ควอดรูโพลหรือควอดราโพลคือลำดับของการจัดเรียงสิ่งต่างๆ เช่นประจุไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้า สนามแม่เหล็กหรือมวลโน้มถ่วงที่สามารถมีอยู่ได้ในรูปแบบอุดมคติ แต่โดยปกติแล้วมันเป็นเพียงส่วนหนึ่งของการขยายแบบมัลติโพลของโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งสะท้อนถึงลำดับความซับซ้อนต่างๆ

เทนเซอร์โมเมนต์ควอดรูโพลQ เป็น เทนเซอร์อันดับสอง ซึ่งเป็นเมทริกซ์ขนาด 3×3 มีนิยามหลายแบบ แต่โดยปกติจะระบุใน รูปแบบ ไร้ร่องรอย (เช่น) ดังนั้น เทนเซอร์โมเมนต์ควอดรูโพลจึงมีส่วนประกอบเก้าส่วน แต่เนื่องจากสมมาตรการสลับตำแหน่งและ คุณสมบัติ ร่องรอยเป็นศูนย์ในรูปแบบนี้จึงมีเพียงห้าส่วนเท่านั้นที่เป็นอิสระต่อกัน ${\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0}$

สำหรับระบบจุดประจุหรือมวลแบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีของควอดรูโพลแรงโน้มถ่วงแต่ละจุดมีประจุหรือมวลและตำแหน่งสัมพัทธ์กับจุดกำเนิดของระบบพิกัด ส่วนประกอบของ เมทริกซ์ Qจะถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle q_{\ell }}$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle \mathbf {r} _{\ell }=\left(r_{x\ell },r_{y\ell },r_{z\ell }\right)}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }\left(3r_{i\ell }r_{j\ell }-\left\|\mathbf {r} _{\ell }\right\|^{2}\delta _{ij}\right).}$$

ดัชนีเหล่านี้ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและคือเดลต้าโครเนกเกอร์ซึ่งหมายความว่า ดัชนีจะต้องเท่ากับระยะห่างจากจุดไปยังระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกัน (โดยไม่ รวมเครื่องหมาย ) เพื่อให้เดลต้าโครเนกเกอร์เท่ากับ 1 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle n}$

ในรูปแบบที่ไม่ไร้ร่องรอย บางครั้งโมเมนต์ควอดรูโพลจะถูกระบุไว้ดังนี้:

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }r_{i\ell }r_{j\ell }}$$

โดยรูปแบบนี้จะเห็นการใช้งานบางส่วนในเอกสารเกี่ยวกับวิธีมัลติโพลแบบเร็วการแปลงระหว่างสองรูปแบบนี้สามารถทำได้ง่ายโดยใช้ตัวดำเนินการดีเทรซซิ่ง^{[ 1 ]}

สำหรับระบบต่อเนื่องที่มีความหนาแน่นประจุหรือความหนาแน่นมวลส่วนประกอบของ Q ถูกกำหนดโดยปริพันธ์เหนือปริภูมิคาร์ทีเซียนr : ^{[ 2 ]}${\displaystyle \rho (x,y,z)}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left(3r_{i}r_{j}-\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$$

เช่นเดียวกับโมเมนต์มัลติโพลใดๆ หากโมเมนต์ลำดับต่ำกว่า เช่นโมโนโพลหรือไดโพลในกรณีนี้ มีค่าไม่เป็นศูนย์ ค่าของโมเมนต์ควอดรูโพลจะขึ้นอยู่กับการเลือกจุดกำเนิดพิกัดตัวอย่างเช่นไดโพลของประจุจุดสองตัวที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันและมีความแรงเท่ากัน ซึ่งไม่มีโมเมนต์โมโนโพล สามารถมีโมเมนต์ควอดรูโพลที่ไม่เป็นศูนย์ได้หากจุดกำเนิดถูกเลื่อนออกจากจุดศูนย์กลางของการจัดเรียงที่อยู่ตรงกลางระหว่างประจุทั้งสอง หรือโมเมนต์ควอดรูโพลสามารถลดลงเหลือศูนย์ได้เมื่อจุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง ในทางตรงกันข้าม หากโมเมนต์โมโนโพลและไดโพลเป็นศูนย์ แต่โมเมนต์ควอดรูโพลไม่เป็นศูนย์ เช่น ประจุสี่ตัวที่มีความแรงเท่ากัน จัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีเครื่องหมายสลับกัน โมเมนต์ควอดรูโพลจะไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด

ถ้าประจุแต่ละตัวเป็นแหล่งกำเนิดของ " สนามศักย์" เช่น สนาม ไฟฟ้าหรือสนามโน้มถ่วงการมีส่วนร่วมของโมเมนต์ควอดรูโพลต่อ ศักย์ ของสนามนั้นคือ:${\displaystyle 1/r}$$${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}__{i}{\hat {R}__{j}\ ,}$$

โดยที่Rคือเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดอยู่ในระบบประจุ และR̂คือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของRกล่าวคือและคือส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากจุดกำเนิดไปยังจุดสนาม โดยที่เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับชนิดของสนามและหน่วยที่ใช้ ${\displaystyle {\หมวก {R}__{i}}$${\displaystyle i=x,y,z}$${\displaystyle k}$

ตัวอย่างง่ายๆ ของควอดรูโพลไฟฟ้าประกอบด้วยประจุบวกและลบสลับกัน จัดเรียงอยู่ที่มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส โมเมนต์โมโนโพล—ประจุรวม—ของการจัดเรียงนี้เป็นศูนย์ ในทำนองเดียวกันโมเมนต์ไดโพลก็เป็นศูนย์ ไม่ว่าจุดกำเนิดพิกัดที่เลือกจะเป็นอย่างไร ผลที่ตามมาคือ ควอดรูโพลในสนามสม่ำเสมอจะไม่ประสบกับแรงสุทธิหรือแรงบิดสุทธิ แม้ว่าจะสามารถประสบกับแรงสุทธิหรือแรงบิดสุทธิในสนามที่ไม่สม่ำเสมอได้ ขึ้นอยู่กับความชันของสนามที่ตำแหน่งประจุต่างๆ^{[ 3 ]}ตรงกันข้ามกับโมเมนต์โมโนโพลและไดโพล โมเมนต์ควอดรูโพลของการจัดเรียงในแผนภาพไม่สามารถลดลงเหลือศูนย์ได้ ไม่ว่าเราจะวางจุดกำเนิดพิกัดไว้ที่ใดก็ตามศักย์ไฟฟ้าของควอดรูโพลประจุไฟฟ้ากำหนดโดย^{[ 4 ​​]}$${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}__{i}{\hat {R}__{j}\ ,}$$

โดยที่ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าเป็นไปตามนิยามข้างต้น ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle Q_{ij}}$

หรืออีกทางหนึ่ง แหล่งข้อมูลอื่น^{[ 5 ]}รวมปัจจัยครึ่งหนึ่งไว้ในเทนเซอร์เอง ดังนี้: ${\displaystyle Q_{ij}}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left({\frac {3}{2}}r_{i}r_{j}-{\frac {1}{2}}\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} ,}$$ และ $${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}__{i}{\hat {R}__{j}\ ,}$$

ซึ่งทำให้เห็นความเชื่อมโยงกับพหุนามเลอจองเดอร์ที่ได้จากการขยายแบบมัลติโพลได้ชัดเจนยิ่งขึ้น กล่าวคือ ณ ที่นี้${\textstyle P_{2}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$

ในนิวเคลียสของอะตอม โมเมนต์ควอดรูโพลไฟฟ้าถูกใช้เป็นตัววัดความเอียงของนิวเคลียส โดยโมเมนต์ควอดรูโพลในนิวเคลียสจะกำหนดโดย โดย ที่คือตำแหน่งภายในนิวเคลียส และคือความหนาแน่นของประจุที่^{[ 6 ]}$${\displaystyle Q\equiv {\frac {1}{e}}\int r^{2}(\cos ^{2}(\theta )-1)\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

สนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยใช้แท่งโลหะสี่แท่งที่มีแรงดันไฟฟ้าที่ใช้เป็นพื้นฐานสำหรับเครื่องวิเคราะห์มวลควอดรูโพลซึ่งสนามไฟฟ้าจะแยกไอออนตามอัตราส่วนมวลต่อประจุ (m/z) ^{[ 7 ]}

แหล่งกำเนิดแม่เหล็กที่รู้จักทั้งหมดให้สนามแม่เหล็กแบบไดโพล อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะสร้างสนามแม่เหล็กแบบควอดรูโพลโดยการวางแม่เหล็กแท่งที่เหมือนกันสี่แท่งตั้งฉากกัน โดยให้ขั้วเหนือของแท่งหนึ่งอยู่ติดกับขั้วใต้ของอีกแท่งหนึ่ง การจัดเรียงเช่นนี้จะหักล้างโมเมนต์ไดโพลและให้โมเมนต์ควอดรูโพล และสนามของมันจะลดลงในระยะทางไกลได้เร็วกว่าสนามแม่เหล็กแบบไดโพล

ตัวอย่างของควอดรูโพลแม่เหล็ก ซึ่งประกอบด้วยแม่เหล็กถาวร แสดงอยู่ทางด้านขวาแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีการออกแบบเชิงแนวคิดที่คล้ายกัน (เรียกว่าแม่เหล็กควอดรูโพล ) มักใช้เพื่อโฟกัสลำแสงของอนุภาคที่มีประจุในเครื่องเร่งอนุภาคและสายส่งลำแสง ซึ่งเป็นวิธีการที่เรียกว่าการโฟกัสแบบแรงเนื่องจากโครงสร้างควอดรูโพลที่กำหนดจะเบี่ยงเบนอนุภาคที่มีประจุไปในทิศทางหนึ่งและโฟกัสพวกมันไปในอีกทิศทางหนึ่ง การใช้แม่เหล็กควอดรูโพลแบบสลับกันจะทำให้ลำแสงอนุภาคสามารถโฟกัสไปในทิศทางการเดินทางได้^{[ 8 ]} มีปลายขั้วเหล็กสี่อัน ขั้วแม่เหล็กเหนือสองอันที่อยู่ตรงข้ามกันและขั้วแม่เหล็กใต้สองอันที่อยู่ตรงข้ามกัน เหล็กจะถูกทำให้เป็นแม่เหล็กโดย กระแสไฟฟ้าขนาดใหญ่ที่ไหลในขดลวดของท่อที่พันรอบขั้ว

การเปลี่ยนแปลงของโมเมนต์ควอดรูโพลแม่เหล็กก่อให้เกิดการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า

ควอดรูโพลมวลนั้นคล้ายคลึงกับควอดรูโพลประจุไฟฟ้า โดยที่ความหนาแน่นของประจุจะถูกแทนที่ด้วยความหนาแน่นของมวล และเพิ่มเครื่องหมายลบเข้าไปเนื่องจากมวลมีค่าเป็นบวกเสมอและแรงเป็นแรงดึงดูด ศักย์โน้มถ่วงจึงแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )=-{\frac {G}{2|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}__{i}{\hat {R}__{j}\ .}$$

ตัวอย่างเช่น เนื่องจากโลกหมุนรอบตัวเอง โลกจึงมีรูปร่างแบน (แบนที่ขั้ว) ซึ่งทำให้โลกมีโมเมนต์ควอดรูโพลที่ไม่เป็นศูนย์ แม้ว่าการมีส่วนร่วมของโมเมนต์ควอดรูโพลนี้ต่อสนามโน้มถ่วงของโลกจะมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับดาวเทียมเทียมที่อยู่ใกล้โลก แต่ก็มีความสำคัญน้อยกว่าสำหรับดวงจันทร์ เนื่องจากเทอมนี้ลดลงอย่างรวดเร็ว ${\displaystyle {1}/{|\mathbf {R} |^{3}}}$

โมเมนต์ควอดรูโพลมวลยังมีความสำคัญในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ด้วย เพราะหากมันเปลี่ยนแปลงตามเวลา มันจะสามารถสร้างการแผ่รังสีโน้มถ่วงได้ คล้ายกับการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่เกิดจากการสั่นของไดโพลไฟฟ้าหรือแม่เหล็กและมัลติโพลที่สูงกว่า อย่างไรก็ตาม มีเพียงโมเมนต์ควอดรูโพลและโมเมนต์ที่สูงกว่าเท่านั้นที่สามารถแผ่รังสีโน้มถ่วงได้ โมเมนต์โมโนโพลมวลแสดงถึงมวล-พลังงานทั้งหมดในระบบ ซึ่งเป็นปริมาณอนุรักษ์ ดังนั้นจึงไม่แผ่รังสีออกมา ในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ไดโพลมวลสอดคล้องกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบ และอนุพันธ์อันดับแรกของมันแสดงถึงโมเมนตัมซึ่งเป็นปริมาณอนุรักษ์เช่นกัน ดังนั้นโมเมนต์ไดโพลมวลจึงไม่แผ่รังสีออกมาเช่นกัน อย่างไรก็ตาม โมเมนต์ควอดรูโพลมวลสามารถเปลี่ยนแปลงตามเวลาได้ และเป็นส่วนประกอบลำดับต่ำสุดของการแผ่รังสีโน้มถ่วง^{[ 9 ]}เนื่องจากมีเพียงโมเมนต์มัลติโพลมวลที่สูงกว่าโมเมนต์ไดโพลเท่านั้นที่สามารถมีส่วนร่วมในการแผ่รังสีโน้มถ่วงได้ การแผ่รังสีโน้มถ่วงจึงมีขนาดที่อ่อนกว่าการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าอย่างมาก^{[ 10 ]}ขนาดของรังสีโน้มถ่วงหรือคลื่นโน้มถ่วงสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรควอดรูโพลของไอน์สไตน์^{[ 11 ]}

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและสำคัญที่สุดของระบบแผ่รังสีคือจุดมวลสองจุดที่มีมวลเท่ากันโคจรรอบกันเป็นวงกลม ซึ่งเป็นการประมาณกรณีพิเศษของหลุมดำ คู่ เนื่องจากโมเมนต์ไดโพลมีค่าคงที่ เพื่อความสะดวก เราจึงสามารถวางจุดกำเนิดพิกัดไว้ตรงกลางระหว่างจุดทั้งสองได้ ในกรณีนี้ โมเมนต์ไดโพลจะเป็นศูนย์ และถ้าเราปรับขนาดพิกัดเพื่อให้จุดทั้งสองอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางหนึ่งหน่วยในทิศทางตรงกันข้าม โมเมนต์ควอดรูโพลของระบบก็จะเป็น ง่ายๆ ก็คือ $${\displaystyle Q_{ij}=M\left(3x_{i}x_{j}-|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}\right)}$$

โดยที่Mคือมวลของแต่ละจุดคือส่วนประกอบของเวกเตอร์ตำแหน่ง (หน่วย) ของจุดหนึ่ง และคือเดลต้าโครเนกเกอร์^{[ 12 ]}ขณะที่โคจร เวกเตอร์ x นี้จะหมุน ซึ่งหมายความว่าจะมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่ไม่เป็นศูนย์ และ อนุพันธ์อันดับสองที่ไม่เป็นศูนย์ด้วย(แน่นอนว่านี่เป็นความจริงไม่ว่าระบบพิกัดจะเลือกใช้แบบใดก็ตาม) ดังนั้น ระบบจะแผ่คลื่นความโน้มถ่วง พลังงานที่สูญเสียไปในลักษณะนี้ถูกสังเกตครั้งแรกในคาบการเปลี่ยนแปลงของระบบดาวคู่ฮัลส์-เทย์เลอร์ซึ่งเป็นพัลซาร์ที่โคจรรอบดาวนิวตรอนอีกดวงหนึ่งที่มีมวลใกล้เคียงกัน ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \displaystyle \เดลต้า _{ij}}$

เช่นเดียวกับที่ประจุไฟฟ้าและกระแสมัลติโพลมีส่วนช่วยในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า มวลและมวล-กระแสมัลติโพลมีส่วนช่วยในสนามโน้มถ่วงในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ทำให้เกิดปรากฏการณ์ที่เรียกว่า ผลกระทบ แรงโน้มถ่วงแม่เหล็กการเปลี่ยนแปลงมวล-กระแสมัลติโพลยังสามารถปล่อยรังสีโน้มถ่วงออกมาได้ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว การมีส่วนร่วมจากกระแสมัลติโพลจะมีขนาดเล็กกว่าการมีส่วนร่วมจากมวลควอดรูโพลมาก^{[ 13 ]}

การสรุปแบบสุดขั้ว ("จุดอ็อกโทโพล ") จะเป็นดังนี้: ประจุจุดสลับกันแปดจุดที่มุมทั้งแปดของ ทรง สี่เหลี่ยมด้านขนานเช่น ลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านa "โมเมนต์อ็อกโทโพล" ของการจัดเรียงนี้จะสอดคล้องกับเทนเซอร์แนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์อันดับสามใน "ขีดจำกัดอ็อกโทโพล" มัลติโพลที่สูงกว่า เช่น อันดับจะได้มาจากการจัดเรียงแบบไดโพล (ควอดรูโพล อ็อกโทโพล ...) ของไดโพลจุด (ควอดรูโพล อ็อกโทโพล ...) ไม่ใช่โมโนโพลจุดอันดับต่ำกว่าเช่น ${\textstyle \lim _{a\to 0}{a^{3}\cdot Q}\to {\text{const. }}}$${\displaystyle 2^{\ell }}$${\displaystyle 2^{\ell -1}}$

• การขยายแบบหลายขั้ว