พิกัดทรงรี เป็น ระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก สามมิติ ที่ขยายความจาก ระบบพิกัดวงรีสองมิติแตกต่างจากพิกัดเชิงตั้งฉากสามมิติส่วนใหญ่ที่มี พื้นผิวพิกัด กำลังสอง ระบบพิกัดทรงรีนั้นใช้ ควอดริกแบบคอนโฟกัลเป็น พื้นฐาน${\displaystyle (\แลมบ์ดา ,\mu ,\nu )}$

พิกัดคาร์ทีเซียนสามารถสร้างขึ้นจากพิกัดทรงรีได้ โดยใช้สมการต่อไปนี้ ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\แลมบ์ดา ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

โดยที่ข้อจำกัดต่อไปนี้ใช้กับพิกัด

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

ดังนั้น พื้นผิวที่มีค่าคงที่จึงเป็นรูปทรงรี${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

ในขณะที่พื้นผิวที่มีค่าคงที่คือไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียว ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

เนื่องจากพจน์สุดท้ายทางด้านซ้ายเป็นค่าลบ และพื้นผิวที่มีค่าคงที่คือไฮเปอร์โบโลอิดที่มีสองแผ่น ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

เนื่องจากพจน์สองพจน์สุดท้ายทางด้านซ้ายเป็นค่าลบ

ระบบควอดริกเชิงตั้งฉากที่ใช้สำหรับพิกัดทรงรีคือควอดริกแบบคอนโฟกัล

เพื่อให้สมการด้านล่างกระชับ เราจึงแนะนำฟังก์ชันหนึ่งขึ้นมา

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

โดยที่สามารถแทนตัวแปรใดๆ ในสามตัวแปรนั้นได้ เมื่อใช้ฟังก์ชันนี้ เราสามารถเขียน ตัวประกอบมาตราส่วน ได้${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

ดังนั้น องค์ประกอบปริมาตรที่เล็กมากจึงเท่ากับ

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

และตัวดำเนินการลาปลาเซียนถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ เช่น และสามารถแสดงในพิกัดได้โดยการแทนที่ตัวประกอบมาตราส่วนลงในสูตรทั่วไปที่พบในพิกัดเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

มีการกำหนดพารามิเตอร์ทางเลือก (แต่ไม่ใช่แบบตั้งฉาก) ที่สอดคล้องกับการกำหนดพารามิเตอร์เชิงมุมของพิกัดทรงกลม อย่างใกล้ชิด : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=cs\cos \theta .}$

ในที่นี้พารามิเตอร์ของทรงรีศูนย์กลางร่วมรอบจุดกำเนิด และและคือมุมเชิงขั้วและเชิงมุมอะซิมุทตามปกติของพิกัดทรงกลม ตามลำดับ องค์ประกอบปริมาตรที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle s>0}$${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}$

• ละติจูดทรงรี
• โฟกัสลอยด์ (เปลือกที่กำหนดโดยพื้นผิวพิกัดสองพื้นผิว)
• การฉายภาพแผนที่ของทรงรีสามแกน

• Morse PM, Feshbach H (1953). วิธีการของฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เล่ม 1.นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า 663.
• Zwillinger D (1992). คู่มือการบูรณาการ . บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: โจนส์ แอนด์ บาร์ตเลตต์. หน้า 114. ISBN 0-86720-293-9.
• ซาวเออร์ อาร์, Szabó I (1967) แมทเธมาติส ฮิลฟ์สมิตเทล เด อินเฌอเนียร์ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ แวร์แล็ก. หน้า  101– 102. LCCN  67025285 .
• Korn GA, Korn TM (1961). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร . นิวยอร์ก: McGraw-Hill.  หน้า176. LCCN  59014456 .
• Margenau H, Murphy GM (1956). คณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และเคมี . นิวยอร์ก: D. van Nostrand. หน้า  178–180 . LCCN  55010911 .
• Moon PH, Spencer DE (1988). "พิกัดทรงรี (η, θ, λ)". คู่มือทฤษฎีสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (ฉบับแก้ไขครั้งที่ 2 และ 3). นิวยอร์ก: Springer Verlag. หน้า  40 –44 (ตาราง 1.10). ISBN 0-387-02732-7.

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodynamics of Continuous Media (เล่มที่ 8 ของหลักสูตรฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ) (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Pergamon Press. หน้า  19–29 . ISBN 978-0-7506-2634-7. ใช้พิกัด (ξ, η, ζ) ซึ่งมีหน่วยเป็นระยะทางยกกำลังสอง

• คำอธิบายพิกัดทรงรีแบบคอนโฟคอลจาก MathWorld