ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีตัวดำเนินการตัวดำเนินการที่มีนิยามหนาแน่นหรือตัวดำเนินการที่มีนิยามบางส่วนคือ ประเภทหนึ่งของฟังก์ชัน ที่มีนิยามบางส่วน ในเชิงโทโพโลยีมันคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีนิยาม "เกือบทุกที่" ตัวดำเนินการที่มีนิยามหนาแน่นมักเกิดขึ้นในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันในฐานะการดำเนินการที่เราต้องการนำไปใช้กับกลุ่มของวัตถุที่กว้างกว่ากลุ่มที่"สมเหตุสมผล" ตามหลักการเบื้องต้น

ตัวดำเนินการแบบปิดที่ใช้ในทางปฏิบัติมักมีการกำหนดนิยามอย่างหนาแน่น

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ${\displaystyle X,Y}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตหนาแน่นจากไปคือตัวดำเนินการเชิงเส้นประเภท โดยที่เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตหนาแน่นของกล่าวอีกนัยหนึ่งคือฟังก์ชันบางส่วนที่มีโดเมนหนาแน่นใน ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:D(T)\to Y}$${\displaystyle D(T)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

บางครั้งคำนี้อาจย่อเป็นเมื่อบริบททำให้ชัดเจนว่าอาจไม่ได้กำหนดไว้สำหรับทุกกรณี ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

คุณสมบัติของเฮาส์ดอร์ฟรับประกันว่าการลู่เข้าแบบลำดับนั้นมีเอกลักษณ์คุณสมบัติเมตริกซ์รับประกันว่า เซต ที่ปิดแบบลำดับนั้นเป็นเซตปิด ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน เงื่อนไขเหล่านี้มักจะเป็นจริง เนื่องจากปริภูมิส่วนใหญ่ที่พิจารณานั้นเป็นปริภูมิเฟรเชต์หรือแข็งแกร่งกว่าเฟรเชต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิบานาคเป็นปริภูมิเฟรเชต์

ให้เป็นปริภูมิ ฮิลเบิร์ตของลำดับที่หาผลรวมกำลังสองได้โดยมีฐานเชิงตั้งฉากปกติกำหนดตัวดำเนินการแนวทแยงมุมโดยมีโดเมนดังนั้น จึงมีความหนาแน่นในเนื่องจากลำดับที่มีขอบเขตจำกัดและมีความหนาแน่นในตัวดำเนินการปิดและไม่มีขอบเขตเนื่องจาก${\displaystyle X=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle (e_{n})_{n\geq 1}}$$${\displaystyle A:D(A)\to \ell ^{2},\qquad (Ax)_{n}:=n\,x_{n},}$$$${\displaystyle D(A):=\left\{x=(x_{n})_{n\geq 1}\in \ell ^{2}:\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}|x_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle c_{00}\subset D(A)}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|Ae_{n}\|_{2}=n}$

มีอินเวอร์สที่มีขอบเขตอยู่ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่มีอินเวอร์สที่มีขอบเขต ดังนั้นและโดยการใช้เหตุผลอนุกรมนอยมันน์เซตตัวผกผันของจะประกอบด้วยดิสก์หน่วยเปิด $${\displaystyle A^{-1}:\ell ^{2}\to D(A),\qquad (A^{-1}y)_{n}:={\frac {y_{n}}{n}},\qquad \|A^{-1}\|=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=1.}$$${\displaystyle A:D(A)\to \ell ^{2}}$${\displaystyle 0\in \rho (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{\,\lambda \in \mathbb {C} :\ |\lambda |<1\,\}}$

อันที่จริง สเปกตรัมของ(นั่นคือ ส่วนเติมเต็มของเซตตัวผกผัน) คือเซตของจำนวนเต็มบวก เนื่องจากสำหรับใดๆสูตรแนวทแยง จะกำหนดตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda \not \in \{1,2,\dots \}}$$${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}y={\bigl (}{\tfrac {y_{n}}{n-\lambda }}{\bigr )}_{n\geq 1}}$$${\displaystyle \ell ^{2}\to D(A)}$

ดังนั้น จึงเป็นตัวดำเนินการแบบปิดที่มีขอบเขตจำกัด ถูกกำหนดอย่างหนาแน่น มีตัวผกผันที่มีขอบเขตจำกัด และสเปกตรัมที่ไม่เป็นศูนย์และมีขอบเขตจำกัด ${\displaystyle A}$

พิจารณาปริภูมิ ของ ฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงทั้งหมดที่นิยามบนช่วงหน่วย ให้ แทนปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่อง ทั้งหมด กำหนดนอร์มสูงสุดให้กับซึ่งทำให้ เป็น ปริภูมิบานาคจริงตัวดำเนินการหาอนุพันธ์ที่กำหนดโดยเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่นิยามบนปริภูมิย่อยเชิงเส้นหนาแน่นดังนั้นจึงเป็นตัวดำเนินการที่นิยามอย่างหนาแน่นบน ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{\infty }}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)}$$${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )\subset C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$

ตัวดำเนินการนี้เป็นตัวอย่างของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่จำกัดขอบเขตเนื่องจาก ความไม่จำกัดขอบเขตนี้ก่อให้เกิดปัญหาหากต้องการขยายตัวดำเนินการอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องไปยังทั้งหมดของ${\displaystyle \mathrm {D} }$$${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ has }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).}$

อินทิกรัล Paley –Wienerเป็นตัวอย่างมาตรฐานของการขยายแบบต่อเนื่องของตัวดำเนินการที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น

ในปริภูมิเวียนเนอร์นามธรรม ใดๆ ที่มีตัวผกผันจะมีตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง ตามธรรมชาติ (อันที่จริงมันคือการรวม และเป็นไอโซเมตรี ) จากไปยังภายใต้ ซึ่งไปยังชั้นสมมูลของใน สามารถแสดงได้ว่ามีความหนาแน่นใน เนื่องจากการรวมข้างต้นมีความต่อเนื่อง จึงมีการขยายเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันของการรวมไปยังทั้งหมดของ การขยายนี้คือแผนที่พาเลย์-เวียนเนอร์ ${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle j:=i^{*}:E^{*}\to H,}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}$${\displaystyle [f]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$${\displaystyle H.}$

• ทฤษฎีบทบลัมเบิร์ก  – ฟังก์ชันจริงใดๆ บน R ยอมรับการจำกัดแบบต่อเนื่องบนเซตย่อยหนาแน่นของ R
• ทฤษฎีบทกราฟปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับการปิดของกราฟ
• การขยายเชิงเส้น (พีชคณิตเชิงเส้น)  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ในพีชคณิตเชิงเส้นPages displaying short descriptions of redirect targets
• ฟังก์ชันบางส่วน  – ฟังก์ชันที่มีโดเมนนิยามที่แท้จริงอาจเล็กกว่าโดเมนที่ปรากฏ