ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงสลับที่โครงสร้างกำลังแบ่งแยกเป็นวิธีหนึ่งในการแนะนำรายการที่มีคุณสมบัติคล้ายกันในรูปนิพจน์ในรูปแบบ${\displaystyle x^{n}/n!}$มีอยู่เช่นกันในกรณีที่ไม่สามารถหารด้วยได้จริง${\displaystyle n!}$.

ให้Aเป็นริงสลับที่ที่มีไอเดียลIโครงสร้างกำลังแบ่ง (หรือโครงสร้าง PDตามภาษาฝรั่งเศสpuissances divisées ) บนIคือชุดของแผนที่${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$สำหรับn = 0, 1, 2, ... โดยที่:

1. ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$และ${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$สำหรับ${\displaystyle x\in I}$, ในขณะที่${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$สำหรับn > 0
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{ni}(x)\gamma _{i}(y)}$สำหรับ${\displaystyle x,y\in I}$.
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$สำหรับ${\displaystyle \lambda \in A,x\in I}$.
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$สำหรับ${\displaystyle x\in I}$, ที่ไหน${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$เป็นจำนวนเต็ม​
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$สำหรับ${\displaystyle x\in I}$และ${\displaystyle m>0}$, ที่ไหน${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$เป็นจำนวนเต็ม

เพื่อความสะดวกในการบันทึก${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$มักเขียนว่า${\displaystyle x^{[n]}}$เมื่อชัดเจนแล้วว่าโครงสร้างอำนาจที่แบ่งแยกนั้นหมายถึงอะไร

คำว่าอุดมคติกำลังแบ่งแยกหมายถึง อุดมคติที่มีโครงสร้างกำลังแบ่งแยกที่กำหนดไว้ และคำว่า วงแหวนกำลังแบ่งแยกหมายถึง วงแหวนที่มีอุดมคติที่มีโครงสร้างกำลังแบ่งแยกที่กำหนดไว้

โฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตกำลังแบ่ง คือ โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่เคารพโครงสร้างกำลังแบ่งบนแหล่งที่มาและเป้าหมาย

• พีชคณิตกำลังหารอิสระเหนือ${\displaystyle \mathbb {Z} }$บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเครื่องหนึ่ง:

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle$ :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].}

• ถ้าAเป็นพีชคณิตเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ดังนั้นอุดมคติทุกอย่างจึงมีโครงสร้างอำนาจที่แบ่งแยกอย่างเป็นเอกลักษณ์${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.}$^{[ 1 ]}อันที่จริง นี่คือตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดคำจำกัดความตั้งแต่แรก
• ถ้าMเป็น โมดูล Aให้กำหนด${\displaystyle S^{\bullet }M}$ให้ แทนพีชคณิตสมมาตรของMเหนือAแล้ว แทนพีชคณิตคู่ของมัน${\displaystyle (S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)}$มีโครงสร้างแบบแคนอนิกของวงแหวนกำลังแบ่งแยก ในความเป็นจริง มันมีโครงสร้างสมมาตรแบบแคนอนิกกับความสมบูรณ์ ตามธรรมชาติ ของ${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$(ดูด้านล่าง) ถ้าMมีอันดับจำกัด

ถ้าAเป็นวงแหวนใดๆ ก็จะมีวงแหวนกำลังแบ่งแยกอยู่

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

ประกอบด้วยพหุนามกำลังหารในตัวแปร

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$

นั่นคือผลรวมของเอกนามกำลังหารในรูปแบบ

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

กับ${\displaystyle c\in A}$ในที่นี้ อุดมคติกำลังหาร คือเซตของพหุนามกำลังหารที่มีสัมประสิทธิ์คงที่เท่ากับ 0

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าMเป็นA-โมดูล จะมีA- พีชคณิต สากล ที่เรียกว่า

${\displaystyle \Gamma _{A}(M),}$

ด้วย PD ที่เหมาะสม

${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$

และแผนที่เชิงเส้นA

${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M).}$

(กรณีของพหุนามกำลังหาร คือกรณีพิเศษที่Mเป็นโมดูลอิสระเหนือAที่มีอันดับจำกัด)

ถ้าIเป็นไอเดียลใดๆ ของริงAจะมี การ สร้างแบบสากลที่ขยายAด้วยกำลังหารขององค์ประกอบของIเพื่อให้ได้ซองกำลังหารของIในA

ซองพลังงานที่แบ่งแยกเป็นเครื่องมือพื้นฐานในทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ PDและโคฮอโมโลยีแบบผลึกซึ่งใช้เพื่อเอาชนะความยากลำบากทางเทคนิคที่เกิดขึ้นในลักษณะ เฉพาะที่เป็น บวก

ฟังก์ชันกำลังแบ่งใช้ในการสร้างฟังก์ชันโค-ชูร์

• โคฮอโมโลยีผลึก