สำหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ ความถี่เชิงมุมจะเป็นสัดส่วนกับเลขคลื่น: $${\displaystyle \omega =ck.}$$

นี่คือ ความสัมพันธ์การกระจาย เชิงเส้นซึ่งในกรณีนี้คลื่นจะเรียกว่าไม่กระจายตัว [ ^{1 ] นั่น}คือ ความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่มเท่ากัน: $${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$$ ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากับความเร็วแสงในสุญญากาศ ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับความถี่

สำหรับคลื่นสสารของเดอ บรอยล์ความสัมพันธ์การกระจายความถี่จะไม่เป็นเชิงเส้น: $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ สมการดังกล่าวระบุถึงความถี่ของคลื่นสสาร${\displaystyle \omega }$ในสุญญากาศจะแปรผันตามเลขคลื่น (${\displaystyle k=2\pi /\แลมบ์ดา }$) ในการประมาณแบบไม่สัมพัทธภาพ การเปลี่ยนแปลงมีสองส่วน: ส่วนคงที่เนื่องจากความถี่เดอ บรอยล์ของมวลนิ่ง (${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$) และส่วนที่เป็นกำลังสองเนื่องจากพลังงานจลน์

ชื่อ "ความสัมพันธ์การกระจายตัว" มาจากวิชาทัศนศาสตร์เป็นไปได้ที่จะทำให้ความเร็วแสงที่มีประสิทธิภาพขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นโดยการให้แสงผ่านวัสดุที่มีดัชนี หักเหไม่คงที่ หรือโดยการใช้แสงในตัวกลางที่ไม่สม่ำเสมอ เช่น ท่อนำคลื่นในกรณีนี้ รูปคลื่นจะกระจายออกไปตามเวลา ทำให้พัลส์แคบๆ กลายเป็นพัลส์ที่ยาวขึ้น กล่าวคือ เกิดการกระจายตัว ในวัสดุเหล่านี้${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$เรียกว่าความเร็วกลุ่ม^{[ 2 ]}และสอดคล้องกับความเร็วที่ยอดของพัลส์แพร่กระจาย ซึ่งเป็นค่าที่แตกต่างจากความเร็วเฟส^{[ 3 ]}

ความสัมพันธ์การกระจายตัวของคลื่นน้ำ ลึก มักเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$$

โดยที่gคือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง น้ำลึกในแง่นี้โดยทั่วไปหมายถึงกรณีที่ความลึกของน้ำมากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่น^{[ 4 ]}ในกรณีนี้ความเร็วเฟสคือ

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$$

และความเร็วกลุ่มคือ

$${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$$

สำหรับสายในอุดมคติ ความสัมพันธ์การกระจายตัวสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$$

โดยที่Tคือแรงตึงในสาย และμคือมวลของสายต่อหน่วยความยาว เช่นเดียวกับกรณีของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ สายในอุดมคติจึงเป็นตัวกลางที่ไม่กระจายตัว กล่าวคือ ความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่มเท่ากันและไม่ขึ้นอยู่กับความถี่การสั่น (ในลำดับแรก)

สำหรับสายที่ไม่เป็นอุดมคติ โดยคำนึงถึงความแข็งของสาย ความสัมพันธ์การกระจายตัวจะเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$$

ที่ไหน${\displaystyle \alpha }$เป็นค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับสตริง

ในการศึกษาของแข็ง การศึกษาความสัมพันธ์การกระจายตัวของอิเล็กตรอนมีความสำคัญอย่างยิ่ง ความเป็นคาบของผลึกหมายความว่าระดับพลังงาน หลายระดับ เป็นไปได้สำหรับโมเมนตัมที่กำหนด และพลังงานบางระดับอาจไม่มีให้ใช้งานได้ที่โมเมนตัมใดๆ เลย การรวมกันของพลังงานและโมเมนตัมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่าโครงสร้างแถบพลังงาน ของวัสดุ คุณสมบัติของโครงสร้างแถบ พลังงานจะกำหนดว่าวัสดุนั้นเป็นฉนวน สารกึ่งตัวนำหรือตัวนำ

โฟนอนเปรียบเสมือนควอนตัมที่นำพาคลื่นเสียงในของแข็ง เช่นเดียวกับที่โฟตอนเปรียบเสมือนควอนตัมที่นำพาคลื่นเสียงนั้น ความสัมพันธ์การกระจายตัวของโฟนอนก็มีความสำคัญและซับซ้อนเช่นกัน โดยมีความสัมพันธ์โดยตรงกับคุณสมบัติทางเสียงและความร้อนของวัสดุ สำหรับระบบส่วนใหญ่ โฟนอนสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทหลัก ได้แก่ โฟนอนที่มีแถบพลังงานเป็นศูนย์ที่จุดศูนย์กลางของโซนบริลลูอินเรียกว่าโฟนอนอะคูสติกเนื่องจากสอดคล้องกับเสียงคลาสสิกในขอบเขตของความยาวคลื่นยาว ส่วนอีกประเภทหนึ่งเรียกว่าโฟนอนออปติคอลเนื่องจากสามารถถูกกระตุ้นได้ด้วยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า

ด้วยอิเล็กตรอนพลังงานสูง (เช่น200 keV, 32 fJ ) ในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบส่งผ่าน การพึ่งพาพลังงานของ เส้น โซน Laue ลำดับ สูง (HOLZ) ใน รูปแบบ การเลี้ยวเบนอิเล็กตรอน แบบลำแสงรวม (CBED) ทำให้สามารถ สร้างภาพตัดขวางของ พื้นผิวการกระจายสามมิติของผลึกได้โดยตรง^{[ 5 ]}ผลกระทบแบบไดนามิกนี้ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการวัดพารามิเตอร์ของแลตติส พลังงานของลำแสง และล่าสุดสำหรับอุตสาหกรรมอิเล็กทรอนิกส์: ความเครียดของแลตติส