตรงกันข้าม ตรรกะมาตรฐานสามารถแสดงได้เพียงว่าบางสิ่งเป็นจริงหรือบางสิ่งเป็นเท็จเท่านั้น นี่เป็นปัญหาเพราะการให้เหตุผลมักเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่เป็นจริงในกรณีส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่เสมอไป ตัวอย่างคลาสสิกคือ “โดยทั่วไปแล้วนกบินได้” กฎนี้สามารถแสดงในตรรกะมาตรฐานได้ทั้งโดย “นกทุกตัวบินได้” ซึ่งไม่สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่านกเพนกวินบินไม่ได้ หรือโดย “นกทุกตัวที่ไม่ใช่นกเพนกวินและไม่ใช่นกกระจอกเทศและ... บินได้” ซึ่งต้องระบุข้อยกเว้นทั้งหมดของกฎ ตรรกะเริ่มต้นมีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้กฎการอนุมานเป็นทางการเช่นนี้โดยไม่ต้องกล่าวถึงข้อยกเว้นทั้งหมดอย่างชัดเจน

ทฤษฎีเริ่มต้นคือคู่หนึ่งW คือชุดของสูตรตรรกะ เรียกว่าทฤษฎีพื้นฐานซึ่งทำให้ข้อเท็จจริงที่ทราบแน่ชัดกลายเป็นรูปธรรมDคือชุดของกฎเริ่มต้นแต่ละกฎมีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle \langle W,D\rangle }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {ข้อกำหนดเบื้องต้น: เหตุผล} _{1},\dots ,\mathrm {เหตุผล} _{n}}{\mathrm {ข้อสรุป} }}}$

ตามหลักการพื้นฐานนี้ หากเราเชื่อว่าเงื่อนไขเบื้องต้นเป็นจริง และแต่ละเงื่อนไขสอดคล้องกับความเชื่อปัจจุบันของเรา เราก็จะถูกชักนำให้เชื่อว่าข้อสรุปเป็นจริง ${\displaystyle \mathrm {เหตุผล} _{i}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

สูตรตรรกะในWและสูตรทั้งหมดในค่าเริ่มต้นนั้น เดิมทีถูกสันนิษฐานว่าเป็น สูตร ตรรกะลำดับที่หนึ่งแต่ก็อาจเป็นสูตรในตรรกะเชิงรูปธรรมใดๆ ก็ได้ กรณีที่สูตรเหล่านั้นเป็นสูตรในตรรกะเชิงประพจน์นั้นเป็นหนึ่งในกรณีที่มีการศึกษามากที่สุด

กฎพื้นฐานที่ว่า “โดยทั่วไปนกจะบิน” นั้นถูกกำหนดอย่างเป็นทางการด้วยกฎพื้นฐานดังต่อไปนี้:

${\displaystyle D=\left\{{\frac {\mathrm {Bird} (X):\mathrm {Flies} (X)}{\mathrm {Flies} (X)}}\right\}}$

กฎนี้หมายความว่า "ถ้าXเป็นนก และสามารถสันนิษฐานได้ว่ามันบินได้ ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่ามันบินได้" ทฤษฎีพื้นฐานที่มีข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับนกมีดังต่อไปนี้:

${\displaystyle W=\{\mathrm {Bird} (\mathrm {Condor} ),\mathrm {Bird} (\mathrm {Penguin} ),\neg \mathrm {Flies} (\mathrm {Penguin} ),\mathrm {Flies} (\mathrm {Bee} )\}}$.

ตามกฎพื้นฐานนี้ นกแร้งบินได้เพราะเงื่อนไขเบื้องต้นBird(Condor)เป็นจริง และเหตุผลFlies(Condor)ไม่ขัดแย้งกับสิ่งที่เรารู้ในปัจจุบัน ในทางตรงกันข้ามBird(Penguin)ไม่สามารถสรุปได้ว่าFlies(Penguin)เพราะถึงแม้เงื่อนไขเบื้องต้นของBird(Penguin)จะเป็นจริง แต่เหตุผลFlies(Penguin)ก็ขัดแย้งกับสิ่งที่เรารู้ จากทฤษฎีพื้นฐานและกฎพื้นฐานนี้ จึง ไม่สามารถสรุปได้ว่า Bird(Bee)เพราะกฎพื้นฐานอนุญาตให้สรุปFlies( X )จากBird( X ) เท่านั้น แต่ในทางกลับกันไม่ได้ การอนุมานเงื่อนไขเบื้องต้นของกฎการอนุมานจากผลลัพธ์เป็นรูปแบบหนึ่งของการอธิบายผลลัพธ์ และเป็นเป้าหมายของ การให้เหตุผล แบบ อุปมาน

โดยทั่วไปแล้ว ข้อสันนิษฐานเริ่มต้นอย่างหนึ่งคือ สิ่งที่ไม่ทราบว่าเป็นจริง จะถูกเชื่อว่าเป็นเท็จ นี่เรียกว่า ข้อสันนิษฐานโลกปิด (Closed-World Assumption ) และถูกกำหนดเป็นทางการในตรรกะเริ่มต้นโดยใช้ค่าเริ่มต้นดังต่อไปนี้สำหรับข้อเท็จจริงทุกข้อF

${\displaystyle {\frac {:{\neg }F}{{\neg }F}}}$

ตัวอย่างเช่น ภาษาคอมพิวเตอร์Prologใช้สมมติฐานเริ่มต้นแบบหนึ่งเมื่อจัดการกับการปฏิเสธ: หากไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าอะตอมเชิงลบนั้นเป็นจริง ก็จะถือว่ามันเป็นเท็จ อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่า Prolog ใช้สิ่งที่เรียกว่าการปฏิเสธในฐานะความล้มเหลว : เมื่อตัวแปลต้องประเมินอะตอมมันจะพยายามพิสูจน์ว่าFเป็นจริง และสรุปว่า F เป็นจริงหากล้มเหลว ในตรรกะเริ่มต้น ในทางกลับกัน ค่าเริ่มต้นที่มี F เป็นเหตุผลสนับสนุนจะสามารถนำมาใช้ได้ก็ต่อเมื่อF สอดคล้องกับความรู้ในปัจจุบัน เท่านั้น${\displaystyle \neg F}$${\displaystyle \neg F}$${\displaystyle \neg F}$${\displaystyle \neg F}$

ค่าเริ่มต้นจะเรียกว่าเป็นแบบเด็ดขาดหรือไม่มีเงื่อนไขเบื้องต้น หากไม่มีเงื่อนไขเบื้องต้นใดๆ (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เงื่อนไขเบื้องต้นนั้นเป็นสัจนิรันดร์ ) ค่าเริ่มต้นจะเรียกว่าเป็นแบบปกติ หากมีการให้เหตุผลเพียงข้อเดียวที่เทียบเท่ากับข้อสรุป ค่าเริ่มต้นจะเรียกว่าเป็นแบบเหนือปกติ หากเป็นทั้งแบบเด็ดขาดและแบบปกติ ค่าเริ่มต้นจะเรียกว่าเป็นแบบกึ่งปกติ หากการให้เหตุผลทั้งหมดนำไปสู่ข้อสรุป ทฤษฎีค่าเริ่มต้นจะเรียกว่าเป็นแบบเด็ดขาด แบบปกติ แบบเหนือปกติ หรือแบบกึ่งปกติ หากค่าเริ่มต้นทั้งหมดที่ประกอบอยู่ในนั้นเป็นแบบเด็ดขาด แบบปกติ แบบเหนือปกติ หรือแบบกึ่งปกติ ตามลำดับ

กฎเริ่มต้นสามารถนำไปใช้กับทฤษฎีได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขเบื้องต้นของกฎนั้นเป็นผลมาจากทฤษฎี และเหตุผลสนับสนุนทั้งหมดของกฎนั้นสอดคล้องกับทฤษฎี การนำกฎเริ่มต้นไปใช้จะนำไปสู่การเพิ่มผลลัพธ์ของกฎนั้นเข้าไปในทฤษฎี จากนั้นจึงสามารถนำกฎเริ่มต้นอื่นๆ ไปใช้กับทฤษฎีที่ได้นั้นได้ เมื่อทฤษฎีนั้นไม่สามารถนำกฎเริ่มต้นอื่นๆ ไปใช้ได้อีกแล้ว ทฤษฎีนั้นเรียกว่าส่วนขยายของทฤษฎีเริ่มต้น กฎเริ่มต้นอาจถูกนำมาใช้ในลำดับที่แตกต่างกัน และอาจนำไปสู่ส่วนขยายที่แตกต่างกัน ตัวอย่าง เพชรของนิกสันเป็นทฤษฎีเริ่มต้นที่มีส่วนขยายสองส่วน:

${\displaystyle \left\langle \left\{{\frac {\mathrm {Republican} (X):\neg \mathrm {Pacifist} (X)}{\neg \mathrm {Pacifist} (X)}},{\frac {\mathrm {Quaker} (X):\mathrm {Pacifist} (X)}{\mathrm {Pacifist} (X)}}\right\},\left\{\mathrm {สาธารณรัฐ} (\mathrm {Nixon} ),\mathrm {Quaker} (\mathrm {Nixon} )\right\}\right\rangle }$

เนื่องจากนิกสันเป็นทั้งพรรครีพับลิกันและนิกายเควกเกอร์ดังนั้นจึงสามารถใช้สมมติฐานเริ่มต้นได้ทั้งสองแบบ อย่างไรก็ตาม การใช้สมมติฐานเริ่มต้นแบบแรกนำไปสู่ข้อสรุปว่านิกสันไม่ใช่ผู้รักสันติ ซึ่งทำให้สมมติฐานเริ่มต้นแบบที่สองใช้ไม่ได้ ในทำนองเดียวกัน การใช้สมมติฐานเริ่มต้นแบบที่สองจะทำให้เราได้ข้อสรุปว่านิกสันเป็นผู้รักสันติ ซึ่งทำให้สมมติฐานเริ่มต้นแบบแรกใช้ไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น ทฤษฎีสมมติฐานเริ่มต้นนี้จึงมีส่วนขยายสองแบบ แบบหนึ่งที่Pacifist(Nixon)เป็นจริง และอีกแบบหนึ่งที่Pacifist(Nixon)เป็นเท็จ

ความหมายดั้งเดิมของตรรกะค่าเริ่มต้นนั้นอิงตามจุดคงที่ของฟังก์ชัน ต่อไปนี้คือคำจำกัดความเชิงอัลกอริทึมที่เทียบเท่ากัน หากค่าเริ่มต้นประกอบด้วยสูตรที่มีตัวแปรอิสระ จะถือว่าค่าเริ่มต้นนั้นเป็นตัวแทนของเซตของค่าเริ่มต้นทั้งหมดที่ได้จากการกำหนดค่าให้กับตัวแปรเหล่านั้นทั้งหมด ค่าเริ่มต้น สามารถ นำไปใช้กับทฤษฎีประพจน์T ได้ ก็ต่อเมื่อและทฤษฎีทั้งหมดมีความสอดคล้องกัน การประยุกต์ใช้ค่าเริ่มต้นนี้กับTนำไปสู่ทฤษฎีสามารถสร้างส่วนขยายได้โดยการใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: ${\displaystyle {\frac {\alpha :\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{\gamma }}}$${\displaystyle T\models \alpha }$${\displaystyle T\cup \{\beta _{i}\}}$${\displaystyle T\cup \{\gamma \}}$

T = W /* ทฤษฎีปัจจุบัน */ A = 0 /* ค่าเริ่มต้นที่ใช้ไปแล้ว */   /* ใช้ลำดับของค่าเริ่มต้น */ ในขณะที่มีค่าเริ่มต้น d ที่ไม่ได้อยู่ใน A และใช้ได้กับ T เพิ่มผลที่ตามมาของ d ลงใน T เพิ่ม d ลงใน A   /* ตรวจสอบความสอดคล้องขั้นสุดท้าย */ ถ้าสำหรับค่าเริ่มต้น d ทุกค่าใน A T สอดคล้องกับเหตุผลทั้งหมดของ d แล้ว เอาต์พุต T 

อัลกอริทึมนี้ไม่แน่นอนเนื่องจากค่าเริ่มต้นหลายค่าสามารถนำไปใช้กับทฤษฎีT ที่กำหนดได้ ในตัวอย่างเพชรของนิกสัน การใช้ค่าเริ่มต้นแรกจะนำไปสู่ทฤษฎีที่ไม่สามารถใช้ค่าเริ่มต้นที่สองได้ และในทางกลับกัน ส่งผลให้เกิดส่วนขยายสองแบบ คือ แบบหนึ่งที่นิกสันเป็นผู้รักสันติ และอีกแบบหนึ่งที่นิกสันไม่ใช่ผู้รักสันติ

การตรวจสอบความสอดคล้องขั้นสุดท้ายของเหตุผลสนับสนุนของค่าเริ่มต้นทั้งหมดที่ได้นำมาใช้ บ่งชี้ว่าทฤษฎีบางอย่างไม่มีส่วนขยาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อการตรวจสอบนี้ล้มเหลวสำหรับลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของค่าเริ่มต้นที่นำไปใช้ได้ ทฤษฎีค่าเริ่มต้นต่อไปนี้ไม่มีส่วนขยาย:

${\displaystyle \left\langle \left\{{\frac {:A(b)}{\neg A(b)}}\right\},\emptyset \right\rangle }$

เนื่องจากสอดคล้องกับทฤษฎีพื้นฐาน จึงสามารถใช้ค่าเริ่มต้นได้ ซึ่งนำไปสู่ข้อสรุปว่าเท็จ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้บั่นทอนข้อสมมติฐานที่ใช้ในการใช้ค่าเริ่มต้นครั้งแรก ดังนั้น ทฤษฎีนี้จึงไม่มีส่วนขยายเพิ่มเติม ${\displaystyle A(b)}$${\displaystyle A(b)}$

ในทฤษฎีการผิดนัดชำระหนี้แบบปกติ การผิดนัดชำระหนี้ทั้งหมดเป็นแบบปกติ กล่าวคือ การผิดนัดชำระหนี้แต่ละครั้งมีรูปแบบทฤษฎีการผิดนัดชำระหนี้แบบปกติรับประกันว่าจะต้องมีส่วนขยายอย่างน้อยหนึ่งส่วน นอกจากนี้ ส่วนขยายของทฤษฎีการผิดนัดชำระหนี้แบบปกติจะไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่สอดคล้องกันเอง ${\displaystyle {\frac {\phi :\psi }{\psi }}}$

ทฤษฎีพื้นฐานสามารถมีส่วนขยายได้ศูนย์ หนึ่ง หรือมากกว่านั้นการอนุมานสูตรจากทฤษฎีพื้นฐานสามารถกำหนดได้สองวิธี:

สงสัย

สูตรหนึ่งจะถือว่าได้มาจากทฤษฎีพื้นฐาน หากสูตรนั้นได้มาจากส่วนขยายทั้งหมดของทฤษฎีพื้นฐานนั้น

เชื่อคนง่าย

สูตรหนึ่งๆ จะถือว่าได้มาจากทฤษฎีพื้นฐาน หากสูตรนั้นได้มาจากส่วนขยายอย่างน้อยหนึ่งส่วนของทฤษฎีพื้นฐานนั้น

ดังนั้น ทฤษฎีตัวอย่างเพชรของนิกสันจึงมีส่วนขยายสองแบบ แบบหนึ่งที่นิกสันเป็นผู้รักสันติ และอีกแบบหนึ่งที่เขาไม่ใช่ผู้รักสันติ ผลที่ตามมาคือ ทั้งPacifist(Nixon)และ¬Pacifist(Nixon)ไม่ได้ถูกสรุปอย่างมีข้อสงสัย ในขณะที่ทั้งสองแบบถูกสรุปอย่างเชื่ออย่างงมงาย ดังที่ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็น ผลลัพธ์ที่เชื่ออย่างงมงายของทฤษฎีเริ่มต้นอาจไม่สอดคล้องกัน

กฎการอนุมานทางเลือกต่อไปนี้สำหรับตรรกะเริ่มต้นนั้นใช้ไวยากรณ์เดียวกันกับระบบดั้งเดิมทั้งหมด

สมเหตุสมผล

แตกต่างจากแบบเดิมตรงที่ไม่มีการใช้ค่าเริ่มต้นหากการใช้ค่าเริ่มต้นดังกล่าวทำให้เซตTไม่สอดคล้องกับเหตุผลในการใช้ค่าเริ่มต้น

กระชับ

ค่าเริ่มต้นจะถูกนำมาใช้ก็ต่อเมื่อผลที่ตามมาของค่าเริ่มต้นนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้แล้วโดยT (คำจำกัดความที่แท้จริงนั้นซับซ้อนกว่านี้ นี่เป็นเพียงแนวคิดหลักเบื้องหลังเท่านั้น)

ถูกจำกัด

จะมีการใช้ค่าเริ่มต้นก็ต่อเมื่อชุดที่ประกอบด้วยทฤษฎีพื้นฐาน เหตุผลของการใช้ค่าเริ่มต้นทั้งหมด และผลที่ตามมาของการใช้ค่าเริ่มต้นทั้งหมด (รวมถึงค่าเริ่มต้นนี้) มีความสอดคล้องกัน

เหตุผล

คล้ายกับตรรกะเริ่มต้นที่ถูกจำกัด แต่ผลที่ตามมาจากการเพิ่มค่าเริ่มต้นจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในการตรวจสอบความสอดคล้อง

ระมัดระวัง

ค่าเริ่มต้นที่สามารถนำมาใช้ได้แต่ขัดแย้งกันเอง (เช่น ตัวอย่างเพชรของนิกสัน) จะไม่ถูกนำมาใช้

กฎการอนุมานในรูปแบบที่สมเหตุสมผลและมีข้อจำกัด จะกำหนดส่วนขยายอย่างน้อยหนึ่งส่วนให้กับทฤษฎีเริ่มต้นทุกทฤษฎี

รูปแบบตรรกะเริ่มต้นต่อไปนี้แตกต่างจากรูปแบบดั้งเดิมทั้งในด้านไวยากรณ์และความหมาย

รูปแบบการยืนยัน

ข้อความยืนยัน (Assertion) คือคู่ที่ประกอบด้วยสูตรและชุดของสูตร คู่ดังกล่าวบ่งชี้ว่าpเป็นจริง ในขณะที่สูตรต่างๆถูกสมมติให้สอดคล้องกันเพื่อพิสูจน์ว่าpเป็นจริง ทฤษฎีค่าเริ่มต้นแบบข้อความยืนยัน (Assertional default theory) ประกอบด้วยทฤษฎีข้อความยืนยัน (ชุดของสูตรข้อความยืนยัน) ที่เรียกว่าทฤษฎีพื้นหลัง และชุดของค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้ตามไวยากรณ์ดั้งเดิม เมื่อใดก็ตามที่มีการใช้ค่าเริ่มต้นกับทฤษฎีข้อความยืนยัน คู่ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์และชุดของเหตุผลจะถูกเพิ่มเข้าไปในทฤษฎีนั้น ความหมายต่อไปนี้ใช้ทฤษฎีข้อความยืนยัน:${\displaystyle \langle p:\{r_{1},\ldots ,r_{n}\}\rangle }$${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

• ตรรกะค่าเริ่มต้นสะสม
• การยึดมั่นในสมมติฐาน ตรรกะเริ่มต้น
• ตรรกะกึ่งค่าเริ่มต้น

ส่วนขยายที่อ่อนแอ

แทนที่จะตรวจสอบว่าเงื่อนไขเบื้องต้นนั้นถูกต้องในทฤษฎีที่ประกอบด้วยทฤษฎีพื้นฐานและผลที่ตามมาของค่าเริ่มต้นที่ใช้หรือไม่ เงื่อนไขเบื้องต้นจะถูกตรวจสอบความถูกต้องในส่วนขยายที่จะสร้างขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง อัลกอริทึมสำหรับการสร้างส่วนขยายเริ่มต้นด้วยการเดาทฤษฎีและใช้ทฤษฎีนั้นแทนทฤษฎีพื้นฐาน สิ่งที่ได้จากกระบวนการสร้างส่วนขยายจะเป็นส่วนขยายก็ต่อเมื่อมันเทียบเท่ากับทฤษฎีที่เดาไว้ตั้งแต่ต้นเท่านั้น ตรรกะค่าเริ่มต้นแบบนี้มีความสัมพันธ์ในหลักการกับตรรกะอัตตาญาณนิยมซึ่งทฤษฎีมีแบบจำลองที่xเป็นจริงเพียงเพราะว่า เมื่อสมมติว่าเป็นจริง สูตรจะสนับสนุนสมมติฐานเริ่มต้น${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$${\displaystyle \Box x}$${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$

ตรรกะเริ่มต้นแบบแยกส่วน

ผลที่ตามมาของการตั้งค่าเริ่มต้นคือชุดของสูตรแทนที่จะเป็นสูตรเดียว เมื่อใดก็ตามที่มีการใช้การตั้งค่าเริ่มต้น ผลที่ตามมาอย่างน้อยหนึ่งอย่างจะถูกเลือกและทำให้เป็นจริงโดยไม่สามารถกำหนดได้แน่นอน

ลำดับความสำคัญของค่าเริ่มต้น

ลำดับความสำคัญสัมพัทธ์ของค่าเริ่มต้นสามารถระบุได้อย่างชัดเจน ในบรรดาค่าเริ่มต้นที่ใช้ได้กับทฤษฎี จะมีเพียงค่าเริ่มต้นที่ต้องการมากที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่สามารถนำมาใช้ได้^{[ 1 ]}ความหมายบางอย่างของตรรกะค่าเริ่มต้นไม่จำเป็นต้องระบุลำดับความสำคัญอย่างชัดเจน แต่ค่าเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจงกว่า (ซึ่งใช้ได้ในกรณีน้อยกว่า) จะถูกเลือกมากกว่าค่าเริ่มต้นที่ไม่เฉพาะเจาะจง

ตัวแปรทางสถิติ

ค่าเริ่มต้นทางสถิติคือค่าเริ่มต้นที่มีขอบเขตบนของความถี่ของข้อผิดพลาดแนบมาด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ค่าเริ่มต้นนั้นถือว่าเป็นกฎการอนุมานที่ไม่ถูกต้องในจำนวนครั้งสูงสุดตามสัดส่วนที่กำหนดไว้

ทฤษฎีพื้นฐานสามารถแปลงเป็นทฤษฎีในตรรกศาสตร์อื่นได้ และในทางกลับกัน โดยได้พิจารณาเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับการแปลง:

การรักษาผลลัพธ์

ทฤษฎีต้นฉบับและทฤษฎีที่แปลแล้วมีผลลัพธ์ (เชิงประพจน์) เหมือนกัน

ซื่อสัตย์

เงื่อนไขนี้จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทำการแปลระหว่างตรรกะพื้นฐานสองรูปแบบ หรือระหว่างตรรกะพื้นฐานกับตรรกะที่มีแนวคิดคล้ายกับการขยายอยู่ เช่น แบบจำลองในตรรกะเชิงโมดอลการแปลจะถือว่าถูกต้องแม่นยำหากมีการจับคู่ (โดยทั่วไปคือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ระหว่างส่วนขยาย (หรือแบบจำลอง) ของทฤษฎีต้นฉบับและทฤษฎีที่แปลแล้ว

แบบโมดูลาร์

การแปลงจากตรรกะเริ่มต้นไปเป็นตรรกะอื่นจะถือว่าเป็นแบบโมดูลาร์ หากสามารถแปลงค่าเริ่มต้นและทฤษฎีพื้นฐานแยกจากกันได้ นอกจากนี้ การเพิ่มสูตรลงในทฤษฎีพื้นฐานจะนำไปสู่การเพิ่มสูตรใหม่ลงในผลลัพธ์ของการแปลงเท่านั้น

ตัวอักษรเดียวกัน

ทฤษฎีต้นฉบับและทฤษฎีที่แปลแล้วสร้างขึ้นบนตัวอักษรเดียวกัน

พหุนาม

ระยะเวลาในการแปลหรือขนาดของทฤษฎีที่สร้างขึ้นจะต้องเป็นพหุนามตามขนาดของทฤษฎีดั้งเดิม

โดยทั่วไปแล้ว การแปลจะต้องมีความถูกต้องแม่นยำ หรืออย่างน้อยก็ต้องรักษาผลลัพธ์เดิมไว้ ในขณะที่เงื่อนไขเรื่องความเป็นโมดูลาร์และการใช้อักษรเดียวกันนั้นบางครั้งก็ถูกละเลย

ได้มีการศึกษาความสามารถในการแปลระหว่างตรรกะเริ่มต้นเชิงประพจน์และตรรกะต่อไปนี้:

• ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แบบคลาสสิก;
• ตรรกะอัตญาณนิยม;
• ตรรกศาสตร์เริ่มต้นเชิงประพจน์ที่จำกัดเฉพาะทฤษฎีกึ่งปกติ
• ความหมายทางเลือกของตรรกะเริ่มต้น;
• ขอบเขต

การแปลจะเกิดขึ้นหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่กำหนด การแปลจากตรรกศาสตร์เริ่มต้นเชิงประพจน์ไปสู่ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แบบคลาสสิกไม่สามารถสร้างทฤษฎีเชิงประพจน์ที่มีขนาดพหุนามได้เสมอไป เว้นแต่ลำดับชั้นพหุนามจะยุบตัวลง การแปลไปสู่ตรรกศาสตร์อัตญาณวิทยาจะเกิดขึ้นหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่าจำเป็นต้องใช้ความเป็นโมดูลาร์หรือการใช้อักษรเดียวกันหรือไม่

ความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหาเกี่ยวกับตรรกะเริ่มต้นต่อไปนี้เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว:

การมีอยู่ของส่วนขยาย

การตัดสินใจว่าทฤษฎีค่าเริ่มต้นเชิงประพจน์มีส่วนขยายอย่างน้อยหนึ่งรายการหรือไม่นั้น สมบูรณ์แบบ-complete;${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$

การสืบเนื่องที่น่าสงสัย

การตัดสินใจว่าทฤษฎีค่าเริ่มต้นเชิงประพจน์บ่งชี้สูตรเชิงประพจน์ อย่างมีนัยยะหรือไม่ นั้นสมบูรณ์หรือไม่${\displaystyle \Pi _{2}^{P}}$

การสืบเนื่องที่เชื่ออย่างงมงาย

การตัดสินใจว่าทฤษฎีค่าเริ่มต้นเชิงประพจน์นำไปสู่สูตรเชิงประพจน์อย่างน่าเชื่อถือหรือไม่นั้นสมบูรณ์หรือไม่${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$

การตรวจสอบส่วนขยาย

การตัดสินใจว่าสูตรเชิงประพจน์เทียบเท่ากับการขยายทฤษฎีค่าเริ่มต้นเชิงประพจน์หรือไม่นั้น เป็นปัญหา ที่ซับซ้อน ระดับ -complete${\displaystyle \Delta _{2}^{P[\log ]}}$

การตรวจสอบแบบจำลอง

การตัดสินใจว่าการตีความเชิงประพจน์เป็นแบบจำลองของการขยายทฤษฎีค่าเริ่มต้นเชิงประพจน์หรือไม่นั้น เป็นปัญหาที่ซับซ้อนมาก (ระดับ -complete)${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$

ระบบสี่ระบบที่ใช้ตรรกะเริ่มต้น ได้แก่ DeReS , XRay , GADeL (เก็บถาวรเมื่อ 2007-04-06 ที่Wayback Machine ) และCatala

• การเขียนโปรแกรมชุดคำตอบ
• ตรรกะที่สามารถหักล้างได้
• ตรรกะที่ไม่เป็นแบบโมโนโทนิก
• การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ

• Schmidt, Charles F. RCI.Rutgers.edu , Default Logic. สืบค้นเมื่อ 10 สิงหาคม 2547.
• Ramsay, Allan (1999). UMIST.ac.uk , Default Logic. สืบค้นเมื่อ 10 สิงหาคม 2547
• Stanford.edu , การให้เหตุผลที่หักล้างได้, สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด