โดยคร่าวๆ กรณีของประจุจุดในสนามไฟฟ้าสถิตใดๆ นั้นเป็นผลลัพธ์ง่ายๆ จากกฎของเกาส์สำหรับอนุภาคที่จะอยู่ในสมดุลที่เสถียร การรบกวนเล็กน้อย ("การผลัก") บนอนุภาคในทิศทางใดๆ ไม่ควรทำให้สมดุลเสียไป อนุภาคควร "ตกลงมา" สู่ตำแหน่งเดิม ซึ่งหมายความว่าเส้นแรงสนามรอบๆ ตำแหน่งสมดุลของอนุภาคควรชี้เข้าด้านในไปยังตำแหน่งนั้น ถ้าเส้นสนามโดยรอบทั้งหมดชี้ไปยังจุดสมดุลแล้ว การลdivergenceของสนามที่จุดนั้นจะต้องเป็นลบ (กล่าวคือ จุดนั้นทำหน้าที่เป็นแหล่งดูด) อย่างไรก็ตาม กฎของเกาส์กล่าวว่าการล divergence ของสนามแรงไฟฟ้าใดๆ ที่เป็นไปได้นั้นเป็นศูนย์ในพื้นที่ว่าง ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ แรงไฟฟ้าF ( r )ที่ได้มาจากศักย์U ( r )จะไม่มี divergence เสมอ (สอดคล้องกับสมการของลาปลาส ):

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla ^{2}U=0.}$$

ดังนั้น จึงไม่มีค่าต่ำ สุด หรือสูงสุดเฉพาะที่ของศักยภาพสนามในพื้นที่ว่าง มีเพียงจุดอานม้า เท่านั้น สมดุลที่เสถียรของอนุภาคไม่สามารถมีอยู่ได้ และจะต้องมีความไม่เสถียรในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง ข้อโต้แย้งนี้อาจไม่เพียงพอหากอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดของUเป็นศูนย์^{[ 1 ]}

เพื่อให้ถูกต้องแม่นยำอย่างสมบูรณ์ ตามหลักแล้ว การมีอยู่ของจุดเสถียรไม่ได้หมายความว่าเวกเตอร์แรงที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมดจะต้องชี้ไปยังจุดเสถียรนั้นอย่างแม่นยำเสมอไป เวกเตอร์แรงอาจหมุนวนเข้าหาจุดเสถียรก็ได้ วิธีหนึ่งในการจัดการกับเรื่องนี้คือการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า นอกเหนือจากค่าไดเวอร์เจนซ์แล้ว ค่าเคิร์ลของสนามไฟฟ้าใดๆ ในพื้นที่ว่างก็เป็นศูนย์ด้วย (ในกรณีที่ไม่มีกระแสแม่เหล็ก)

นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้โดยตรงจากสมการแรง/พลังงานสำหรับไดโพลแม่เหล็ก สถิต (ด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม โดยสัญชาตญาณแล้ว เป็นไปได้ว่าหากทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับประจุจุดเดี่ยวแล้ว ก็จะใช้ได้กับประจุจุดสองประจุตรงข้ามที่เชื่อมต่อกันด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะใช้ได้ในกรณีที่ระยะห่างระหว่างประจุลดลงจนเป็นศูนย์ในขณะที่ยังคงรักษาโมเมนต์ไดโพลไว้ นั่นคือ จะใช้ได้กับไดโพลไฟฟ้าแต่ถ้าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับไดโพลไฟฟ้าแล้ว ก็จะใช้ได้กับไดโพลแม่เหล็กด้วย เนื่องจากสมการแรง/พลังงาน (สถิต) มีรูปแบบเดียวกันสำหรับทั้งไดโพลไฟฟ้าและไดโพลแม่เหล็ก

ผลที่ตามมาในทางปฏิบัติจากทฤษฎีบทนี้คือ ไม่มีการจัดเรียงตัวแบบคงที่ใดๆ ของวัสดุแม่เหล็กเฟอร์โรที่สามารถ ทำให้วัตถุ ลอยอยู่ ได้อย่างเสถียร ต้านแรงโน้มถ่วง แม้ว่าแรงแม่เหล็กจะแข็งแกร่งกว่าแรงโน้มถ่วงก็ตาม

ทฤษฎีบทของ Earnshaw ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับกรณีทั่วไปของวัตถุที่ขยายออกไป แม้ว่าวัตถุเหล่านั้นจะมีความยืดหยุ่นและนำไฟฟ้าได้ก็ตาม โดยมีเงื่อนไขว่าวัตถุเหล่านั้นจะไม่เป็น^ไดอะแมกเนติก [ ^{2 ] [ 3 ]}เนื่องจากไดอะแมกเนติซึมก่อให้เกิดแรงผลัก (เล็กน้อย) แต่ไม่มีแรงดึงดูด

อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นหลายประการสำหรับข้อสมมติฐานของกฎดังกล่าว ซึ่งทำให้เกิดการลอยตัวด้วยแม่เหล็กได้

ทฤษฎีบทของ Earnshaw ใช้ได้กับสนามแรงโน้มถ่วงสถิต

ทฤษฎีบทของ Earnshaw ใช้ได้ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย แต่บางครั้งการทำงานในกรอบอ้างอิงหมุนที่มีแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง สมมติ ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมติของทฤษฎีบทของ Earnshaw นั้นดูเป็นธรรมชาติมากกว่า จุดที่อยู่นิ่งใน กรอบอ้างอิง หมุน (แต่เคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย) อาจมีเสถียรภาพสัมบูรณ์หรือไม่มีเสถียรภาพสัมบูรณ์ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ในปัญหาวัตถุสามชิ้นแบบจำกัดศักย์ประสิทธิผลจากแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางสมมติทำให้จุด Lagrange L4 และ L5 อยู่ที่จุดสูงสุดเฉพาะที่ของสนามศักย์ประสิทธิผล แม้ว่าจะมีมวลเพียงเล็กน้อย ณ ตำแหน่งเหล่านั้นก็ตาม (ถึงแม้ว่าจุด Lagrange เหล่านี้จะอยู่ที่จุดสูงสุดเฉพาะที่ของสนามศักย์แทนที่จะเป็นจุดต่ำสุดเฉพาะที่ แต่ก็ยังคงมีเสถียรภาพสัมบูรณ์ในช่วงพารามิเตอร์หนึ่งๆ เนื่องจากแรง Coriolis สมมติที่ขึ้นอยู่กับความเร็ว ซึ่งไม่ได้ถูกจับไว้ในสนามศักย์สเกลาร์)

ในจักรวาลวิทยาแบบนิวตัน ผลลัพธ์นี้นำไปสู่ปริศนาของเบนท์ลีย์ โดยตรง ซึ่งบ่งชี้ว่าจักรวาลจะต้องยุบตัวลงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

แม้ว่าอาจสามารถพิสูจน์ได้ในแบบทั่วไปมากกว่านี้ แต่ในที่นี้จะพิจารณาสามกรณีเฉพาะ กรณีแรกคือไดโพลแม่เหล็กที่มีขนาดคงที่และมีการวางตัวที่แน่นอน (คงที่) กรณีที่สองและสามคือไดโพลแม่เหล็กที่การวางตัวเปลี่ยนไปเพื่อให้ยังคงเรียงตัวขนานหรือตรงข้ามกับเส้นแรงของสนามแม่เหล็กภายนอก ในวัสดุพาราแมกเนติกและไดอะแมกเนติก ไดโพลจะเรียงตัวขนานและตรงข้ามกับเส้นแรงตามลำดับ

บทพิสูจน์ที่กล่าวถึงในที่นี้อิงตามหลักการดังต่อไปนี้

พลังงาน U ของไดโพลแม่เหล็กที่มีโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กMในสนามแม่เหล็กภายนอกBกำหนดโดย $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).}$$

ไดโพลจะลอยอยู่ได้อย่างเสถียรเฉพาะจุดที่พลังงานมีค่าต่ำสุดเท่านั้น พลังงานจะมีค่าต่ำสุดได้เฉพาะจุดที่ค่าลาปลาเซียนของพลังงานมากกว่าศูนย์ นั่นคือ ณ จุดที่ $${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}>0.}$$

สุดท้ายนี้ เนื่องจากทั้งไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ (ในกรณีที่ไม่มีกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าเปลี่ยนแปลง) ดังนั้นลาปลาเซียนของส่วนประกอบแต่ละส่วนของสนามแม่เหล็กจึงเป็นศูนย์ นั่นคือ $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}=\nabla ^{2}B_{y}=\nabla ^{2}B_{z}=0.}$$

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในตอนท้ายของบทความนี้ เนื่องจากเป็นหัวใจสำคัญในการทำความเข้าใจข้อพิสูจน์โดยรวม

สำหรับไดโพลแม่เหล็กที่มีทิศทางคงที่ (และขนาดคงที่) พลังงานจะมีค่าดังนี้ $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),}$$ โดยที่M , M และM เป็นค่าคงที่ ในกรณีนี้ ค่าลาปลาเซียนของพลังงานจะเป็นศูนย์เสมอ $${\displaystyle \nabla ^{2}U=0,}$$ ดังนั้นไดโพลจึงไม่มีจุดพลังงานต่ำสุดหรือจุดสูงสุด กล่าวคือ ไม่มีจุดใดในอวกาศว่างเปล่าที่ไดโพลจะมีเสถียรภาพในทุกทิศทางหรือไม่มีเสถียรภาพในทุกทิศทาง

ไดโพลแม่เหล็กที่เรียงตัวขนานหรือตรงข้ามกับสนามภายนอก โดยขนาดของไดโพลเป็นสัดส่วนกับสนามภายนอก จะสอดคล้องกับวัสดุพาราแมกเนติกและไดอะแมกเนติกตามลำดับ ในกรณีเหล่านี้ พลังงานจะกำหนดโดย $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right),}$$ โดยที่kเป็นค่าคงที่ที่มีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับวัสดุพาราแมกเนติก และมีค่าน้อยกว่าศูนย์สำหรับวัสดุไดอะแมกเนติก

ในกรณีนี้ จะแสดงให้เห็นว่า $${\displaystyle \nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0,}$$ ซึ่งเมื่อรวมกับค่าคงที่kจะแสดงให้เห็นว่าวัสดุพาราแมกเนติกสามารถมีพลังงานสูงสุดได้แต่ไม่มีพลังงานต่ำสุด และวัสดุไดอะแมกเนติกสามารถมีพลังงานต่ำสุดได้แต่ไม่มีพลังงานสูงสุด กล่าวคือ วัสดุพาราแมกเนติกอาจไม่เสถียรในทุกทิศทางแต่ไม่เสถียรในทุกทิศทาง และวัสดุไดอะแมกเนติกอาจเสถียรในทุกทิศทางแต่ไม่อาจไม่เสถียรในทุกทิศทาง แน่นอนว่าวัสดุทั้งสองชนิดสามารถมีจุดอานม้าได้

สุดท้ายนี้ ไดโพลแม่เหล็กของวัสดุเฟอร์โรแมกเนติก (แม่เหล็กถาวร) ที่วางตัวขนานหรือตรงข้ามกับสนามแม่เหล็ก จะมีค่าดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {M} =k{\mathbf {B} \over |\mathbf {B} |},}$$

ดังนั้นพลังงานจะถูกมอบให้โดย $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }{|\mathbf {B} |}}=-k{\frac {|\mathbf {B} |^{2}}{|\mathbf {B} |}}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac {1}{2}};}$$

แต่ค่านี้เป็นเพียงรากที่สองของพลังงานสำหรับกรณีพาราแมกเนติกและไดอะแมกเนติกที่กล่าวถึงข้างต้น และเนื่องจากฟังก์ชันรากที่สองเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดใดๆ ในกรณีพาราแมกเนติกและไดอะแมกเนติกจะเป็นค่าต่ำสุดหรือสูงสุดในที่นี้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีการจัดเรียงแม่เหล็กถาวรใดๆ ที่ทราบว่าสามารถลอยตัวได้อย่างเสถียร ดังนั้นอาจมีเหตุผลอื่นๆ ที่ไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้ว่าทำไมจึงไม่สามารถรักษาแม่เหล็กถาวรให้อยู่ในทิศทางตรงข้ามกับสนามแม่เหล็กได้ (อย่างน้อยก็ไม่ใช่โดยปราศจากการหมุน—ดูการลอยตัวด้วยแม่เหล็กที่เสถียรด้วยการหมุน )

ทฤษฎีบทของเอิร์นชอว์ถูกคิดค้นขึ้นครั้งแรกสำหรับไฟฟ้าสถิต (ประจุจุด) เพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่มีการจัดเรียงตัวที่เสถียรของกลุ่มประจุจุด การพิสูจน์ที่นำเสนอในที่นี้สำหรับไดโพลแต่ละตัวควรสามารถนำไปใช้กับกลุ่มไดโพลแม่เหล็กได้ เนื่องจากมีการพิสูจน์โดยใช้พลังงานซึ่งสามารถบวกกันได้ อย่างไรก็ตาม การศึกษาเรื่องนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วนยังอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้ในขณะนี้

จะได้รับการพิสูจน์ว่า ณ ทุกจุดในอวกาศอิสระ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla U)=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.}$$

พลังงานUของไดโพลแม่เหล็กMในสนามแม่เหล็กภายนอกBกำหนดโดย $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}.}$$

ชาวลาปลาเซียนจะเป็น $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)}$$

เมื่อขยายและจัดเรียงพจน์ใหม่ (และสังเกตว่าไดโพลMมีค่าคงที่) เราจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}U&=-M_{x}\left({\partial ^{2}B_{x} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{y}\left({\partial ^{2}B_{y} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{z}\left({\partial ^{2}B_{z} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial z}^{2}}\right)\\[3pt]&=-M_{x}\nabla ^{2}B_{x}-M_{y}\nabla ^{2}B_{y}-M_{z}\nabla ^{2}B_{z}\end{aligned}}}$$

แต่ค่าลาปลาเซียนของส่วนประกอบแต่ละส่วนของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ในพื้นที่ว่าง (โดยไม่นับรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า) ดังนั้น $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,}$$

ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

กรณีของไดโพลพาราแมกเนติกหรือไดอะแมกเนติกจะถูกพิจารณาก่อน พลังงานจะกำหนดโดย $${\displaystyle U=-k|\mathbf {B} |^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).}$$

การขยายความและจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}}$$

แต่เนื่องจากค่าลาปลาเซียนของแต่ละองค์ประกอบของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ $${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right);}$$

และเนื่องจากกำลังสองของขนาดจะเป็นค่าบวกเสมอ $${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}\geq 0.}$$

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น นั่นหมายความว่าค่าลาปลาเซียนของพลังงานของวัสดุพาราแมกเนติกจะไม่สามารถเป็นค่าบวกได้ (ไม่มีการลอยตัวอย่างเสถียร) และค่าลาปลาเซียนของพลังงานของวัสดุไดอะแมกเนติกจะไม่สามารถเป็นค่าลบได้ (ไม่มีความไม่เสถียรในทุกทิศทาง)

นอกจากนี้ เนื่องจากพลังงานสำหรับไดโพลที่มีขนาดคงที่ซึ่งวางตัวขนานกับสนามภายนอกจะเป็นรากที่สองของพลังงานข้างต้น การวิเคราะห์แบบเดียวกันจึงสามารถนำมาใช้ได้

มีการพิสูจน์แล้วว่า ลาปลาเซียนของแต่ละองค์ประกอบของสนามแม่เหล็กมีค่าเป็นศูนย์ นี่แสดงให้เห็นถึงความจำเป็นในการใช้คุณสมบัติของสนามแม่เหล็กที่ว่าไดเวอร์เจนซ์ของสนามแม่เหล็กมีค่าเป็นศูนย์เสมอ และเคิร์ลของสนามแม่เหล็กมีค่าเป็นศูนย์ในพื้นที่ว่าง (นั่นคือ ในกรณีที่ไม่มีกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าเปลี่ยนแปลง) โปรดดูสมการของแม็กซ์เวลล์สำหรับการอธิบายคุณสมบัติเหล่านี้ของสนามแม่เหล็กอย่างละเอียดเพิ่มเติม

พิจารณาตัวดำเนินการลาปลาเซียนของส่วนประกอบ x ของสนามแม่เหล็ก $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากค่า curl ของBเป็นศูนย์ $${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial B_{y}}{\partial x}},}$$ และ $${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}},}$$ ดังนั้นเราจึงมี $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}.}$$

แต่เนื่องจากB เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ลำดับของการหาอนุพันธ์จึงไม่สำคัญ $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} ).}$$

ค่าไดเวอร์เจนซ์ของBเป็นศูนย์ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$$ ดังนั้น $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} )=0.}$$

สามารถคำนวณลาปลาเซียนของ ส่วนประกอบ yของสนามแม่เหล็กB field และลาปลาเซียนของ ส่วนประกอบ zของสนามแม่เหล็กB ได้โดยวิธีเดียวกัน หรืออีกวิธีหนึ่ง สามารถใช้ เอกลักษณ์ ได้$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right),}$$ โดยที่ทั้งสองพจน์ในวงเล็บหายไป

ทฤษฎีบทของ Earnshaw ไม่มีข้อยกเว้นสำหรับแม่เหล็ก ถาวรที่ไม่เคลื่อนที่ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของ Earnshaw ไม่จำเป็นต้องใช้กับแม่เหล็กที่เคลื่อนที่^{[ 4 ]}ระบบแม่เหล็กไฟฟ้าบางระบบ การลอยตัวเทียม และวัสดุไดอะแมกเนติก สิ่งเหล่านี้จึงอาจดูเหมือนเป็นข้อยกเว้น แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วพวกมันจะใช้ประโยชน์จากข้อจำกัดของทฤษฎีบทก็ตาม

การลอยตัวด้วยแม่เหล็กที่เสถียรด้วยการหมุน : เฟอร์โรแมกเนตที่หมุนได้ (เช่นLevitron ) สามารถลอยตัวด้วยแม่เหล็กได้ในขณะที่หมุน โดยใช้เพียงเฟอร์โรแมกเนตถาวรเท่านั้น โดยระบบจะเพิ่มแรงไจโรสโคปิก^{[ 4 ]} (เฟอร์โรแมกเนตที่หมุนได้ไม่ใช่ "เฟอร์โรแมกเนตที่ไม่เคลื่อนที่")

การสลับขั้วของแม่เหล็กไฟฟ้าหรือระบบแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถทำให้ระบบลอยตัวได้โดยการใช้พลังงานอย่างต่อเนื่องรถไฟแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นหนึ่งในแอปพลิเคชันดังกล่าว

การลอยตัวเทียมจำกัดการเคลื่อนที่ของแม่เหล็ก โดยปกติจะใช้เชือกหรือผนังบางรูปแบบ วิธีนี้ได้ผลเพราะทฤษฎีบทแสดงให้เห็นว่ามีเพียงทิศทางเดียวเท่านั้นที่จะเกิดความไม่เสถียร การจำกัดการเคลื่อนที่ในทิศทางนั้นช่วยให้เกิดการลอยตัวได้โดยใช้มิติการเคลื่อนที่น้อยกว่า 3 มิติ (โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ 3 มิติ ไม่ใช่ 1 มิติหรือ 2 มิติ)

วัสดุ ไดอะแมกเนติกได้รับการยกเว้น เนื่องจากวัสดุเหล่านี้แสดงเพียงแรงผลักต่อสนามแม่เหล็ก ในขณะที่ทฤษฎีบทต้องการวัสดุที่มีทั้งแรงผลักและแรงดึงดูด ตัวอย่างเช่นกบที่ลอยตัว ได้ (ดูไดอะแมกเนติซึม )