ในด้านการเข้ารหัสลับอั ลก อริทึมลายเซ็นดิจิทัลแบบเส้นโค้งวงรี ( ECDSA ) เป็นรูปแบบหนึ่งของอัลกอริทึมลายเซ็นดิจิทัล (DSA) ซึ่งใช้ การเข้ารหัส ลับ แบบเส้นโค้งวงรี

เช่นเดียวกับการเข้ารหัสแบบวงรีโดยทั่วไปขนาด บิต ของคีย์ส่วนตัวที่เชื่อว่าจำเป็นสำหรับ ECDSA นั้นมีขนาดประมาณสองเท่าของระดับความปลอดภัยในหน่วยบิต^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น ที่ระดับความปลอดภัย 80 บิต ซึ่งหมายความว่าผู้โจมตีต้องใช้การดำเนินการสูงสุดประมาณเพื่อค้นหาคีย์ส่วนตัว ขนาดของคีย์ส่วนตัว ECDSA จะเป็น 160 บิต ในทางกลับกัน ขนาดลายเซ็นจะเท่ากันสำหรับทั้ง DSA และ ECDSA: ประมาณบิต โดยที่คือเลขชี้กำลังในสูตรนั่นคือประมาณ 320 บิตสำหรับระดับความปลอดภัย 80 บิต ซึ่งเทียบเท่ากับการดำเนินการ ${\displaystyle 2^{80}}$${\displaystyle 4t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2^{t}}$${\displaystyle 2^{80}}$

สมมติว่าอลิซต้องการส่งข้อความที่ลงชื่อแล้วไปให้บ็อบในขั้นต้น พวกเขาต้องตกลงกันเกี่ยวกับพารามิเตอร์ของเส้นโค้งนอกจากฟิลด์และสมการของเส้นโค้งแล้ว เรายังต้องการจุดฐานที่มีอันดับเฉพาะบนเส้นโค้งด้วย โดยที่ คืออันดับการบวกของจุดนั้น ${\displaystyle ({\textrm {CURVE}},G,n)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$

พารามิเตอร์
เส้นโค้ง	สนามเส้นโค้งวงรีและสมการที่ใช้
จี	จุดฐานของเส้นโค้งวงรี จุดบนเส้นโค้งที่สร้างกลุ่มย่อยที่มีอันดับจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ n
n	อันดับจำนวนเต็มของGหมายความว่าโดยที่คือองค์ประกอบเอกลักษณ์ ${\displaystyle n\times G=O}$${\displaystyle O}$
${\displaystyle d_{A}}$	กุญแจส่วนตัว (เลือกแบบสุ่ม)
${\displaystyle Q_{A}}$	กุญแจสาธารณะ(คำนวณโดยใช้เส้นโค้งวงรี) ${\displaystyle d_{A}\times G}$
ม	ข้อความที่จะส่ง

อันดับของจุดฐานต้องเป็นจำนวนเฉพาะอันที่จริง เราสมมติว่าสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวในริง นั้น สามารถผกผันได้ ดังนั้น จึงต้องเป็นฟิลด์ซึ่งหมายความว่าต้องเป็นจำนวนเฉพาะ (ดูเอกลักษณ์ของเบซูต์ ประกอบ ) ${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$

อลิซสร้างคู่กุญแจ ซึ่งประกอบด้วยกุญแจส่วนตัวที่เป็นจำนวนเต็มที่ถูกเลือกแบบสุ่มในช่วงและกุญแจสาธารณะที่เป็นจุดบนเส้นโค้งเราใช้เพื่อแสดงถึงการคูณจุดบนเส้นโค้งวงรีด้วยค่าสเกลาร์ ${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle [1,n-1]}$${\displaystyle Q_{A}=d_{A}\times G}$${\displaystyle \times }$

ในการลงนามข้อความ อลิซต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้: ${\displaystyle m}$

1. คำนวณ(ในที่นี้ HASH คือฟังก์ชันแฮชเข้ารหัสลับเช่นSHA-2โดยผลลัพธ์จะถูกแปลงเป็นจำนวนเต็ม)${\displaystyle e={\textrm {HASH}}(m)}$
2. ให้เป็นบิตซ้ายสุดของโดยที่ คือความ ยาวบิตของลำดับกลุ่ม(โปรดทราบว่าอาจมากกว่าแต่ไม่ยาวกว่า^{[ 2 ]} )${\displaystyle z}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$
3. เลือกจำนวนเต็มสุ่มที่มีความปลอดภัยทางด้านการเข้ารหัสจาก ตัวเลือกที่มี อยู่${\displaystyle k}$${\displaystyle [1,n-1]}$
4. คำนวณจุดบนเส้นโค้ง${\displaystyle (x_{1},y_{1})=k\times G}$
5. คำนวณ. ถ้าให้กลับไปที่ขั้นตอนที่ 3${\displaystyle r=x_{1}\,{\bmod {\,}}n}$${\displaystyle r=0}$
6. คำนวณ. ถ้าให้กลับไปที่ขั้นตอนที่ 3${\displaystyle s=k^{-1}(z+rd_{A})\,{\bmod {\,}}n}$${\displaystyle s=0}$
7. ลายเซ็นนี้เป็นคู่(และเป็นลายเซ็นที่ถูกต้องตามกฎหมายด้วย)${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,-s\,{\bmod {\,}}n)}$

ตามบันทึกมาตรฐาน ไม่เพียงแต่จำเป็นต้องเก็บเป็นความลับเท่านั้น แต่ยังจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเลือกค่าที่แตกต่างกันสำหรับลายเซ็นที่แตกต่างกัน มิฉะนั้น สมการในขั้นตอนที่ 6 จะสามารถแก้หาค่า ซึ่งเป็นกุญแจส่วนตัวได้: เมื่อมีลายเซ็นสองแบบคือ และโดยใช้ค่าที่ไม่ทราบค่าเดียวกันสำหรับข้อความที่ทราบค่าต่างกันคือ และผู้โจมตีสามารถคำนวณค่าและ ได้และเนื่องจาก(การดำเนินการทั้งหมดในย่อหน้านี้ทำแบบโมดูลัส) ผู้โจมตีจึงสามารถหาค่า ได้เนื่องจากผู้โจมตีจึงสามารถคำนวณกุญแจส่วนตัวได้แล้ว ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,s')}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m'}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle ss'=k^{-1}(zz')}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k={\frac {zz'}{ss'}}}$${\displaystyle s=k^{-1}(z+rd_{A})}$${\displaystyle d_{A}={\frac {sk-z}{r}}}$

ความล้มเหลวในการใช้งานนี้ถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น เพื่อแยกคีย์ลงนามที่ใช้สำหรับเครื่องเล่นเกมPlayStation 3 ^{[ 3 ]}

อีกวิธีหนึ่งที่ลายเซ็น ECDSA อาจทำให้คีย์ส่วนตัวรั่วไหลคือเมื่อมีการสร้างโดยตัวสร้างเลขสุ่มที่ ผิดพลาด ความล้มเหลวในการสร้างเลขสุ่มดังกล่าวทำให้ผู้ใช้ Android Bitcoin Wallet สูญเสียเงินในเดือนสิงหาคม 2556 ^{[ 4 ]}${\displaystyle k}$

เพื่อให้แน่ใจว่าเป็นเอกลักษณ์สำหรับแต่ละข้อความ อาจข้ามการสร้างหมายเลขสุ่มไปโดยสิ้นเชิงและสร้างลายเซ็นแบบกำหนดได้โดยการอนุมานจากทั้งข้อความและคีย์ส่วนตัว^{[ 5 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

เพื่อให้บ็อบตรวจสอบความถูกต้องของลายเซ็นของอลิซในข้อความได้เขาต้องมีสำเนาจุดโค้งกุญแจสาธารณะของเธอบ็อบสามารถตรวจสอบได้ว่าจุดโค้งนั้นถูกต้องหรือไม่ดังนี้: ${\displaystyle r,s}$${\displaystyle m}$${\displaystyle Q_{A}}$${\displaystyle Q_{A}}$

1. ตรวจสอบว่าไม่เท่ากับองค์ประกอบเอกลักษณ์Oและพิกัดของมันถูกต้องตามข้อกำหนดอื่นๆ${\displaystyle Q_{A}}$
2. ตรวจสอบว่าเส้นนั้นอยู่บนเส้นโค้งหรือไม่${\displaystyle Q_{A}}$
3. ตรวจสอบดูสิ${\displaystyle n\times Q_{A}=O}$

หลังจากนั้น บ็อบก็ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ตรวจสอบว่าrและsเป็นจำนวนเต็มในถ้าไม่ใช่ ลายเซ็นจะไม่ถูกต้อง${\displaystyle [1,n-1]}$
2. คำนวณโดยที่ HASH คือฟังก์ชันเดียวกันกับที่ใช้ในการสร้างลายเซ็น${\displaystyle e={\textrm {HASH}}(m)}$
3. ให้เป็น บิต ซ้ายสุดของe${\displaystyle z}$${\displaystyle L_{n}}$
4. คำนวณและ.${\displaystyle u_{1}=zs^{-1}\,{\bmod {\,}}n}$${\displaystyle u_{2}=rs^{-1}\,{\bmod {\,}}n}$
5. คำนวณจุดบนเส้นโค้งถ้าเป็นเช่นนั้น ลายเซ็นจะไม่ถูกต้อง${\displaystyle (x_{1},y_{1})=u_{1}\times G+u_{2}\times Q_{A}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})=O}$
6. ลายเซ็นจะถูกต้องหาก... มิเช่นนั้นจะไม่ถูกต้อง${\displaystyle r\equiv x_{1}{\pmod {n}}}$

โปรดทราบว่าการใช้งานที่มีประสิทธิภาพจะคำนวณค่าผกผันเพียงครั้งเดียวเท่านั้น นอกจากนี้ การใช้เทคนิคของ Shamir ยังสามารถคำนวณผลรวมของการคูณสเกลาร์สองครั้งได้เร็วกว่าการคูณสเกลาร์สองครั้งที่ทำแยกกัน^{[ 6 ]}${\displaystyle s^{-1}\,{\bmod {\,}}n}$${\displaystyle u_{1}\times G+u_{2}\times Q_{A}}$

อาจไม่ใช่เรื่องชัดเจนในทันทีว่าเหตุใดการตรวจสอบจึงทำงานได้อย่างถูกต้อง เพื่อให้เข้าใจเหตุผล ให้กำหนดให้C เป็น จุดบนเส้นโค้งที่คำนวณได้ในขั้นตอนที่ 5 ของการตรวจสอบ

${\displaystyle C=u_{1}\times G+u_{2}\times Q_{A}}$

จากนิยามของกุญแจสาธารณะดังนี้ ${\displaystyle Q_{A}=d_{A}\times G}$

${\displaystyle C=u_{1}\times G+u_{2}d_{A}\times G}$

เนื่องจากการคูณสเกลาร์บนเส้นโค้งวงรีสามารถกระจายได้เมื่อเทียบกับการบวก

${\displaystyle C=(u_{1}+u_{2}d_{A})\times G}$

ขยายความหมายของและจากขั้นตอนการตรวจสอบที่ 4 ${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle C=(zs^{-1}+rd_{A}s^{-1})\times G}$

การรวบรวมคำศัพท์ทั่วไป ${\displaystyle s^{-1}}$

${\displaystyle C=(z+rd_{A})s^{-1}\times G}$

ขยายความหมายของsจากขั้นตอนการลงนามขั้นตอนที่ 6

${\displaystyle C=(z+rd_{A})(z+rd_{A})^{-1}(k^{-1})^{-1}\times G}$

เนื่องจากตัวผกผันของตัวผกผันคือตัวเดิม และผลคูณของตัวผกผันของตัวนั้นกับตัวเดิมคือเอกลักษณ์ ดังนั้นเราจึงเหลือเพียง

${\displaystyle C=k\times G}$

จากนิยามของrนี่คือขั้นตอนการตรวจสอบข้อที่ 6

นี่แสดงให้เห็นเพียงว่าข้อความที่ลงนามอย่างถูกต้องจะผ่านการตรวจสอบอย่างถูกต้องเท่านั้น คุณสมบัติอื่นๆ เช่น ข้อความที่ลงนามไม่ถูกต้องจะไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง และความต้านทานต่อ การโจมตี ทางด้านการเข้ารหัสเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับอัลกอริทึมลายเซ็นที่ปลอดภัย

เมื่อได้รับข้อความmและลายเซ็นของอลิซในข้อความนั้น บ็อบสามารถ (อาจจะ) กู้คืนคีย์สาธารณะของอลิซได้: ^{[ 7 ]}${\displaystyle r,s}$

1. ตรวจสอบว่าrและsเป็นจำนวนเต็มในถ้าไม่ใช่ ลายเซ็นจะไม่ถูกต้อง${\displaystyle [1,n-1]}$
2. คำนวณจุดบนเส้นโค้งที่เป็นหนึ่งในค่า, , ฯลฯ (โดยที่ไม่ใหญ่เกินไปสำหรับขอบเขตของเส้นโค้ง) และเป็นค่าที่ทำให้สมการของเส้นโค้งเป็นจริง โปรดทราบว่าอาจมีจุดบนเส้นโค้งหลายจุดที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ และ ค่า R ที่แตกต่างกันแต่ละค่าจะ ส่งผลให้ได้รหัสที่กู้คืนได้แตกต่างกัน${\displaystyle R=(x_{1},y_{1})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r+n}$${\displaystyle r+2n}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$
3. คำนวณโดยที่ HASH คือฟังก์ชันเดียวกันกับที่ใช้ในการสร้างลายเซ็น${\displaystyle e={\textrm {HASH}}(m)}$
4. ให้zเป็นบิตซ้ายสุดของe${\displaystyle L_{n}}$
5. คำนวณและ.${\displaystyle u_{1}=-zr^{-1}\,{\bmod {\,}}n}$${\displaystyle u_{2}=sr^{-1}\,{\bmod {\,}}n}$
6. คำนวณจุดบนเส้นโค้ง${\displaystyle Q_{A}=(x_{A},y_{A})=u_{1}\times G+u_{2}\times R}$
7. ลายเซ็นจะถูกต้องก็ต่อเมื่อตรงกับกุญแจสาธารณะของอลิซ${\displaystyle Q_{A}}$
8. ลายเซ็นจะไม่ถูกต้องหากได้ลองใช้ค่าR ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว และไม่มีค่าใดตรงกับกุญแจสาธารณะของอลิซ

โปรดทราบว่าลายเซ็นที่ไม่ถูกต้อง หรือลายเซ็นจากข้อความอื่น จะส่งผลให้ได้คีย์สาธารณะที่ไม่ถูกต้อง อัลกอริทึมการกู้คืนสามารถใช้ตรวจสอบความถูกต้องของลายเซ็นได้ก็ต่อเมื่อทราบคีย์สาธารณะของผู้ลงนาม (หรือแฮชของคีย์นั้น) ล่วงหน้าเท่านั้น

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความจากขั้นตอนการฟื้นฟูข้อที่ 6 ${\displaystyle Q_{A}}$

${\displaystyle Q_{A}=(x_{A},y_{A})=u_{1}\times G+u_{2}\times R}$

จากคำจำกัดความในขั้นตอนการลงนามข้อที่ 4 ${\displaystyle R=(x_{1},y_{1})=k\times G}$

${\displaystyle Q_{A}=u_{1}\times G+u_{2}k\times G}$

เนื่องจากการคูณสเกลาร์บนเส้นโค้งวงรีสามารถกระจายได้เมื่อเทียบกับการบวก

${\displaystyle Q_{A}=(u_{1}+u_{2}k)\times G}$

ขยายความหมายของ ขั้น ตอนการฟื้นฟูขั้นที่ 5 ${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle Q_{A}=(-zr^{-1}+skr^{-1})\times G}$

ขยายความหมายของsจากขั้นตอนการลงนามขั้นตอนที่ 6

${\displaystyle Q_{A}=(-zr^{-1}+k^{-1}(z+rd_{A})kr^{-1})\times G}$

เนื่องจากผลคูณของตัวผกผันขององค์ประกอบและองค์ประกอบนั้นคือเอกลักษณ์ ดังนั้นเราจึงเหลือเพียง

${\displaystyle Q_{A}=(-zr^{-1}+(zr^{-1}+d_{A}))\times G}$

พจน์แรกและพจน์ที่สองหักล้างกันเอง

${\displaystyle Q_{A}=d_{A}\times G}$

จากนิยามนี้นี่คือคีย์สาธารณะของอลิซ ${\displaystyle Q_{A}=d_{A}\times G}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความที่ลงนามอย่างถูกต้องจะสามารถกู้คืนคีย์สาธารณะที่ถูกต้องได้ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีการแบ่งปันข้อมูลเพิ่มเติมเพื่อคำนวณจุดโค้งจากค่าลายเซ็นrได้ อย่างเฉพาะเจาะจง${\displaystyle R=(x_{1},y_{1})}$

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2553 กลุ่มที่เรียกตัวเองว่าfail0verflowได้ประกาศการกู้คืนคีย์ส่วนตัว ECDSA ที่Sony ใช้ ในการลงนามซอฟต์แวร์สำหรับ เครื่องเล่นเกม PlayStation 3อย่างไรก็ตาม การโจมตีนี้ได้ผลก็ต่อเมื่อ Sony ไม่ได้นำอัลกอริทึมไปใช้อย่างถูกต้อง เนื่องจากเป็นแบบคงที่แทนที่จะเป็นแบบสุ่ม ดังที่ได้ชี้ให้เห็นใน ส่วน อัลกอริทึมการสร้างลายเซ็นข้างต้น ทำให้สามารถแก้ไขได้ ส่งผลให้อัลกอริทึมทั้งหมดไร้ประโยชน์^{[ 8 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle d_{A}}$

เมื่อวันที่ 29 มีนาคม พ.ศ. 2554 นักวิจัยสองคนได้ตีพิมพ์เอกสารIACR ^{[ 9 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสามารถดึงคีย์ส่วนตัว TLS ของเซิร์ฟเวอร์โดยใช้OpenSSLที่ตรวจสอบความถูกต้องด้วย Elliptic Curves DSA ผ่านฟิลด์ ไบนารี โดยใช้การโจมตีแบบจับเวลาได้ [ ^{10 ] ช่อง}โหว่นี้ได้รับการแก้ไขใน OpenSSL 1.0.0f ^{[ 11 ]}

ในเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2556 มีการเปิดเผยว่าข้อบกพร่องในการใช้งานคลาสSecureRandom ของ Javaบางส่วนบางครั้งทำให้เกิดการชนกันของค่า ซึ่งทำให้แฮกเกอร์สามารถกู้คืนคีย์ส่วนตัวได้ ทำให้พวกเขามีอำนาจควบคุมธุรกรรม Bitcoin เช่นเดียวกับเจ้าของคีย์ที่ถูกต้อง โดยใช้ช่องโหว่เดียวกันกับที่ใช้ในการเปิดเผยคีย์ลงนาม PS3 ใน การใช้งานแอป Android บาง แอป ซึ่งใช้ Java และอาศัย ECDSA ในการตรวจสอบความถูกต้องของธุรกรรม^{[ 12 ]}${\displaystyle k}$

ปัญหานี้สามารถป้องกันได้โดยการสร้างค่า k อย่างเป็นระบบตามที่อธิบายไว้ใน RFC 6979

ข้อกังวลบางประการเกี่ยวกับ ECDSA:

1. ข้อกังวลทางการเมือง : ความน่าเชื่อถือของ เส้นโค้งที่ผลิตโดย NISTถูกตั้งคำถามหลังจากมีการเปิดเผยว่าNSAจงใจแทรกช่องโหว่เข้าไปในซอฟต์แวร์ ส่วนประกอบฮาร์ดแวร์ และมาตรฐานที่เผยแพร่ นักเข้ารหัสลับที่มีชื่อเสียง^{[ 13 ]}ได้แสดง^{[ 14 ] [ 15 ]}ข้อสงสัยเกี่ยวกับวิธีการออกแบบเส้นโค้ง NIST และการปนเปื้อนโดยสมัครใจได้รับการพิสูจน์แล้วในอดีต^{[ 16 ] [ 17 ]} (ดูบทนำ ของเส้นโค้ง libssh curve25519ด้วย^{[ 18 ]} ) อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีหลักฐานว่าเส้นโค้ง NIST ที่กล่าวถึงนั้นใช้ประโยชน์จากจุดอ่อนที่หายาก
2. ข้อกังวลทางเทคนิค : ความยากลำบากในการนำมาตรฐานไปใช้อย่างถูกต้อง ความช้า และข้อบกพร่องในการออกแบบซึ่งลดความปลอดภัยในการนำไปใช้ที่ไม่ป้องกันเพียงพอ^{[ 19 ]}

ด้านล่างนี้คือรายชื่อไลบรารีการเข้ารหัสที่รองรับ ECDSA:

• โบตัน
• ปราสาทเป่าลม
• คริปต์ลิบ
• คริปโต++
• API การเข้ารหัส (ลินุกซ์)
• จีเอ็นทีแอลเอส
• libgcrypt
• ลิเบรเอสเอสแอล
• mbed TLS
• Microsoft CryptoAPI
• โอเพ่นเอสเอสแอล
• wolfCrypt

• เอ็ดดีเอสเอ
• RSA (ระบบเข้ารหัสลับ)

• คณะกรรมการมาตรฐานที่ได้รับการรับรองX9 ( ASC X9) ออกมาตรฐานใหม่สำหรับการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะ/ECDSAเมื่อวันที่ 6 ตุลาคม 2020 แหล่งที่มา
• คณะกรรมการมาตรฐานที่ได้รับการรับรองX9 , มาตรฐานแห่งชาติอเมริกัน X9.62-2005, การเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะสำหรับอุตสาหกรรมบริการทางการเงิน, อัลกอริทึมลายเซ็นดิจิทัลแบบเส้นโค้งวงรี (ECDSA) , 16 พฤศจิกายน 2005
• Certicom Research, มาตรฐานสำหรับการเข้ารหัสที่มีประสิทธิภาพ, SEC 1: การเข้ารหัสด้วยเส้นโค้งวงรี , เวอร์ชัน 2.0, 21 พฤษภาคม 2552
• López, J. และ Dahab, R. ภาพรวมของการเข้ารหัสด้วยเส้นโค้งวงรี , รายงานทางเทคนิค IC-00-10, มหาวิทยาลัยแห่งรัฐคัมปินาส, 2000.
• Daniel J. Bernstein , อัลกอริทึมการยกกำลังของ Pippenger , 2002
• Daniel RL Brown, Generic Groups, Collision Resistance, and ECDSA , Designs, Codes and Cryptography, 35 , 119–152, 2005. ePrint version
• Ian F. Blake, Gadiel Seroussi และNigel Smartบรรณาธิการ, Advances in Elliptic Curve Cryptography , London Mathematical Society Lecture Note Series 317, Cambridge University Press, 2005
• Hankerson, D.; Vanstone, S. ; Menezes, A. (2004). คู่มือการเข้ารหัสด้วยเส้นโค้งวงรี . Springer Professional Computing. นิวยอร์ก: Springer . doi : 10.1007/b97644 . ISBN 0-387-95273-XS2CID 720546​ ​

• มาตรฐานลายเซ็นดิจิทัล; รวมถึงข้อมูลเกี่ยวกับ ECDSA
• อัลกอริทึมลายเซ็นดิจิทัลแบบเส้นโค้งวงรี (ECDSA); ให้คำแนะนำเชิงลึกเกี่ยวกับ ECDSAลิงก์Wayback