ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์พื้นฐานคือเมทริก ซ์จัตุรัส ที่ได้จากการใช้การดำเนินการแถวพื้นฐานเพียงครั้งเดียวกับเมทริกซ์เอกลักษณ์เมทริกซ์พื้นฐานสร้างกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปGL _n ( F )เมื่อFเป็นฟิลด์การคูณทางซ้าย (การคูณก่อน) ด้วยเมทริกซ์พื้นฐานแสดงถึงการดำเนินการแถวพื้นฐาน ที่สอดคล้องกัน ในขณะที่การคูณทางขวา (การคูณหลัง) แสดงถึงการดำเนินการคอลัมน์พื้นฐาน ที่สอดคล้อง กัน

การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานถูกนำมาใช้ในการกำจัดแบบเกาส์เพื่อลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวนอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนเพื่อลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูปอีก ด้วย

เมทริกซ์พื้นฐานมีสามประเภท ซึ่งสอดคล้องกับการดำเนินการแถวสามประเภท (หรือการดำเนินการคอลัมน์):

การสลับแถว

สามารถสลับแถวในเมทริกซ์กับแถวอื่นได้

${\displaystyle R_{i}\ลูกศรซ้ายขวา R_{j}}$

การคูณแถว

แต่ละองค์ประกอบในแถวสามารถคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ เรียกอีกอย่างว่าการปรับขนาดแถว

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{โดยที่ }}k\neq 0}$

การบวกแถว

แถวหนึ่งสามารถแทนที่ด้วยผลรวมของแถวนั้นกับผลคูณของอีกแถวหนึ่งได้

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{โดยที่ }}i\neq j}$

ถ้าEเป็นเมทริกซ์พื้นฐาน ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในการใช้การดำเนินการแถวพื้นฐานกับเมทริกซ์Aจะต้องคูณAด้วยเมทริกซ์พื้นฐานทางซ้ายEAเมทริกซ์พื้นฐานสำหรับการดำเนินการแถวใดๆ จะได้มาจากการดำเนินการกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ข้อเท็จจริงนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทโยเนดะที่ใช้กับหมวดหมู่ของเมทริกซ์^{[ 1 ]}

การดำเนินการแถวแบบแรกบนเมทริกซ์Aคือการสลับองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดในแถวiกับองค์ประกอบที่ตรงกันในแถวj ที่แตกต่างกัน เมทริกซ์พื้นฐานที่สอดคล้องกันได้มาจากการสลับแถวiและแถวjของเมท ริกซ์เอกลักษณ์

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

ดังนั้นT _i,j Aคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับแถวi และแถวjของA

ในแง่ของสัมประสิทธิ์ เมทริกซ์T _i,jถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle [T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}}$

• เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์นี้คือตัวมันเอง:${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$
• เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์คือหนึ่ง ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสA ใดๆ (ที่มีขนาดถูกต้อง) เราจะได้ ว่า${\displaystyle \det(T_{i,j})=-1.}$${\displaystyle \det(T_{i,j}A)=-\det(A).}$
• สำหรับการพิจารณาทางทฤษฎี การแปลงสลับแถวสามารถได้มาจากการแปลงบวกแถวและการคูณแถวที่กล่าวถึงด้านล่าง เนื่องจาก${\displaystyle T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).}$

การดำเนินการแถวประเภทถัดไปบนเมทริกซ์Aคือการคูณองค์ประกอบทั้งหมดในแถวที่iด้วยmโดยที่m เป็น สเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์(โดยปกติจะเป็นจำนวนจริง) เมทริกซ์พื้นฐานที่สอดคล้องกันคือเมทริกซ์แนวทแยง ซึ่งมีค่าในแนวทแยงเป็น 1 ทุกตำแหน่งยกเว้นตำแหน่งที่iซึ่งมีค่าเป็น m

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

ดังนั้นD _i ( m ) Aคือเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจากA โดยการคูณแถวที่iด้วยm

ในแง่ของสัมประสิทธิ์ เมทริกซ์ D _i ( m )ถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle [D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}}$

• เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์นี้หาได้จาก${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).}$
• เมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผันเป็นเมทริกซ์แนวทแยง
• ${\displaystyle \det(D_{i}(m))=m.}$ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสA (ที่มีขนาดถูกต้อง) เราจะได้ว่า${\displaystyle \det(D_{i}(m)A)=m\det(A).}$

การดำเนินการแถวแบบสุดท้ายบนเมทริกซ์Aคือการบวกแถวjที่คูณด้วยสเกลาร์mเข้ากับแถวiเมทริกซ์พื้นฐานที่สอดคล้องกันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ แต่มีmอยู่ในตำแหน่ง ( i, j )

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

ดังนั้นL _ij ( m ) Aคือเมทริกซ์ที่ได้จากAโดยการบวกแถวj จำนวน m ครั้ง เข้ากับแถวiและAL _ij ( m )คือเมทริกซ์ที่ได้จากAโดยการบวก คอลัมน์ i จำนวน mครั้งเข้ากับคอลัมน์ j

ในแง่ของสัมประสิทธิ์ เมทริกซ์L _i,j ( m )ถูกกำหนดโดย :

${\displaystyle [L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}}$

• การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็นรูปแบบหนึ่งของการทำแผนที่แบบเฉือนหรือที่เรียกว่าทรานส์เวคชั่น
• เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์นี้หาได้จาก${\displaystyle L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).}$
• เมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผันของมันเป็น เมทริก ซ์สามเหลี่ยม
• ${\displaystyle \det(L_{ij}(m))=1.}$ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสA (ที่มีขนาดถูกต้อง) เราจะได้ว่า${\displaystyle \det(L_{ij}(m)A)=\det(A)}$
• การแปลงแบบบวกแถวเป็นไปตามความสัมพันธ์ ของสไต น์ เบิร์ก

• การกำจัดแบบเกาส์เซียน
• พีชคณิตเชิงเส้น
• ระบบสมการเชิงเส้น
• เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)
• การแยกส่วนประกอบ LU
• เมทริกซ์ฟรอเบนิอุส