ในคณิตศาสตร์เชิงดิ สครีต ฟังก์ชันรักษาทิศทาง (หรือการแมป) คือฟังก์ชันบนปริภูมิดิสครีต เช่น ตารางจำนวนเต็ม ที่ (อย่างไม่เป็นทางการ) ไม่เปลี่ยนแปลงมากนักระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ติดกัน อาจถือได้ว่าเป็นอนาล็อกเชิงดิสครีตของฟังก์ชันต่อเนื่อง

แนวคิดนี้ได้รับการกำหนดครั้งแรกโดย Iimura ^{[ 1 ] [ 2 ]}ต่อมา Yang ^{[ 3 ]} Chen และ Deng ^{[ 4 ]} Herings, van-der-Laan, Talman และ Yang ^{[ 5 ]}และคนอื่นๆ ได้กำหนดรูปแบบต่างๆ ของแนวคิดนี้

เรามุ่งเน้นที่ฟังก์ชัน โดยที่โดเมน X เป็นเซตย่อยจำกัดของปริภูมิยุคลิดch ( X ) หมายถึงส่วนนูนของX${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

คุณสมบัติการรักษาทิศทางมีหลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับว่าเรากำหนด "การเปลี่ยนแปลงอย่างรุนแรง" และ "จุดที่อยู่ติดกัน" อย่างไร สำหรับ "การเปลี่ยนแปลงอย่างรุนแรง" นั้น มีสองรูปแบบหลัก:

• การรักษาทิศทาง (Direction Preservation : DP) หมายความว่า ถ้าxและyอยู่ติดกันแล้ว สำหรับทุก x และ y จะ ต้อง เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไป นี้ กล่าวคือ ส่วนประกอบ ทุกส่วนของฟังก์ชันfจะต้องไม่เปลี่ยนเครื่องหมายระหว่างจุดที่อยู่ติดกัน${\displaystyle i\in [n]}$${\displaystyle f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0}$
• การรักษาทิศทางโดยรวม (Gross Direction Preservationหรือ GDP) หมายความว่า ถ้าxและyอยู่ติดกันแล้วทิศทางของฟังก์ชันf (ในรูปเวกเตอร์) จะไม่เปลี่ยนแปลงเกิน 90 องศา ระหว่างจุดที่อยู่ติดกัน โปรดทราบว่า DP บ่งชี้ถึง GDP แต่ GDP ไม่บ่งชี้ถึง DP${\displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq 0}$

สำหรับ "จุดที่อยู่ติดกัน" นั้น มีหลายรูปแบบ:

• ไฮเปอร์คิวบิกหมายความว่าxและyจะอยู่ติดกันก็ต่อเมื่อ x และ y อยู่ในไฮเปอร์คิวบ์ขนานแกนใดแกนหนึ่งที่มีด้านยาว 1 เท่านั้น
• คำว่า "ซิมพลิเชียล"หมายความว่าxและyจะอยู่ติดกันก็ต่อเมื่อพวกมันเป็นจุดยอดของซิมเพล็กซ์เดียวกัน ในการแบ่งโดเมนออกเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยปกติแล้ว ความสัมพันธ์แบบซิมพลิเชียลจะแข็งแกร่งกว่าความสัมพันธ์แบบไฮเปอร์คิวบิกมาก ดังนั้น DP แบบไฮเปอร์คิวบิกจึงแข็งแกร่งกว่า DP แบบซิมพลิเชียลมากเช่นกัน

คำจำกัดความเฉพาะจะแสดงไว้ด้านล่าง ตัวอย่างทั้งหมดด้านล่างนี้ใช้สำหรับมิติและสำหรับX = { (2,6), (2,7), (3, 6), (3, 7) } ${\displaystyle n=2}$

เซลล์คือเซตย่อยของที่สามารถแสดงได้ด้วยสำหรับบางค่าตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเซลล์หนึ่ง ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k+[0,1]^{n}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle [2,3]\times [6,7]}$

จุดสองจุดในปริภูมิจะเรียกว่าเซลล์ที่เชื่อมต่อกันหากมีเซลล์ที่ครอบคลุมจุดทั้งสองนั้น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

คุณสมบัติการรักษาทิศทางของไฮเปอร์คิวบิกกำหนดว่าฟังก์ชันจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงมากเกินไปในจุดที่เชื่อมต่อกันภายในเซลล์ (จุดที่อยู่ในเซลล์ไฮเปอร์คิวบิกเดียวกัน)

fเรียกว่ารักษาทิศทางไฮเปอร์คิวบิก (HDP)ถ้าสำหรับจุดเชื่อมต่อเซลล์x , y ใดๆ ในXสำหรับทุก: คำว่ารักษาทิศทางเฉพาะที่ (LDP)มักใช้แทน^{[ 1 ]}ฟังก์ชันf ^aทางด้านขวาเป็น DP ${\displaystyle i\in [n]}$${\displaystyle f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0}$

• ผู้เขียนบางคน^{[ 4 ] : Def.1} ใช้รูปแบบที่กำหนดให้สำหรับจุดเชื่อมต่อเซลล์x , y ใดๆ ในXสำหรับทุก: ฟังก์ชันf ( x ) เป็น HDP ตามรูปแบบที่สองก็ต่อเมื่อฟังก์ชันg ( x ) := f ( x )- xเป็น HDP ตามรูปแบบแรก${\displaystyle i\in [n]}$${\displaystyle (f_{i}(x)-x_{i})\cdot (f_{i}(y)-y_{i})\geq 0}$

fเรียกว่ารักษาทิศทางโดยรวมแบบไฮเปอร์คิวบิก (HGDP)หรือรักษาทิศทางโดยรวมแบบท้องถิ่น (LGDP) ถ้าสำหรับจุด x , yที่เชื่อมต่อเซลล์คู่ใด ๆในX, . ^{[ 3 ] : นิยาม 2.2} ฟังก์ชัน HDP ทุกฟังก์ชันเป็น HGDP แต่ในทางกลับกันไม่เป็นจริง ฟังก์ชันf ^bเป็น HGDP เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวใด ๆ ในตารางเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ แต่ไม่ใช่ HDP เนื่องจากส่วนประกอบที่สองเปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง (2,6) และ (3,6): . ${\displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq 0}$${\displaystyle f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0}$

• ผู้เขียนบางคน^{[ 5 ]}ใช้รูปแบบที่กำหนดให้สำหรับจุดเชื่อมต่อเซลล์x , y ใดๆ ในX ฟังก์ชันf ( x ) เป็น HGDP ตามรูปแบบที่สองก็ต่อเมื่อฟังก์ชันg ( x ) := f ( x )- xเป็น HGDP ตามรูปแบบแรก${\displaystyle (f(x)-x)\cdot (f(y)-y)\geq 0}$

ซิมเพล็กซ์จะเรียกว่า ซิมเพล็ก ซ์เชิงปริพันธ์ก็ต่อเมื่อจุดยอดทั้งหมดมีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม และจุดยอดเหล่านั้นทั้งหมดอยู่ในเซลล์เดียวกัน (ดังนั้น ผลต่างระหว่างพิกัดของจุดยอดที่แตกต่างกันจึงมีค่าไม่เกิน 1)

การแบ่งรูปสามเหลี่ยมของเซตย่อยบางส่วนของจะเรียกว่าการแบ่งรูปสามเหลี่ยมสมบูรณ์ถ้าซิมเพล็กซ์ทั้งหมดของการแบ่งรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมสมบูรณ์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เมื่อกำหนดการแบ่งรูปสามเหลี่ยมแล้ว จุดสองจุดจะเรียกว่าเชื่อมต่อกันแบบซิมเพล็กซ์หากมีซิมเพล็กซ์ของการแบ่งรูปสามเหลี่ยมนั้นที่บรรจุจุดทั้งสองไว้

โปรดทราบว่า ในการแบ่งสามเหลี่ยมแบบอินทิกรัล จุดที่เชื่อมต่อกันแบบซิมพลิเชียลทุกจุดจะเชื่อมต่อกันแบบเซลล์ด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซลล์ พิจารณาการแบ่งสามเหลี่ยมแบบอินทิกรัลที่แบ่งเซลล์นี้ออกเป็นสองสามเหลี่ยม: {(2,6),(2,7),(3,7)} และ {(2,6),(3,6),(3,7)} จุด (2,7) และ (3,6) เชื่อมต่อกันแบบเซลล์ แต่ไม่เชื่อมต่อกันแบบซิมพลิเชียล ${\displaystyle [2,3]\times [6,7]}$

คุณสมบัติการรักษาทิศทางเชิงซิมพลิเชียลนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานของการแบ่งสามเหลี่ยมเชิงปริพันธ์ที่คงที่ของโดเมนอินพุต โดยกำหนดให้ฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลงมากเกินไปในจุดที่เชื่อมต่อกันเชิงซิมพลิเชียล (จุดที่อยู่ในซิมเพล็กซ์เดียวกันของการแบ่งสามเหลี่ยม) โดยทั่วไปแล้ว ข้อกำหนดนี้อ่อนกว่าการรักษาทิศทางเชิงไฮเปอร์คิวบิกมาก

fเรียกว่ารักษาทิศทางเชิงซิมพลิเชียล (SDP)ถ้าสำหรับการแบ่งสามเหลี่ยมอินทิกรัลของX บางส่วน สำหรับจุดx , y ที่เชื่อมต่อกันเชิงซิมพลิเชียล ในX ใดๆ สำหรับทุก: . ^{[ 4 ] : นิยาม 4} ${\displaystyle i\in [n]}$${\displaystyle (f_{i}(x)-x_{i})\cdot (f_{i}(y)-y_{i})\geq 0}$

fเรียกว่ารักษาทิศทางโดยรวมเชิงซิมพลิเชียล (SGDP)หรือรักษาทิศทางโดยรวมเชิงซิมพลิเชียลเฉพาะที่ (SLGDP)หากมีการแบ่งสามเหลี่ยมอินทิกรัลของch( X ) เช่นนั้น สำหรับจุด x , yที่เชื่อมต่อกันเชิงซิมพลิเชียลคู่ใด ๆในX, . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq 0}$

ฟังก์ชัน HGDP ทุกฟังก์ชันเป็น SGDP แต่ HGDP แข็งแกร่งกว่ามาก: มันเทียบเท่ากับ SGDP เมื่อเทียบกับ การแบ่งสามเหลี่ยมจำนวนเต็มที่ เป็นไปได้ทั้งหมดของ ch( X ) ในขณะที่ SGDP เกี่ยวข้องกับการแบ่งสามเหลี่ยมเพียงครั้งเดียว^{[ 3 ] : นิยาม 2.3} ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf ^cทางด้านขวาเป็น SGDP โดยการแบ่งสามเหลี่ยมที่แบ่งเซลล์ออกเป็นสองสามเหลี่ยม {(2,6),(2,7),(3,7)} และ {(2,6),(3,6),(3,7)} เนื่องจากในแต่ละสามเหลี่ยม ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวใดๆ ก็ตามจะไม่เป็นลบ แต่ไม่ใช่ HGDP เนื่องจาก. ${\displaystyle f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0}$