ในทฤษฎีแบบจำลองซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์โครงสร้าง สองแบบMและN ที่มี ลายเซ็นσเดียวกันจะเรียกว่าสมมูลกันโดยพื้นฐาน หาก โครงสร้าง ทั้งสองนั้นสอดคล้องกับ ประโยคσอันดับแรก เดียวกัน

ถ้าNเป็นโครงสร้างย่อยของMมักจะต้องมีเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า ในกรณีนี้Nเรียกว่าโครงสร้างย่อยพื้นฐาน (elementary substructure ) ของM ถ้า สูตรσอันดับแรกφ ( a ₁ , …,  a _n ) ทุกสูตรที่มีพารามิเตอร์a ₁ , …,  a _nจากNเป็นจริงในNก็ต่อเมื่อเป็นจริงใน  M เท่านั้น ถ้าNเป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐานของMแล้วMเรียกว่าส่วนขยายพื้นฐานของ  Nการฝังh :  N  →  Mเรียกว่าการฝังพื้นฐานของNลงในMถ้าh ( N ) เป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐาน  ของ M

โครงสร้างย่อยNของMจะเป็นโครงสร้างพื้นฐานก็ต่อเมื่อผ่านการทดสอบ Tarski–Vaught เท่านั้น กล่าวคือ สูตรอันดับแรกφ ( x ,  b ₁ , …,  b _n ) ทุก สูตร ที่มีพารามิเตอร์ในNซึ่งมีคำตอบในMก็จะมีคำตอบใน  Nเมื่อประเมินใน  M ด้วยเช่นกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าโครงสร้างสองโครงสร้างนั้นเทียบเท่ากันในเชิงพื้นฐานด้วยเกม Ehrenfeucht–Fraïssé

การฝังข้อมูลขั้นพื้นฐานถูกนำมาใช้ในการศึกษาจำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่รวมถึงการฝังข้อมูลแบบลำดับชั้นต่อลำดับชั้น

โครงสร้าง MและNสองโครงสร้าง ที่มีลายเซ็น σเดียวกันนั้น  จะสมมูลกันโดยพื้นฐานก็ต่อเมื่อประโยคอันดับหนึ่ง (สูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระ) ทุกประโยคบน  σเป็นจริงในMก็ต่อเมื่อเป็นจริงในN เท่านั้น กล่าว คือ ถ้าMและNมีทฤษฎีอันดับหนึ่งที่สมบูรณ์ เหมือนกัน ถ้า MและNสมมูลกันโดยพื้นฐาน เราจะเขียนว่า M  ≡  N

ทฤษฎีอันดับแรกจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อแบบจำลองสองแบบใดๆ ของทฤษฎีนั้นสมมูลกันในเชิงพื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาภาษาที่มีสัญลักษณ์ความสัมพันธ์ทวิภาคหนึ่งตัวคือ '<' แบบจำลองRของจำนวนจริงที่มีลำดับปกติ และแบบจำลองQของจำนวนตรรกยะที่มีลำดับปกติ มีความสมมูลกันในเชิงพื้นฐาน เนื่องจากทั้งสองแบบจำลองตีความ '<' ว่าเป็นการเรียงลำดับเชิงเส้น หนาแน่นที่ไม่จำกัดขอบเขต ซึ่งเพียงพอที่จะรับประกันความสมมูลกันในเชิงพื้นฐาน เพราะทฤษฎีของการเรียงลำดับเชิงเส้นหนาแน่นที่ไม่จำกัดขอบเขตนั้นสมบูรณ์แล้ว ดังที่สามารถแสดงได้ด้วย การทดสอบ Łoś – Vaught

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีอันดับหนึ่งใดๆ ที่มีแบบจำลองอนันต์จะมีแบบจำลองที่ไม่สมมาตรแต่เทียบเท่ากันในเชิงพื้นฐาน ซึ่งสามารถหาได้จากทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลมตัวอย่างเช่น มีแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานของเลขคณิตพีอาโนซึ่งประกอบด้วยวัตถุอื่นๆ นอกเหนือจากตัวเลข 0, 1, 2 เป็นต้น แต่ก็ยังเทียบเท่ากับแบบจำลองมาตรฐานในเชิงพื้นฐาน

Nเป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐานหรือแบบจำลองย่อยพื้นฐานของMถ้าNและM เป็นโครงสร้างที่มี ลายเซ็น σเดียวกัน โดยที่สำหรับ สูตรσอันดับแรกทั้งหมดφ ( x ₁ , …,  x _n ) ที่มีตัวแปรอิสระx ₁ , …,  x _nและองค์ประกอบทั้งหมดa ₁ , …,  a _nของ  Nนั้นφ ( a ₁ , …,  a _n ) เป็นจริงในNก็ต่อเมื่อมันเป็นจริงในM : $${\displaystyle N\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}){\text{ ก็ต่อเมื่อ }}M\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}).}$$

คำจำกัดความนี้ปรากฏครั้งแรกใน Tarski, Vaught (1957) ^{[ 1 ]} ดังนั้นจึงสรุป ได้ ว่าNเป็นโครงสร้างย่อยของM

ถ้าNเป็นโครงสร้างย่อยของMแล้ว ทั้งNและMสามารถตีความได้ว่าเป็นโครงสร้างในรูปแบบลายเซ็นσ _Nซึ่งประกอบด้วยσพร้อมกับสัญลักษณ์ค่าคงที่ใหม่สำหรับแต่ละองค์ประกอบของ  Nดังนั้นNจะเป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐานของMก็ต่อเมื่อNเป็นโครงสร้างย่อยของMและNกับMมีความสมมูลกันในระดับพื้นฐานในฐานะโครงสร้าง σ _N

ถ้าNเป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐานของMเราจะเขียนN ∈ Mและกล่าวว่าMเป็นส่วนขยายพื้นฐานของN : M ∈ N${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle \succeq }$

ทฤษฎีบท Löwenheim–Skolemแบบลงล่างให้โครงสร้างย่อยพื้นฐานที่นับได้สำหรับโครงสร้างลำดับที่หนึ่งอนันต์ใดๆ ที่มีลายเซ็นที่นับได้มากที่สุด ในขณะที่ทฤษฎีบท Löwenheim–Skolem แบบขึ้นบนให้ส่วนขยายพื้นฐานของโครงสร้างลำดับที่หนึ่งอนันต์ใดๆ ที่มีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ

การทดสอบ Tarski–Vaught (หรือเกณฑ์ Tarski–Vaught ) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับโครงสร้างย่อยNของโครงสร้างMที่จะเป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐาน การทดสอบนี้มีประโยชน์สำหรับการสร้างโครงสร้างย่อยพื้นฐานของโครงสร้างขนาดใหญ่

ให้Mเป็นโครงสร้างลายเซ็นσและNเป็นโครงสร้างย่อยของMแล้วNเป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐานของMก็ต่อเมื่อสำหรับสูตรลำดับที่หนึ่งφ ( x ,  y ₁ , …,  y _n ) เหนือσและองค์ประกอบb ₁ , …,  b _n ทั้งหมด จากNถ้าM x φ ( x ,  b ₁ , …,  b _n ) แล้วจะมีองค์ประกอบaในNที่M φ ( a ,  b ₁ , …,  b _n ) ^{[ 2 ]}${\displaystyle \models }$${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \models }$

การ ฝัง โครงสร้างNลงในโครงสร้างM ที่มีลายเซ็น σเดียวกันอย่างง่ายคือ แผนที่h :  N  →  M โดยที่สำหรับทุก สูตรσอันดับแรกφ ( x ₁ , …,  x _n ) และทุกองค์ประกอบa ₁ , …,  a _nของ  N

N φ ( a ₁ , …,  a _n ) ก็ต่อเมื่อM φ ( h ( a ₁ ), …,  h ( a _n ))${\displaystyle \models }$${\displaystyle \models }$

การฝังตัวพื้นฐานทุกแบบเป็น โฮโม มอ ร์ฟิซึมที่แข็งแกร่งและเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างNกับโครงสร้างย่อยพื้นฐานของM

การฝังตัวแบบพื้นฐาน (Elementary embeddings) เป็นแผนที่ที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีแบบจำลอง ในทฤษฎีเซตการฝังตัวแบบพื้นฐานที่มีโดเมนเป็นV (เอกภพของทฤษฎีเซต) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของจำนวน เชิง คาร์ดินัลขนาดใหญ่ (ดูเพิ่มเติมที่จุดวิกฤต )