รัศมีไอน์สไตน์คือรัศมีของวงแหวนไอน์สไตน์และเป็นมุมลักษณะเฉพาะสำหรับการเลนส์โน้มถ่วงโดยทั่วไป เนื่องจากระยะห่างทั่วไประหว่างภาพในการเลนส์โน้มถ่วงอยู่ในระดับเดียวกับรัศมีไอน์สไตน์^{[ 1 ]}

ในการพิสูจน์รัศมีของไอน์สไตน์ต่อไปนี้ เราจะสมมติว่ามวลทั้งหมดMของกาแล็กซีเลนส์Lนั้นกระจุกตัวอยู่ที่ใจกลางของกาแล็กซี

สำหรับมวลจุด การเบี่ยงเบนสามารถคำนวณได้ และเป็นหนึ่งในการทดสอบแบบคลาสสิกของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปสำหรับมุมเล็กๆα การเบี่ยงเบนทั้งหมดโดยมวลจุดMจะกำหนดโดย (ดู เมตริก Schwarzschild )

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

ที่ไหน

b คือพารามิเตอร์ผลกระทบ (ระยะห่างที่ลำแสงเข้าใกล้ศูนย์กลางมวลมากที่สุด)

Gคือ ค่าคง ที่ความโน้มถ่วง

cคือความเร็วแสง

โดยสังเกตว่า สำหรับมุมเล็กๆ และเมื่อมุมแสดงในหน่วยเรเดียนจุดที่ใกล้ที่สุดb ที่มุมθ สำหรับเลนส์Lที่ระยะ D จะกำหนดโดยb = θ D เราสามารถแสดงมุมการโค้งงอα ใหม่ได้ ดังนี้

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$..... (สมการที่ 1)

ถ้าเรากำหนดให้θ เป็นมุมที่เราจะมองเห็นแหล่งกำเนิดแสงโดยไม่มีเลนส์ (ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่สามารถสังเกตได้) และθ เป็นมุมที่สังเกตได้ของภาพแหล่งกำเนิดแสงเทียบกับเลนส์แล้ว เราจะเห็นได้จากเรขาคณิตของเลนส์ (การนับระยะทางในระนาบของแหล่งกำเนิดแสง) ว่าระยะทางแนวตั้งที่ครอบคลุมโดยมุมθ ที่ระยะD นั้นเท่ากับผลรวมของระยะทางแนวตั้งสองค่าคือθ D และα D ซึ่งจะได้สมการของเลนส์

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}}$

ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$..... (สมการที่ 2)

โดยการกำหนดให้ (สมการ 1) เท่ากับ (สมการ 2) และจัดเรียงใหม่ เราจะได้

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

สำหรับแหล่งกำเนิดที่อยู่ด้านหลังเลนส์พอดีθ = 0สมการเลนส์สำหรับมวลจุดจะให้ค่าลักษณะเฉพาะสำหรับθ ซึ่งเรียกว่ามุมไอน์สไตน์เขียนแทนด้วยθ เมื่อθ แสดงในหน่วยเรเดียน และแหล่งกำเนิดเลนส์อยู่ห่างออกไปมากพอรัศมีไอน์สไตน์เขียนแทนด้วยR จะกำหนดโดย

${\displaystyle R_{E}=\ทีต้า _{E}D_{\rm {L}}}$[ ^{2 ]​}

เมื่อแทนค่าθ = 0และแก้หาค่าθ จะได้

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

มุมไอน์สไตน์สำหรับมวลจุดให้มาตราส่วนเชิงเส้นที่สะดวกในการสร้างตัวแปรเลนส์แบบไร้มิติ ในแง่ของมุมไอน์สไตน์ สมการเลนส์สำหรับมวลจุดจะกลายเป็น

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

เมื่อแทนค่าคงที่ลงไปจะได้

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

ในรูปแบบหลัง มวลจะแสดงในหน่วยมวลของดวงอาทิตย์ ( M☉ และระยะทางในหน่วยกิกะพาร์เซก (Gpc) รัศมีของไอน์สไตน์มีความโดดเด่นที่สุดสำหรับเลนส์ที่อยู่กึ่งกลางระหว่างแหล่งกำเนิดและผู้สังเกตการณ์

สำหรับกระจุกดาวหนาแน่นที่มีมวลM ≈ ที่ระยะห่าง 1 กิกะพาร์เซก (1 Gpc) รัศมีนี้อาจมีขนาดใหญ่ถึง 100 อาร์คเซก (เรียกว่ามาโครเลนส์ ) สำหรับ ปรากฏการณ์ ไมโครเลนส์จากแรงโน้มถ่วง (ที่มีมวลอยู่ใน^{ระดับ} 10 × 10¹⁵ M☉ 1  M ) ค้นหาที่ระยะทางกาแล็กซี (เช่นD ~หากระยะทาง เป็น 3 กิโลพาร์เซกรัศมีของไอน์สไตน์โดยทั่วไปจะมีค่าอยู่ในระดับมิลลิอาร์กเซคอนด์ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสังเกตภาพแยกกันในปรากฏการณ์ไมโครเลนส์ด้วยเทคนิคในปัจจุบัน

ในทำนองเดียวกัน สำหรับ รังสีแสง ด้านล่างที่ตกกระทบผู้สังเกตจากใต้เลนส์ เราก็มี เช่นกัน

${\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}}$

และ

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

ข้อโต้แย้งข้างต้นสามารถขยายไปใช้กับเลนส์ที่มีมวลกระจายตัว แทนที่จะเป็นมวลจุด โดยใช้สูตรที่แตกต่างกันสำหรับมุมโค้ง α จากนั้นจึงสามารถคำนวณตำแหน่งθ ( θ ) ของภาพได้ สำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อย การแมปนี้จะเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและประกอบด้วยการบิดเบือนของตำแหน่งที่สังเกตได้ซึ่งสามารถผกผันได้ นี่เรียกว่าเลนส์อ่อนสำหรับการเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ อาจมีภาพหลายภาพและการแมปที่ไม่สามารถผกผันได้ นี่เรียกว่าเลนส์แรงโปรดทราบว่าเพื่อให้มวลกระจายตัวส่งผลให้เกิดวงแหวนไอน์สไตน์ มวลนั้นจะต้องมีสมมาตรตามแกน

• เลนส์ความโน้มถ่วง
• แหวนไอน์สไตน์

• ชวอลสัน, โอ (1924) "อูเบอร์ ไอเนอ โมกลิเช่ ฟอร์มฟิกทิเวอร์ ด็อปเปลสแตร์เน" นักดาราศาสตร์ นาคริชเทน221 (20): 329– 330. รหัสสินค้า : 1924AN....221..329C . ดอย : 10.1002/asna.19242212003 .(บทความแรกที่เสนอแนวคิดเรื่องวงแหวน)
• ไอน์สไตน์, อัลเบิร์ต (1936). "การกระทำคล้ายเลนส์ของดาวฤกษ์โดยการเบี่ยงเบนของแสงในสนามโน้มถ่วง" (PDF) . Science . 84 (2188): 506– 507. Bibcode : 1936Sci....84..506E . doi : 10.1126/science.84.2188.506 . JSTOR  1663250 . PMID  17769014 . S2CID  38450435 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2018-04-29.(บทความเรื่องวงแหวนของไอน์สไตน์ที่มีชื่อเสียง)
• Renn, Jürgen ; Tilman Sauer & John Stachel (1997). "ต้นกำเนิดของเลนส์โน้มถ่วง: บทส่งท้ายบทความ Science ปี 1936 ของไอน์สไตน์" Science . 275 (5297): 184– 186. Bibcode : 1997Sci...275..184R . doi : 10.1126/science.275.5297.184 . PMID  8985006 . S2CID  43449111 .