แนวคิดเรื่องระยะเวลาได้รับการกำหนดโดยFrederick Macaulayใน การศึกษา ของ National Bureau of Economic Researchในปี 1938 เขาได้กำหนดค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามเวลาของมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดและใช้เพื่อสรุปจังหวะเวลาและความไวต่ออัตราของพันธบัตร^{[ 1 ]}ในงานด้านคณิตศาสตร์ประกันภัย Frank Redington ได้เชื่อมโยงระยะเวลากับการสร้างภูมิคุ้มกันและเพิ่มความนูนเพื่อปรับปรุงการป้องกันการเปลี่ยนแปลงที่มากขึ้นในผลตอบแทน^{[ 2 ]}

ด้วยโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยระยะยาว การคิดลดการชำระเงินแต่ละครั้งตามอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นของตนเองจะช่วยรักษาน้ำหนักมูลค่าปัจจุบันและให้การป้องกันความเสี่ยงลำดับแรกสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของเส้นโค้งศูนย์ นี่คือสูตร ของ Fisher–Weil ^{[ 3 ]}เพื่อจัดการกับการเคลื่อนไหวที่ไม่ขนานกัน ผู้ปฏิบัติงานจะรายงานความไวเฉพาะที่ ณ วันครบกำหนดที่เลือกโดยใช้ระยะเวลาอัตราดอกเบี้ยหลักคุณสมบัติของออปชั่นนำไปสู่ระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพหรือระยะเวลาที่ปรับตามออปชั่น ซึ่งประมาณการโดยการเปลี่ยนแปลงเส้นโค้งเล็กน้อยในแบบจำลองการกำหนดราคาในขณะที่ส่วนต่างที่ปรับตามออปชั่นยังคงที่ การใช้งานเหล่านี้เป็นมาตรฐานในวิธีการดัชนีและการรายงาน^{[ 4 ] [ 5 ]}

ในตำราสมัยใหม่ คำว่า “ระยะเวลา” อาจมีความหมายแตกต่างกันแต่เกี่ยวข้องกัน ระยะเวลาของแมคออลีย์ (Macaulay duration)คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามมูลค่าปัจจุบันของระยะเวลาจนกว่าจะได้รับผลตอบแทนระยะเวลาที่ปรับปรุงแล้ว (Modified duration)คือการเปลี่ยนแปลงราคาเป็นเปอร์เซ็นต์อันดับแรกสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในผลตอบแทนที่ระบุไว้และการคิดดอกเบี้ยทบต้น ระยะเวลาของเงินหรือดอลลาร์ (Money or dollar duration) คือ...${\displaystyle P\times D_{\text{mod}}}$DV01 , PV01และPVBP แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงราคาต่อจุดพื้นฐาน ในตลาดพันธบัตรรัฐบาลสหราชอาณาจักร ระยะ เวลาที่ปรับปรุงแล้วมักเรียกว่า "ความผันผวน" ในคู่มือดัชนีและเอกสารข้อเท็จจริง^{[ 6 ] [ 5 ] [ 7 ]}

ลองนึกภาพแผ่นไม้แนวยาวที่วางอยู่บนเส้นเวลาที่เริ่มต้นในวันนี้ กระแสเงินสดในอนาคตแต่ละรายการเปรียบเสมือนน้ำหนักเล็กๆ ที่วางอยู่บนแผ่นไม้ ณ เวลาที่เกิดกระแสเงินสดนั้น น้ำหนักที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับกระแสเงินสดที่มีมูลค่าปัจจุบัน มากขึ้น หากคุณเลื่อนตัวรองรับเพียงตัวเดียวใต้แผ่นไม้จนถึงจุดที่ระบบสมดุล จุดสมดุลนั้นคือจุดศูนย์กลางเวลาของน้ำหนักทั้งหมด

หากน้ำหนักส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ไกลออกไปตามแนวยาวของพันธบัตร จุดสมดุลจะอยู่ห่างจากปัจจุบันมากขึ้น และพันธบัตรนั้นจะอ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงของผลตอบแทนมากขึ้น ในทางกลับกัน หากน้ำหนักกระจุกตัวอยู่ใกล้จุดเริ่มต้นผ่านอัตราดอกเบี้ยสูงหรืออายุพันธบัตรสั้น จุดสมดุลจะเคลื่อนเข้ามาด้านใน และความอ่อนไหวจะลดลง จุดศูนย์กลางเวลาดังกล่าวสอดคล้องกับระยะเวลาของแมคออลีย์ (Macaulay duration)

ทีนี้ลองเอียงพื้นเพียงเล็กน้อย แผ่นไม้จะตกลงมาเล็กน้อย และสำหรับการเอียงเพียงเล็กน้อยเช่นนี้ การลดลงในแนวดิ่ง ณ จุดสมดุลจะแปรผันตรงกับการเอียงเกือบทั้งหมด การตอบสนองแบบแปรผันตรงนี้สะท้อนถึงระยะเวลาที่ปรับเปลี่ยน ซึ่งให้การเปลี่ยนแปลงอันดับแรกในราคาสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในผลตอบแทน

เมื่อเอียงมากขึ้น การเคลื่อนที่จะไม่เป็นสัดส่วนกันอีกต่อไป เนื่องจากแผ่นไม้จะโค้งไปตามเส้นโค้ง ความโค้งที่เพิ่มขึ้นในการตอบสนองอธิบายถึงความนูนและแสดงให้เห็นว่าเหตุใดพจน์อันดับสองจึงมีความสำคัญต่อการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทนที่มากขึ้น หรือสำหรับรูปแบบกระแสเงินสดที่ทำให้เส้นโค้งเด่นชัดยิ่งขึ้น

หากพื้นดินไม่ได้เอียงอย่างสม่ำเสมอ แต่มีการยกตัวหรือลดระดับลงในช่วงปีใดปีหนึ่ง ส่วนต่างๆ ของแผ่นไม้ก็จะเคลื่อนที่ในปริมาณที่แตกต่างกัน ภาพดังกล่าวสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงในโครงสร้างระยะเวลา และเป็นแรงผลักดันให้เกิดมาตรการต่างๆ เช่น ระยะเวลาของ Fisher–Weil และระยะเวลาอัตราดอกเบี้ยหลัก ซึ่งความไวต่อการเปลี่ยนแปลงนั้นขึ้นอยู่กับว่าระยะเวลาครบกำหนดใดมีการเปลี่ยนแปลง

• พันธบัตรไร้ดอกเบี้ย

สมมติว่าครบกำหนดแล้ว${\displaystyle T=3}$ปีและผลผลิต${\displaystyle y=5\%}$โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปี (${\displaystyle m=1}$). แล้ว $${\displaystyle D_{\text{Mac}}=T=3,\qquad D_{\text{mod}}={\frac {T}{1+y/m}}={\frac {3}{1+0.05}}\approx 2.857\,.}$$ การเปลี่ยนแปลงอัตราผลตอบแทน 25 จุดพื้นฐาน (${\displaystyle \Delta y=0.0025}$) ให้ $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\approx -\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\approx -\,2.857\times 0.0025\approx -\,0.71\%\,.}$$

• พันธบัตรคูปองคงที่

พิจารณาพันธบัตรอายุสองปีที่มีอัตราดอกเบี้ยและผลตอบแทนรายปี 5%${\displaystyle y=6\%}$(การคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปี) มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด: $${\displaystyle \mathrm {PV} _{1}={\frac {5}{1.06}}\approx 4.717,\qquad \mathrm {PV} _{2}={\frac {105}{1.06^{2}}}\approx 93.450\,.}$$ น้ำหนักตามราคาและกระแสเงินสด: $${\displaystyle P=\mathrm {PV} _{1}+\mathrm {PV} _{2}\approx 98.167,\qquad w_{1}={\frac {\mathrm {PV} _{1}}{P}}\approx 0.048,\quad w_{2}={\frac {\mathrm {PV} _{2}}{P}}\approx 0.952\,.}$$ ระยะเวลาของ Macaulay: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}=1\cdot w_{1}+2\cdot w_{2}\approx 1\cdot 0.048+2\cdot 0.952\approx 1.952\,.}$$ ระยะเวลาที่แก้ไขแล้ว: $${\displaystyle D_{\text{mod}}={\frac {D_{\text{Mac}}}{1+y}}={\frac {1.952}{1.06}}\approx 1.842\,.}$$ อัตราผลตอบแทนเพิ่มขึ้น 50 จุดพื้นฐาน (${\displaystyle \Delta y=0.005}$) หมายความว่า $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\approx -\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\approx -\,1.842\times 0.005\approx -\,0.92\%\,.}$$

เมื่อโครงสร้างระยะเวลาไม่แบนราบ การคิดลดการชำระเงินแต่ละครั้งด้วยอัตราดอกเบี้ยศูนย์คูปองของตัวเองจะรักษาแนวคิดการถ่วงน้ำหนักในสถิติของ Macaulay และนำไปสู่การปรับปรุง Fisher–Weil สำหรับการเลื่อนขนานของเส้นโค้งอัตราดอกเบี้ยศูนย์ การเคลื่อนไหวที่ไม่ขนานกันจะได้รับการวิเคราะห์ด้วยระยะเวลาอัตราดอกเบี้ยหลักในส่วนถัดไป^{[ 4 ]}

หากการกำหนดราคาใช้อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง${\displaystyle r}$, แล้ว $${\displaystyle P(r)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}},\qquad {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;-\,\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}.}$$ ด้วยน้ำหนัก${\displaystyle w_{i}(r)=C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}/P(r)}$, $${\displaystyle D_{mod}(r)=-\,{\frac {1}{P(r)}}\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;\sum _{i}t_{i}\,w_{i}(r)\;=\;D_{\text{Mac}}.}$$ ดังนั้นระยะเวลาที่แก้ไขแล้วและระยะเวลาของ Macaulay จึงตรงกันภายใต้การคำนวณแบบต่อเนื่อง^{[ 8 ]}

เมื่อโครงสร้างระยะเวลาไม่คงที่ ให้คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการด้วยอัตราดอกเบี้ยปลอดดอกเบี้ยของแต่ละรายการ${\displaystyle z(t)}$สำหรับการเลื่อนแบบขนาน${\displaystyle a}$ไปยังเส้นโค้งศูนย์ $${\displaystyle P(a)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\exp \!{\Bigl (}-\!\int _{0}^{t_{i}}[z(u)+a]\,\mathrm {d} u{\Bigr )}\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-at_{i}}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}.}$$ กำหนดค่าส่วนลด ณ จุดขาย${\displaystyle {\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}=C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}}$และน้ำหนัก${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}={\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}/P(0)}$การหาความแตกต่างที่${\displaystyle a=0}$ให้ $${\displaystyle -\,{\frac {1}{P(0)}}\,{\frac {\partial P}{\partial a}}{\Big |}_{a=0}\;=\;{\frac {\sum _{i}t_{i}\,{\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}}{\sum _{i}{\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}}}\;=\;\sum _{i}t_{i}\,{\tilde {w}}_{i}\;=\;D_{\text{FW}},}$$ ระยะเวลา Fisher–Weil ซึ่งรักษาการถ่วงน้ำหนักมูลค่าปัจจุบันด้วยโครงสร้างระยะเวลาเต็มรูปแบบ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\text{Money duration}}\;=\;P\times D_{\text{mod}},\qquad {\text{DV01}}\;=\;{\text{PVBP}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\times 10^{-4}.}$$ เอกลักษณ์เหล่านี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการรายงานพอร์ตโฟลิโอและการกำกับดูแล^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

สำหรับกระแสเงินสดคงที่ที่เป็นบวก:

• ระยะเวลาการลงทุนจะเพิ่มขึ้นตามอายุครบกำหนดไถ่ถอน และจะลดลงเมื่ออัตราผลตอบแทนเพิ่มขึ้น
• อัตราดอกเบี้ยที่สูงขึ้นจะทำให้ระยะเวลาการกู้ยืมสั้นลงเมื่อเทียบกับพันธบัตรที่ไม่มีดอกเบี้ยซึ่งมีอายุครบกำหนดเท่ากัน
• ระยะเวลาของพอร์ตโฟลิโอ คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามมูลค่าปัจจุบันของระยะเวลาของส่วนประกอบต่างๆ:

$${\displaystyle D_{\text{port}}={\dfrac {\sum _{j}P_{j}D_{j}}{\sum _{j}P_{j}}}\,.}$$ สำหรับการเปลี่ยนแปลงผลผลิตเล็กน้อย${\displaystyle \Delta y}$,${\displaystyle \Delta P/P\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y}$[ ^{4 ]​}

ให้กระแสเงินสดเป็นไปตามนั้น${\displaystyle C_{i}}$บางครั้ง${\displaystyle t_{i}}$(ปี),${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$เขียนมูลค่าปัจจุบัน${\displaystyle \mathrm {PV} _{i}}$และราคา${\displaystyle P}$เช่น $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{n}\mathrm {PV} _{i},\qquad \mathrm {PV} _{i}\;=\;C_{i}\,(1+y/m)^{-mt_{i}}.}$$ กำหนดค่าน้ำหนัก${\displaystyle w_{i}=\mathrm {PV} _{i}/P}$ซึ่งรวมกันได้หนึ่ง ระยะเวลาของ Macaulay คือ $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;=\;\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,w_{i}\;=\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,\mathrm {PV} _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\mathrm {PV} _{i}}}.}$$

สำหรับตราสารที่มีกระแสเงินสดและระยะเวลาคงที่และเป็นบวก${\displaystyle t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}}$, $${\displaystyle t_{1}\;\leq \;D_{\text{Mac}}\;\leq \;t_{n},}$$ โดยจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีการชำระเงินเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ดังนั้นพันธบัตรไร้ดอกเบี้ยที่ครบกำหนดไถ่ถอนที่${\displaystyle T}$มี${\displaystyle D_{\text{Mac}}=T}$ในขณะที่พันธบัตรที่มีคูปองคงที่นั้นมี${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$อย่างเคร่งครัดระหว่างวันที่คูปองแรกและวันครบกำหนดสุดท้าย^{[ 4 ​​] [ 6 ]}

ภายใต้อัตราผลตอบแทนที่อ้างอิงจนถึงวันครบกำหนด${\displaystyle y}$ผสม${\displaystyle m}$ครั้งต่อปี $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {D_{\text{Mac}}}{\,1+y/m\,}},}$$ ซึ่งเชื่อมโยงแนวคิดค่าเฉลี่ยตามเวลาเข้ากับความไวต่อราคาอันดับแรกที่ใช้ในการป้องกันความเสี่ยง หากการคิดลดใช้ราคาตลาดปัจจุบัน${\displaystyle z(t)}$ในแต่ละช่วงอายุครบกำหนด รูปแบบค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเดียวกันโดยใช้มูลค่าปัจจุบันที่หักส่วนลดตามราคาตลาดจะให้ค่าระยะเวลาฟิชเชอร์-ไวล์ เมื่อเส้นโค้งแบนราบและข้อกำหนดตรงกัน ค่านี้จะเท่ากับ${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$[ ^{8 ] [ 3 ] [ 4 ]​}

อายุเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจะคำนวณค่าเฉลี่ยของระยะเวลาการชำระเงินโดยใช้เฉพาะเงินต้นเท่านั้นและไม่รวมส่วนลด ระยะเวลาแมคออลีย์จะคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้มูลค่าปัจจุบันและรวมทั้งคูปองและเงินต้น สำหรับโครงสร้างดอกเบี้ยอย่างเดียวหรือแบบจ่ายครั้งเดียวที่มีคูปองจำนวนน้อย ตัวเลขทั้งสองอาจใกล้เคียงกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างกันเนื่องจากระยะเวลาสะท้อนถึงส่วนลดและช่วงเวลาของคูปอง^{[ 6 ] [ 4 ]}

เมื่อแสดงผลผลิตโดยใช้การคำนวณแบบต่อเนื่องตามอัตราที่กำหนด${\displaystyle r}$ระยะเวลาของ Macaulay เท่ากับระยะเวลาที่ปรับเปลี่ยนแล้ว: $${\displaystyle P(r)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}},\qquad -\,{\frac {1}{P(r)}}\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,{\frac {C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}}{P(r)}}\;=\;D_{\text{Mac}}\,,}$$ ดังนั้นภายใต้การผสมอย่างต่อเนื่อง${\displaystyle D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}}$[ ^{8 ]​}

ในตลาดส่วนใหญ่ อัตราผลตอบแทนจะถูกระบุไว้ด้วย${\displaystyle m}$ระยะเวลาการคิดดอกเบี้ยทบต้นต่อปี${\displaystyle y}$ผลตอบแทนที่ระบุไว้จนถึงวันครบกำหนดไถ่ถอน และ${\displaystyle P(y)=\sum _{i}C_{i}(1+y/m)^{-mt_{i}}}$, $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {D_{\text{Mac}}}{\,1+y/m\,}}\,.}$$ สิ่งนี้เชื่อมโยงแนวคิดค่าเฉลี่ยตามเวลาเข้ากับความยืดหยุ่นที่ใช้สำหรับการป้องกันความเสี่ยงและการรายงาน^{[ 4 ] [ 6 ]}

ระยะเวลาแมคออลีย์มีหน่วยเป็นเวลา ส่วนระยะเวลาที่ปรับปรุงแล้วนั้นไม่มีหน่วยและทำหน้าที่เสมือนความยืดหยุ่นแบบกึ่งๆ สำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย${\displaystyle \Delta y}$ในอัตราผลตอบแทนต่อปี (ในรูปทศนิยม) $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\;\approx \;-\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\,.}$$ สำหรับการเปลี่ยนแปลง 100 จุดพื้นฐาน${\displaystyle (\Delta y=0.01)}$เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงราคาโดยประมาณคือ${\displaystyle D_{\text{mod}}\times 1\%}$[ ^{4 ]​}

ระยะเวลาแมคออลีย์ (Macaulay duration) ใช้กับกระแสเงินสดคงที่ สำหรับตราสารที่มีกระแสเงินสดเปลี่ยนแปลงเมื่ออัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนแปลง เช่น หลักทรัพย์ที่เรียกคืนได้หรือหลักทรัพย์ที่ชำระคืนก่อนกำหนด ความไวต่อการเปลี่ยนแปลงจะประเมินโดยใช้ระยะเวลาประสิทธิผล (effective duration) โดยใช้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยขึ้นและลงของเส้นโค้งภายในแบบจำลองการกำหนดราคา ในกรณีเหล่านั้น${\displaystyle D_{\text{mod}}}$ถูกแทนที่ด้วยมาตรการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการรายงานความเสี่ยงและการป้องกันความเสี่ยง^{[ 6 ]}

ระยะเวลาที่ปรับเปลี่ยนจะถูกกำหนดเป็นอนุพันธ์ ดังนั้นความแม่นยำจะลดลงเมื่อการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทนเพิ่มขึ้น สำหรับความผันผวนที่มากขึ้น พจน์อันดับสอง (ความนูน) จะช่วยปรับปรุงการประมาณค่า หรือสามารถกำหนดราคาตราสารใหม่ได้โดยตรงที่ผลตอบแทนหรือเส้นโค้งใหม่ ส่วน “ความนูนและผลกระทบอันดับสอง” จะให้การประมาณค่ากำลังสองมาตรฐานและตัวอย่างการคำนวณ^{[ 4 ] [ 6 ]}

เงื่อนไขความนูนมีขนาดเล็กสำหรับการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทนที่เล็กมาก มันจะมีความสำคัญมากขึ้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงที่ใหญ่ขึ้น สำหรับตราสารที่มีอายุครบกำหนดนานหรือคูปองต่ำ และเมื่อหลักทรัพย์แสดงความนูนเชิงลบเนื่องจากออปชั่นที่ฝังอยู่ ในกรณีเหล่านั้น ระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพและความนูนที่มีประสิทธิภาพจะถูกประมาณโดยความแตกต่างแบบจำกัดจากแบบจำลองการกำหนดราคาออปชั่น^{[ 6 ] [ 4 ] [ 12 ]}

• การเลือกอายุครบกำหนดที่สำคัญและวิธีการแทรกเส้นโค้งส่งผลต่อการประมาณค่า การใช้การแทรกแบบเดียวกันสำหรับการกำหนดราคาและผลกระทบจะช่วยปรับปรุงความสอดคล้องภายใน^{[ 4 ]}
• การเปลี่ยนแปลงควรมีขนาดเล็กเพื่อให้การประมาณค่าอันดับแรกยังคงแม่นยำ การเปลี่ยนแปลงที่ใหญ่กว่านั้นจำเป็นต้องใช้ความนูนหรือการกำหนดราคาใหม่โดยตรง
• รายงานทั้งชุดอัตรา DV01 หลักและ DV01 คู่ขนาน ผลรวมให้การตรวจสอบแบบไขว้ว่าการเปิดรับความเสี่ยงของกลุ่มอัตราหลักรวมกันแล้วเท่ากับความเสี่ยงอัตราโดยรวม^{[ 6 ]}

ในวิธีการมาตรฐานหลายวิธี อัตรา DV01 หลักจะถูกคำนวณภายใต้สเปรดที่ปรับตามตัวเลือกคงที่ ภายใต้ข้อตกลงดังกล่าว ผลรวมของอัตรา DV01 หลักจะเท่ากับระยะเวลาที่ปรับตามตัวเลือกโดยประมาณสำหรับการเคลื่อนไหวแบบขนาน ซึ่งให้การตรวจสอบความถูกต้องในทางปฏิบัติเกี่ยวกับความเสี่ยงที่รายงาน^{[ 13 ]}

มาตรการนี้จะคิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการตามอัตราดอกเบี้ย ณ ปัจจุบัน แทนที่จะใช้อัตราผลตอบแทนเมื่อครบกำหนดไถ่ถอนเพียงอัตราเดียว โดยอัตราดอกเบี้ยจะเป็นศูนย์${\displaystyle z(t)}$และกระแสเงินสด${\displaystyle C_{i}}$บางครั้ง${\displaystyle t_{i}}$, $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u},\qquad D_{\text{FW}}\;=\;{\frac {1}{P}}\,\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}.}$$ สำหรับการเลื่อนขนานเล็กน้อยของเส้นโค้งศูนย์${\displaystyle D_{\text{FW}}}$ให้การตอบสนองราคาลำดับแรก เท่ากับระยะเวลา Macaulay เมื่อเส้นโค้งแบนราบและการทบต้นมีความสม่ำเสมอ^{[ 4 ] [ 3 ]}

ระยะเวลาของเงิน (หรือเรียกว่าระยะเวลาดอลลาร์) แสดงถึงความไวในการเปลี่ยนแปลงของราคาต่อหน่วยผลตอบแทน: $${\displaystyle {\text{Money duration}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\,.}$$ มูลค่าราคาของจุดพื้นฐาน (PVBP) หรือเรียกอีกอย่างว่า DV01 คือการเปลี่ยนแปลงราคาสำหรับการเคลื่อนไหวขนานกันหนึ่งจุดพื้นฐานในอัตราผลตอบแทน: $${\displaystyle {\text{PVBP}}\;=\;{\text{DV01}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\times 10^{-4}\,.}$$ รายงานพอร์ตโฟลิโอและความเสี่ยงมักระบุความเสี่ยงอัตรารวมในแง่ของ DV01 ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 4 ]}

เมื่อกระแสเงินสดขึ้นอยู่กับอัตราดอกเบี้ย ราคาจะถูกนำมาจากแบบจำลองภายใต้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยขึ้นและลงของเส้นโค้ง ระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพจะถูกประมาณโดยความแตกต่างส่วนกลาง: $${\displaystyle D_{\text{eff}}\;\approx \;{\frac {P_{-}-P_{+}}{2\,P_{0}\,\Delta y}},\qquad P_{\pm }\;=\;{\text{model price with the curve shifted by }}\pm \Delta y\,.}$$ ความนูนที่มีประสิทธิภาพจะถูกรายงานควบคู่ไปกับการวัดนี้สำหรับเครื่องมือที่ได้รับผลกระทบจากตัวเลือก^{[ 6 ] [ 4 ]}

สำหรับตราสารเครดิต ความไวต่อการเปลี่ยนแปลงมักวัดจากการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นพร้อมกันในส่วนต่างอัตราดอกเบี้ยเครดิต${\displaystyle s}$เหนือเส้นโค้งอ้างอิง โดยคงเส้นโค้งพื้นฐานให้คงที่: $${\displaystyle D_{\text{spread}}\;=\;-\,{\frac {1}{P}}\,{\frac {\partial P}{\partial s}},\qquad {\text{SPV01}}\;=\;P\times D_{\text{spread}}\times 10^{-4}\,.}$$ เมื่อการประเมินมูลค่าใช้สเปรดที่ปรับตามตัวเลือก (OAS) ตัวเลขที่รายงานคือระยะเวลา OAS ซึ่งประมาณการโดยการเปลี่ยนแปลงราคาเล็กน้อยของ OAS ภายในแบบจำลองการกำหนดราคา^{[ 14 ] [ 10 ] [ 6 ]}

อัตราส่วนเชอร์แมนเป็นฮิวริสติกสำหรับผู้ปฏิบัติงานที่เชื่อมโยงรายได้จากพันธบัตรหรือดัชนีกับความไวต่ออัตราดอกเบี้ย โดยเป็นผลตอบแทนรายปีต่อหน่วยระยะเวลา ซึ่งมักตีความว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของผลตอบแทนแบบขนานในช่วงหนึ่งปีที่จะชดเชยผลตอบแทนจากรายได้^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} ให้${\displaystyle y}$ให้ผลตอบแทนต่อปี (ในรูปทศนิยม) และ${\displaystyle D}$การวัดระยะเวลา เช่น ระยะเวลาที่ปรับปรุงแล้ว หรือระยะเวลาที่ปรับตามตัวเลือก รูปแบบทั่วไปคือ $${\displaystyle {\text{Sherman ratio}}\;=\;{\frac {y}{D}}\,.}$$ โดยใช้สูตรเงินทอนน้อย${\displaystyle \Delta P/P\approx -D\,\Delta y}$อัตราผลตอบแทนคู่ขนานที่จุดคุ้มทุนในหนึ่งปีซึ่งจะทำให้รายได้หายไปนั้นอยู่ที่ประมาณ${\displaystyle \Delta y\approx y/D}$ตัวอย่างเช่น ดัชนีที่มีผลตอบแทน${\displaystyle 2\%}$และระยะเวลา${\displaystyle 10}$มีอัตราส่วนของ${\displaystyle 0.20}$ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มขึ้นประมาณ 20 จุดพื้นฐานในหนึ่งปีจะชดเชยรายได้^{[ 18 ] [ 19 ]} อัตราส่วนขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของผลตอบแทน (เช่น ผลตอบแทนที่แย่ที่สุดหรือผลตอบแทนที่ปรับตามตัวเลือก) ขึ้นอยู่กับระยะเวลาที่เลือก และไม่คำนึงถึงความนูน การลดลง และการเปลี่ยนแปลงของสเปรด ดังนั้นจึงเป็นเพียงแนวทางคร่าวๆ มากกว่าจะเป็นมาตรวัดความเสี่ยง อย่างเป็นทางการ ^{[ 17 ]}

ในทางปฏิบัติ ผลตอบแทนจากตราสารหนี้ในช่วงเวลาหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับความไวต่อราคาเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับรายได้และรูปร่างของโครงสร้างระยะเวลาด้วย “Carry” คือรายได้ที่ตราสารได้รับหากเส้นโค้งไม่เปลี่ยนแปลง และ “roll-down” คือผลกระทบด้านราคาจากการที่พันธบัตรหรือสวอปเปลี่ยนไปสู่ระยะเวลาครบกำหนดที่สั้นกว่าบนเส้นโค้งที่ไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 20 ] [ 21 ]} ให้${\displaystyle y}$แสดงถึงผลตอบแทนประจำปีในปัจจุบันและ${\displaystyle D}$และ${\displaystyle C}$ระยะเวลาและค่าความนูนที่ปรับเปลี่ยนแล้ว ในช่วงเวลาสั้นๆ${\displaystyle h}$หลายปีที่ผ่านมา การประมาณผลตอบแทนตามช่วงเวลาอย่างง่ายคือ $${\displaystyle {\text{Total return}}\;\approx \;y\,h\;+\;{\text{roll-down}}\;-\;D\,\Delta y\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,C\,(\Delta y)^{2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \Delta y}$คือการเปลี่ยนแปลงแบบขนานในผลตอบแทนที่เกี่ยวข้องตลอดช่วงเวลา เงื่อนไขการลดลงขึ้นอยู่กับความชันเฉพาะที่ของเส้นโค้งและจะหายไปเมื่อเส้นโค้งแบนราบ^{[ 20 ]}

สำหรับตราสารเครดิต ผู้จัดการมักจะวัดความเสี่ยงของสเปรดด้วยระยะเวลาคูณสเปรด (DTS) ซึ่งกำหนดเป็นระยะเวลาสเปรดที่มีประสิทธิภาพคูณด้วยสเปรดที่ปรับตามออปชั่น DTS ปรับขนาดการเปิดรับสเปรดตามระดับสเปรดปัจจุบันและสะท้อนให้เห็นได้ดีกว่าว่าสเปรดมักจะเคลื่อนไหวตามสัดส่วนมากกว่าขนานกัน^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}$${\displaystyle {\text{DTS}}\;=\;D_{\text{spread}}\times {\text{spread}}\,.}$$ DTS ใช้ในการสร้างดัชนี ขีดจำกัดพอร์ตโฟลิโอ และรายงานความเสี่ยงควบคู่ไปกับระยะเวลาการกระจายและ DV01 สำหรับอัตรา^{[ 25 ]}

หลักการประเมินเครดิตอีกประการหนึ่งคล้ายคลึงกับอัตราส่วนเชอร์แมน โดยเปรียบเทียบส่วนต่างราคากับระยะเวลา “ส่วนต่างราคาต่อรอบระยะเวลา” (บางครั้งเรียกว่าจุดคุ้มทุนของส่วนต่างราคา) คือ $${\displaystyle {\frac {\text{spread}}{D_{\text{eff}}}}\,,}$$ ตีความได้ว่าเป็นการขยายขอบเขตแบบขนานที่จะชดเชยรายได้ส่วนต่างหนึ่งปีบนเส้นโค้งคงที่^{[ 26 ] [ 27 ]} นี่เป็นเลนส์การประเมินมูลค่าอย่างรวดเร็วสำหรับการเปรียบเทียบภาคส่วนหรือกลุ่มการจัดอันดับ แต่ละเลยการย้ายถิ่นฐาน การผิดนัดชำระหนี้ ความนูน และผลกระทบของรูปร่างเส้นโค้ง ดังนั้นจึงควรอ่านเป็นแนวทางคร่าวๆ มากกว่าแบบจำลองความเสี่ยง^{[ 27 ]}

ผู้จัดการกำหนดเป้าหมาย DV01 สำหรับพอร์ตโฟลิโอและปรับด้วยเครื่องมือสภาพคล่อง เช่นพันธบัตรรัฐบาลฟิวเจอร์สหรือสวอปอัตราดอกเบี้ยจากนั้นจึงกำหนดรูปแบบการเปิดรับความเสี่ยงตามอายุครบกำหนดด้วย DV01 อัตราดอกเบี้ยหลัก เพื่อไม่ให้ความเสี่ยงกระจุกตัวอยู่ที่จุดเดียวบนเส้นโค้ง โครงสร้างแบบบาร์เบลและแบบบัลเลต์สามารถใช้ DV01 ขนานเดียวกันได้ แต่แตกต่างกันในด้านความนูนและการเปิดรับความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ยหลัก^{[ 4 ] [ 13 ]}

การสร้างภูมิคุ้มกันจะจับคู่มูลค่าและระยะเวลาของสินทรัพย์กับหนี้สิน เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่เกิดขึ้นพร้อมกันทำให้ส่วนเกินยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยประมาณ การคิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการตามอัตราปัจจุบันจะทำให้ได้การปรับปรุง Fisher–Weil สำหรับโครงสร้างระยะเวลาที่กำหนด กองทุนบำเหน็จบำนาญและบริษัทประกันภัยนำแนวคิดเหล่านี้ไปใช้ในการจัดการสินทรัพย์และหนี้สิน และตรวจสอบ DV01 ที่เกี่ยวข้องกับหนี้สินและความเสี่ยงต่ออัตราหลัก^{[ 3 ] [ 28 ] [ 29 ]}

ผู้ให้บริการดัชนีเผยแพร่ระยะเวลา ความนูน และการเปิดรับอัตราดอกเบี้ยหลักสำหรับแต่ละดัชนี ตัวเลขเหล่านี้เป็นแนวทางในการจำลองแบบพาสซีฟ การจัดทำงบประมาณความเสี่ยง และการจัดสรร และช่วยให้สามารถเปรียบเทียบ DV01 ของพอร์ตโฟลิโอและ DV01 ของอัตราดอกเบี้ยหลักโดยตรงกับดัชนีอ้างอิงที่เลือก วิธีการหลายวิธีคำนวณ DV01 ของอัตราดอกเบี้ยหลักภายใต้สเปรดที่ปรับด้วยออปชั่นคงที่ และสังเกตว่าผลรวมของค่าเหล่านี้ใกล้เคียงกับระยะเวลาที่ปรับด้วยออปชั่นสำหรับการเคลื่อนไหวแบบขนาน^{[ 13 ] [ 30 ] [ 5 ]}

ธนาคารวัดความเสี่ยงด้านอัตราดอกเบี้ยในบัญชีธนาคารโดยใช้ความไวตามระยะเวลาของมูลค่าทางเศรษฐกิจและรายงานการเปิดเผยความเสี่ยงตามระยะเวลา มาตรฐานการกำกับดูแลเน้นย้ำถึงข้อจำกัดของมาตรการเชิงเส้นภายใต้แรงกระแทกขนาดใหญ่หรือไม่ขนานกัน และกำหนดให้ใช้ตัวชี้วัดและสถานการณ์เสริม ผู้จัดการสินทรัพย์เปิดเผย DV01 ของพอร์ตโฟลิโอ และ DV01 ของส่วนต่างในเอกสารการยื่นต่อหน่วยงานกำกับดูแล (ถ้ามี) ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 10 ]}

สัญญาแลกเปลี่ยน สัญญาซื้อขายล่วงหน้า และสัญญาแลกเปลี่ยนผลตอบแทนรวมของพันธบัตร สามารถเพิ่มหรือลด DV01 แบบขนาน หรือกำหนดเป้าหมายอัตราหลักได้โดยไม่ต้องซื้อขายพันธบัตรพื้นฐาน ทางเลือกขึ้นอยู่กับสภาพคล่อง การใช้งบดุล และความเสี่ยงพื้นฐานระหว่างอนุพันธ์และกระแสเงินสดที่ได้รับการป้องกันความ เสี่ยง ^{[ 33 ] [ 4 ]}

ระยะเวลาเป็นเครื่องมือลำดับแรก การเปลี่ยนแปลงอัตราครั้งใหญ่ การปรับรูปร่างเส้นโค้ง ตัวเลือกที่ฝังอยู่ และการเปลี่ยนแปลงสเปรด อาจทำให้การป้องกันความเสี่ยงด้วยระยะเวลาเพียงอย่างเดียวเบี่ยงเบนไปจากเป้าหมาย ในกรณีเหล่านั้น ผู้ปฏิบัติงานจะเพิ่มความนูน ใช้ระยะเวลาของอัตราหลักและสเปรด หรือกำหนดราคาใหม่โดยตรงในแบบจำลอง^{[ 6 ] [ 31 ]}

การประมาณระยะเวลามาจากพจน์เชิงเส้นในการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของราคาในผลตอบแทน เมื่อแรงกระแทกเพิ่มขึ้น ข้อผิดพลาดก็จะเพิ่มขึ้น และความนูนมีความสำคัญ ผู้ปฏิบัติงานจะเพิ่มความนูนหรือกำหนดราคาใหม่โดยตรงเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่^{[ 4 ]}

การเปลี่ยนแปลงของตลาดมักจะผสมผสานระดับ ความชัน และความโค้ง ระยะเวลาเดียวอาจประเมินความเสี่ยงผิดพลาดเมื่อเส้นโค้งเปลี่ยนรูปร่าง ระยะเวลาอัตราดอกเบี้ยหลักกระจายความเสี่ยงไปทั่วระยะเวลาครบกำหนดและปรับการป้องกันความเสี่ยงให้สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวที่สังเกตได้^{[ 37 ] [ 32 ]}

เมื่อกระแสเงินสดผันแปรตามอัตรา เช่น สำหรับหลักทรัพย์ที่เรียกคืนได้หรือชำระล่วงหน้า เส้นโค้งราคา-ผลตอบแทนสามารถแสดงความนูนเชิงลบได้ และระยะเวลาที่วัดได้จะขึ้นอยู่กับการเลือกแบบจำลอง ระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพและความนูนที่มีประสิทธิภาพประมาณความไวโดยการเปลี่ยนแปลงขึ้นและลงเล็กน้อยภายในแบบจำลองการกำหนดราคา^{[ 6 ] [ 4 ]}

มาตรการ Fisher–Weil และอัตราหลักต้องใช้เส้นโค้งอัตราทันที การเลือกเครื่องมือ การบูตสแตรป และการแทรกสอดจะเปลี่ยนปัจจัยส่วนลดและความไวที่วัดได้ การใช้เส้นโค้งเดียวสำหรับทั้งการกำหนดราคาและแรงกระแทกจะช่วยปรับปรุงความสอดคล้องภายใน^{[ 38 ] [ 30 ] [ 5 ]}

ตัวเลขที่รายงานขึ้นอยู่กับผลตอบแทนและธรรมเนียมการคิดดอกเบี้ยทบต้น และขึ้นอยู่กับว่าราคาเป็นราคาที่สะอาดหรือสกปรก ระยะเวลาเงินเท่ากับราคาคูณระยะเวลาที่ปรับปรุงแล้วภายใต้ธรรมเนียมที่ระบุไว้ DV01 ขึ้นอยู่กับปริมาณที่เพิ่มขึ้น เช่น อัตราพาร์ อัตราศูนย์ หรือผลตอบแทนจนถึงวันครบกำหนด การเปรียบเทียบควรใช้ธรรมเนียมและหน่วยเดียวกัน^{[ 34 ] [ 30 ]}

ระยะเวลาอัตราดอกเบี้ยไม่ได้ครอบคลุมความเสี่ยงของส่วนต่างเครดิต ระยะเวลาส่วนต่างและ PV01 ของส่วนต่างวัดความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของส่วนต่างเครดิตโดยที่เส้นโค้งพื้นฐานคงที่ ความเสี่ยงพื้นฐานระหว่างเครื่องมือป้องกันความเสี่ยงและการเปิดรับความเสี่ยง เช่น ระหว่างสัญญาซื้อขายล่วงหน้ากับพันธบัตร หรือระหว่างสวอปกับพันธบัตรของผู้ออกที่แตกต่างกัน อาจทำให้การป้องกันความเสี่ยงมีความเสี่ยงแม้ว่าจะมีการจับคู่ DV01 แบบขนานแล้วก็ตาม^{[ 31 ] [ 4 ]}

สำหรับ${\displaystyle C=0}$กับ${\displaystyle N=mT}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;=\;T,\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {T}{1+r}},\qquad {\text{DV01}}\;=\;F\,(1+r)^{-N}\,{\frac {T}{1+r}}\times 10^{-4}.}$$^{[ 4 ]}

สำหรับ${\displaystyle F=0}$และ${\displaystyle q=(1+r)^{-N}}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}^{\text{annuity}}\;=\;{\frac {1}{m}}\!\left[{\frac {1+r}{r}}\;-\;{\frac {N\,q}{1-q}}\right].}$$^{[ 6 ]}

สำหรับพันธบัตรที่มีมูลค่าเท่ากับมูลค่าหน้าตั๋ว${\displaystyle C=rF}$ดังนั้น${\displaystyle P=F}$และ${\displaystyle q=(1+r)^{-N}}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}^{\text{par}}\;=\;{\frac {1}{m}}\,{\frac {1+r}{r}}\,(1-q)\,.}$$^{[ 4 ]}

โดยใช้เงื่อนไขเดียวกันกับข้างต้น: $${\displaystyle {\text{DV01}}^{\text{par}}\;=\;F\,{\frac {1-q}{m\,r}}\times 10^{-4}\,.}$$^{[ 4 ]}

สำหรับ${\displaystyle N\to \infty }$กับ${\displaystyle C>0}$และ${\displaystyle F=0}$: $${\displaystyle P={\frac {C}{r}},\qquad D_{\text{Mac}}={\frac {1}{m}}{\frac {1+r}{r}},\qquad D_{\text{mod}}={\frac {1}{mr}},\qquad {\text{DV01}}={\frac {P}{mr}}\times 10^{-4}.}$$^{[ 8 ]}

อนุญาต${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$. แล้ว $${\displaystyle S_{0}\;=\;\sum _{k=1}^{N}q^{k}\;=\;{\frac {q\,(1-q^{N})}{1-q}}\,.}$$ เอกลักษณ์นี้ปรากฏในการคำนวณมาตรฐานสำหรับราคาและมีประโยชน์ในการใช้งาน^{[ 8 ]}

กับ${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$: $${\displaystyle S_{1}\;=\;\sum _{k=1}^{N}k\,q^{k}\;=\;{\frac {q{\bigl (}1-(N+1)q^{N}+Nq^{N+1}{\bigr )}}{(1-q)^{2}}}\,.}$$ สิ่งนี้สนับสนุนระยะเวลาแบบปิดสำหรับคูปองระดับ^{[ 8 ]}

กับ${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$: $${\displaystyle S_{2}\;=\;\sum _{k=1}^{N}k^{2}q^{k}\;=\;{\frac {q\!\left(N^{2}q^{N}-2N^{2}q^{N+1}+N^{2}q^{N+2}+2Nq^{N}-2Nq^{N+1}-q+q^{N}+q^{N+1}-1\right)}{(1-q)^{3}}}\,.}$$ สิ่งนี้สนับสนุนความนูนแบบปิด^{[ 4 ]}

โดยใช้เอกลักษณ์ข้างต้นสำหรับพันธบัตรที่มีคูปองคงที่: $${\displaystyle C\;=\;{\frac {1}{m^{2}(1+r)^{2}\,P}}\,{\Bigl [}\,C\,(S_{1}+S_{2})\;+\;N(N+1)\,F\,(1+r)^{-N}\,{\Bigr ]}.}$$^{[ 4 ] [ 6 ]}

สำหรับเนินสมมาตร${\displaystyle \pm \Delta y}$เพื่อให้ได้ผลผลิตตามที่ระบุไว้: $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;\approx \;-\,{\frac {P_{+}-P_{-}}{2\,P_{0}\,\Delta y}}\,.}$$ นี่เป็นการตรวจสอบทั่วไปเกี่ยวกับระยะเวลาการวิเคราะห์และเป็นพื้นฐานของระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพ^{[ 6 ]}

สำหรับการปรับเสียงที่ใช้เฉพาะกับเสียงเทเนอร์เท่านั้น${\displaystyle \tau _{k}}$: $${\displaystyle {\text{KRD}}(\tau _{k})\;\approx \;-\,{\frac {P_{+}^{(k)}-P_{-}^{(k)}}{2\,P_{0}\,\Delta y}}\,.}$$ ใช้เพื่อรายงานความไวตามกลุ่มความสุกงอม^{[ 4 ]}

ใบหน้า${\displaystyle F=100}$คูปอง${\displaystyle 20\%}$ต่อปี จ่ายครึ่งปี ดังนั้น${\displaystyle C=10}$ผลตอบแทนที่ระบุไว้${\displaystyle y=4\%}$กับ${\displaystyle m=2}$ดังนั้น${\displaystyle r=0.02}$, และ${\displaystyle N=4}$ราคาโดยพิจารณาจากผลรวมของกระแสเงินสด: $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1.02)^{i}}}\;+\;{\frac {100}{(1.02)^{4}}}\;\approx \;130.462\,.}$$ แมคคอลีย์และระยะเวลาที่ปรับเปลี่ยน: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;\approx \;1.777{\text{ years}},\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {1.777}{1.02}}\;\approx \;1.743\,.}$$ DV01 ต่อ 1 bp: $${\displaystyle {\text{DV01}}\;=\;130.462\times 1.743\times 10^{-4}\;\approx \;0.0227\,.}$$

ใบหน้า${\displaystyle F=1000}$คูปอง${\displaystyle 5\%}$ทุกปี${\displaystyle C=50}$ผลตอบแทนรายปี${\displaystyle y=6.5\%}$กับ${\displaystyle m=1}$ดังนั้น${\displaystyle r=0.065}$, และ${\displaystyle N=5}$. ราคา: $${\displaystyle P\;=\;50\sum _{t=1}^{4}{\frac {1}{(1.065)^{t}}}\;+\;{\frac {1050}{(1.065)^{5}}}\;\approx \;937.665\,.}$$ แมคคอลีย์และระยะเวลาที่ปรับเปลี่ยน: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;\approx \;4.529{\text{ years}},\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {4.529}{1.065}}\;\approx \;4.253\,.}$$ DV01 ต่อ 1 bp: $${\displaystyle {\text{DV01}}\;=\;937.665\times 4.253\times 10^{-4}\;\approx \;0.399\,.}$$

• แบบฟอร์มสำเร็จรูปข้างต้นสมมติว่าจำนวนงวดคูปองเป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle N}$สำหรับช่วงเวลาที่เป็นเศษส่วน ให้คำนวณ${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$จากตารางกระแสเงินสดที่มีวันที่ระบุไว้ แล้วจึงนำไปใช้${\displaystyle D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}/(1+r)}$[ ^{6 ] [ 4 ]​}
• DV01 ที่รายงานขึ้นอยู่กับปริมาณที่เพิ่มขึ้น (อัตราพาร์ อัตราศูนย์ หรือผลตอบแทนจนถึงวันครบกำหนด) และขึ้นอยู่กับว่าราคาสะอาดหรือสกปรก ใช้หลักการทั่วไปในการเปรียบเทียบตัวเลข^{[ 4 ] [ 6 ]}