ในทฤษฎีจำนวนวิธีไฮเปอร์โบลาของดิริชเลต์เป็นเทคนิคในการประเมินผลรวม

${\displaystyle F(n)=\sum _{k=1}^{n}f(k)}$.

ขั้นตอนแรกคือการหาคู่ฟังก์ชันgและhที่ทำให้เมื่อใช้การสังเคราะห์แบบ Dirichletแล้วได้f = g ∗ hจากนั้นผลรวมจะเป็นดังนี้

${\displaystyle F(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{xy=k}^{}g(x)h(y),}$

โดยที่ผลรวมภายในครอบคลุมคู่ลำดับ( x , y )ของจำนวนเต็ม บวกทั้งหมด ที่xy = kในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนคู่เหล่านี้จะอยู่บนไฮเปอร์โบลาและเมื่อผลรวมสองชั้นถูกขยายอย่างสมบูรณ์ จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างพจน์ของผลรวมและจุดบนโครงข่ายในควาดรันต์แรกบนไฮเปอร์โบลาในรูปแบบxy = kโดยที่kเป็นจำนวนเต็ม1 ≤ k ≤ nสำหรับแต่ละจุด( x , y ) ดังกล่าว ผลรวมจะมีพจน์g ( x ) h ( y )และในทางกลับกัน

ให้aเป็นจำนวนจริง ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม โดยที่1 < a < nและให้b = n / aจากนั้นจุดแลตติซสามารถแบ่งออกเป็นสามบริเวณที่ทับซ้อนกันได้: บริเวณหนึ่งถูกล้อมรอบด้วย1 ≤ x ≤ aและ1 ≤ y ≤ n / xอีกบริเวณหนึ่งถูกล้อมรอบด้วย1 ≤ y ≤ bและ1 ≤ x ≤ n / yและบริเวณที่สามถูกล้อมรอบด้วย1 ≤ x ≤ aและ1 ≤ y ≤ bในแผนภาพ บริเวณแรกคือการรวมกันของบริเวณสีน้ำเงินและสีแดง บริเวณที่สองคือการรวมกันของบริเวณสีแดงและสีเขียว และบริเวณที่สามคือบริเวณสีแดง โปรดสังเกตว่าบริเวณที่สามนี้คือจุดตัดของสองบริเวณแรก ตามหลักการของการรวมและการแยกออกผลรวมทั้งหมดจึงเป็นผลรวมของบริเวณแรก บวกกับผลรวมของบริเวณที่สอง ลบด้วยผลรวมของบริเวณที่สาม ซึ่งจะได้สูตร^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n)&=\sum _{k=1}^{n}f(k)\\&=\sum _{k=1}^{n}\sum _{xy=k}^{}g(x)h(y)\\&=\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{n/x}g(x)h(y)+\sum _{y=1}^{b}\sum _{x=1}^{n/y}g(x)h(y)-\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{b}g(x)h(y){\text{.}}\end{aligned}}}$

1

ให้σ ( n )เป็นฟังก์ชันนับตัวหารและให้D ( n )เป็นฟังก์ชันหาผลรวมของฟังก์ชันนั้น :

${\displaystyle D(n)=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{0}(k).}$

การคำนวณD ( n )อย่างง่ายๆ จำเป็นต้องแยกตัวประกอบจำนวนเต็มทุกตัวในช่วง[1, n ] ; สามารถปรับปรุงได้โดยใช้ตะแกรงของ Eratosthenes ที่ดัดแปลงแล้ว แต่ยังคงต้องใช้เวลาÕ ( n ) เนื่องจากσ0ยอมรับการสังเคราะห์ Dirichlet σ0 = 1 ∗ 1การเลือกa = b = √nใน ( 1 )สูตร

${\displaystyle D(n)=\sum _{x=1}^{\sqrt {n}}\sum _{y=1}^{n/x}1\cdot 1+\sum _{y=1}^{\sqrt {n}}\sum _{x=1}^{n/y}1\cdot 1-\sum _{x=1}^{\sqrt {n}}\sum _{y=1}^{\sqrt {n}}1\cdot 1,}$

ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle D(n)=2\cdot \sum _{x=1}^{\sqrt {n}}\left\lfloor {\frac {n}{x}}\right\rfloor -\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor ^{2},}$

ซึ่งสามารถประเมินได้ด้วยการดำเนินการ O ( √n ) ครั้ง

วิธีการนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ทางทฤษฎีด้วย เช่นPeter Gustav Lejeune Dirichletได้นำเทคนิคนี้มาใช้ในปี พ.ศ. 2392 เพื่อให้ได้ค่าประมาณ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle D(n)=n\log n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

โดยที่γคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี

• สูตรของเพอร์รอน  – สูตรสำหรับการหาผลรวมของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

• การอภิปรายเกี่ยวกับวิธีไฮเปอร์โบลาของ Dirichlet สำหรับวัตถุประสงค์ในการคำนวณ