ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (combinatorial mathematics ) เรขาคณิตของดาวลิง (Dowling geometry ) ซึ่งตั้งชื่อตามโทมัส เอ. ดาวลิง (Thomas A. Dowling) คือเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มมีเรขาคณิตของดาวลิงสำหรับแต่ละอันดับ (rank) ของแต่ละกลุ่ม ถ้าอันดับอย่างน้อย 3 เรขาคณิตของดาวลิงจะกำหนดกลุ่มได้อย่างเฉพาะเจาะจง เรขาคณิตของดาวลิงมีบทบาทในทฤษฎีเมทริกซ์ในฐานะวัตถุสากล (Kahn and Kung, 1982) ในแง่นั้น เรขาคณิตของดาวลิงจึงคล้ายคลึงกับเรขาคณิตเชิงฉาย (projective geometry ) แต่ใช้กลุ่มเป็นพื้นฐานแทนที่จะเป็น ฟิลด์

แลตติซของดาวลิง (Dowling lattice ) คือแลตติซเชิงเรขาคณิตของระนาบที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของดาวลิง (Dowling geometry) แลตติซและเรขาคณิตนั้นเทียบเท่ากันทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ การรู้แลตติซใดแลตติซหนึ่งจะทำให้ทราบอีกแลตติซหนึ่งได้ แลตติซของดาวลิง และโดยนัยเดียวกัน เรขาคณิตของดาวลิง ถูกนำเสนอโดยดาวลิง (Dowling, 1973a,b)

แลตติซดาวลิงหรือเรขาคณิตอันดับnของกลุ่มGมักจะแสดงด้วยQ _n ( G )

ในบทความฉบับแรกของเขา (1973a) ดาวลิงได้นิยามแลตทิซดาวลิงอันดับnของกลุ่มการคูณของฟิลด์จำกัดFซึ่งก็คือเซตของปริภูมิย่อยทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์F ⁿที่สร้างขึ้นโดยเซตย่อยของเซตEซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ที่มีพิกัดไม่เป็นศูนย์ไม่เกินสองพิกัด เรขาคณิตดาวลิงที่สอดคล้องกันคือเซตของปริภูมิย่อยเวกเตอร์ 1 มิติที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของ E

ในบทความฉบับที่สองของเขา (1973b) ดาวลิงได้ให้คำจำกัดความที่แท้จริงของแลตทิซดาวลิง อันดับ n ของกลุ่มจำกัดใดๆ Gให้Sเป็นเซต {1,..., n } เซต ที่มีป้ายกำกับG ( T , α ) คือเซตTพร้อมกับฟังก์ชันα : T → Gเซตที่มีป้ายกำกับGสอง เซต ( T , α ) และ ( T , β ) จะสมมูลกันหากมีสมาชิกกลุ่มgที่ทำให้β = gαชั้นสมมูล จะ _ถูกแทนด้วย [ T , α ] การแบ่งส่วนGบางส่วนของSคือเซตγ = {[ B1 , _α1 ], ..., [ Bk , αk _{] }}ของชั้นสมมูลของ เซตที่มีป้ายกำกับ Gโดยที่B1 , _... , Bk เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของS _และไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ ( kอาจเท่ากับ 0) การแบ่ง ส่วนย่อย G γกล่าวได้ว่า ≤ การแบ่งส่วนย่อยอื่นγ * ถ้า

• บล็อกทุกบล็อกของชุดที่สองเป็นผลรวมของบล็อกของชุดแรก และ
• สำหรับแต่ละB _iที่อยู่ในB * _jนั้นα _iจะเทียบเท่ากับการจำกัดของα * _jให้อยู่ในโดเมนB _i

สิ่งนี้ทำให้เกิดลำดับบางส่วนของเซตของ พาร์ทิชัน G บางส่วน ของS ทั้งหมด เซตที่มีลำดับบางส่วนที่ได้คือแลตทิซดาวลิงQ _n ( G )

นิยามเหล่านี้ยังคงใช้ได้แม้ว่าFหรือGจะเป็นอนันต์ก็ตาม แม้ว่าดอว์ลิงจะกล่าวถึงเฉพาะฟิลด์และกลุ่มจำกัดเท่านั้น

ต่อมา Doubilet, RotaและStanley (1972) ได้ให้คำจำกัดความเชิงกราฟไว้เราขอเสนอคำจำกัดความเชิงกราฟที่เรียบง่ายกว่าเล็กน้อย (แต่โดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน) ของ Zaslavsky (1991) ซึ่งแสดงออกมาในรูปของกราฟ กำไร

กำหนดให้มี จุดยอด nจุด และระหว่างจุดยอดแต่ละคู่vและwให้มีชุดของเส้นขอบขนาน | G | เส้น โดย แต่ละเส้นกำกับด้วยสมาชิกของกลุ่มGป้ายกำกับเหล่านี้มีทิศทาง กล่าวคือ ถ้าป้ายกำกับในทิศทางจากvไปwคือสมาชิกg ของกลุ่ม ป้ายกำกับของเส้นขอบเดียวกันในทิศทางตรงกันข้าม จากwไปvจะเป็นg ⁻¹ดังนั้นป้ายกำกับของเส้นขอบจึงขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นขอบ ป้ายกำกับเหล่านี้เรียกว่าค่าเกน (gain ) นอกจากนี้ ให้เพิ่มวงวน (loop) ที่แต่ละจุดยอด โดยมีค่าเกนเป็นค่าใดๆ ก็ได้ที่ไม่ใช่ 1 (1 คือสมาชิกเอกลักษณ์ของ กลุ่ม ) จะได้กราฟที่เรียกว่าGK _n ^o (สังเกตวงกลมที่ยกขึ้น) ซึ่งเรียกว่า การ ขยายแบบ เต็ม (full -expansion) ของ (สำหรับ กลุ่มที่ไม่สำคัญ (trivial group ) จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันเล็กน้อยเส้นขอบที่เพิ่มเข้ามาต้องเป็นเส้นขอบครึ่ง (half edge ) ${\displaystyle G}$${\displaystyle K_{n}}$

วงจร ในกราฟจะมีค่าเกน วงจรคือลำดับของขอบe ₁ e ₂ ··· e _kสมมติว่าค่าเกนของขอบเหล่านี้ในทิศทางคงที่รอบวงจรคือg ₁ , g ₂ , ..., g _kดังนั้นค่าเกนของวงจรคือผลคูณg ₁ g ₂ ··· g _kค่าของค่าเกนนี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนนัก เนื่องจากขึ้นอยู่กับทิศทางที่เลือกสำหรับวงจรและขอบใดเรียกว่า "ขอบแรก" ของวงจร สิ่งที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเหล่านี้คือคำตอบของคำถามต่อไปนี้: ค่าเกนเท่ากับ 1 หรือไม่? ถ้าเท่ากับ 1 ภายใต้ชุดการเลือกชุดหนึ่ง ค่าเกนก็จะเท่ากับ 1 ภายใต้ชุดการเลือกทั้งหมดด้วย

ในการกำหนดเรขาคณิตของดาวลิง เราจะระบุวงจร (เซตที่ขึ้นอยู่กันขั้นต่ำ) วงจรของแมทรอยด์คือ

• รอบที่มีกำไรเท่ากับ 1
• คู่ของวัฏจักรที่มีกำไรทั้งสองไม่เท่ากับ 1 และตัดกันที่จุดยอดเดียวเท่านั้น และไม่มีจุดอื่นใดอีก และ
• กราฟธีตาซึ่งไม่มีวัฏจักรใดในสามวัฏจักรที่มีค่ากำไรเท่ากับ 1

ดังนั้น เรขาคณิตของดาวลิงQ _n ( G ) จึงเป็นเมทริกซ์เฟรม (หรือเมทริกซ์ไบแอส) ของกราฟอัตราขยายGK _n ^o (วงกลมที่ยกขึ้นแสดงถึงการมีอยู่ของลูป) คำจำกัดความอื่นๆ ที่เทียบเท่ากันนั้นมีอธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับกราฟอัตราขยาย

เหตุผลหนึ่งที่ทำให้เกิดความสนใจในแลตติซดาวลิงก็คือพหุนามลักษณะเฉพาะนั้นเรียบง่ายมาก ถ้าLคือแลตติซดาวลิงอันดับnของกลุ่มจำกัดGที่มี สมาชิก mตัว แล้ว

${\displaystyle p_{L}(y)=(y-1)(ym-1)\cdots (y-[n-1]m-1),}$

สูตรที่เรียบง่ายเป็นพิเศษสำหรับโครงตาข่ายเรขาคณิตใดๆ

นอกจากนี้ยังมีเรขาคณิตของดาวลิงที่มีอันดับ 3 เท่านั้น ซึ่งเกี่ยวข้องกับควาซิกรุป แต่ละตัว ดู Dowling (1973b) เรขาคณิตนี้ไม่สามารถขยายไปสู่อันดับที่สูงกว่าได้โดยตรง มีการขยายความทั่วไปเพิ่มเติมจาก Zaslavsky (2012) ซึ่งเกี่ยวข้องกับควาซิกรุป n -ary

การสรุปทั่วไปที่แตกต่างออกไปซึ่งได้มาจาก Zaslavsky (1991) ได้มาจากการขยายแบบเต็มของกราฟใดๆกราฟกำไรนี้มีแลตทิซที่ได้มาจากแลตทิซของ Dowling โดยการยกเว้นพาร์ติชันย่อยทั้งหมดที่ทำให้กราฟย่อยที่เหนี่ยวนำบนB _i บางจุด ไม่เชื่อมต่อกัน พหุนามลักษณะเฉพาะของแมทรอยด์นี้ได้มาจากพหุนามสีของโดยการแทนที่และทำให้เป็นมาตรฐานด้วยพหุนามเอกลักษณ์ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \chi _{\Gamma }(t)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t=(y-1)/|G|}$