ระยะทางพลังงานคือระยะทางทางสถิติระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็นถ้า X และ Y เป็นเวกเตอร์สุ่มอิสระในR ^dที่มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (cdf) F และ G ตามลำดับ ระยะทางพลังงานระหว่างการแจกแจง F และ G จะถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของ

${\displaystyle D^{2}(F,G)=2\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} \|XY\|-\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} \|XX'\|-\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} \|YY'\|\geq 0,}$

โดยที่ (X, X', Y, Y') เป็นอิสระต่อกัน ฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ของ X และ X' คือ F ฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ของ Y และ Y' คือ G คือค่าที่คาดหวังและ || . || หมายถึงความยาวของเวกเตอร์ ระยะทางพลังงานเป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดของเมตริก ดังนั้นระยะทางพลังงานจึงบ่งบอกถึงความเท่าเทียมกันของการกระจาย: D(F,G) = 0 ก็ต่อเมื่อF = G ระยะทางพลังงานสำหรับการประยุกต์ใช้ทางสถิติได้รับการแนะนำในปี 1985 โดยGábor J. Székelyซึ่งพิสูจน์ว่าสำหรับตัวแปรสุ่มค่าจริงนั้นมีค่าเป็นสองเท่าของระยะทาง Cramér พอดี : ^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle D^{2}(F,G)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(F(x)-G(x))^{2}\,dx.}$

สำหรับการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันอย่างง่าย โปรดดู Székely (2002) ^{[ 2 ]}

อย่างไรก็ตาม ในมิติที่สูงกว่า ระยะทางทั้งสองจะแตกต่างกัน เนื่องจากระยะทางพลังงานไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหมุน ในขณะที่ระยะทางของ Cramér ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหมุน (โปรดสังเกตว่าระยะทางของ Cramér ไม่เหมือนกับเกณฑ์ Cramér–von Mises ที่ไม่ขึ้นกับการกระจายตัว )

เราสามารถขยายแนวคิดเรื่องระยะทางพลังงานไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็นบนปริภูมิเมตริกได้ ให้เป็นปริภูมิเมตริกที่มีพีชคณิตซิกมาของบอเรลให้แทนกลุ่มของการวัดความน่าจะเป็น ทั้งหมด บนปริภูมิที่วัดได้ถ้า μ และ ν เป็นการวัดความน่าจะเป็นในแล้วระยะทางพลังงานของ μ และ ν สามารถนิยามได้ว่าเป็นรากที่สองของ ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D^{2}(\mu ,\nu )=2\operatorname {E} [d(X,Y)]-\operatorname {E} [d(X,X')]-\operatorname {E} [d(Y,Y')].}$

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอไป ถ้าเป็นเคอร์เนลที่มีค่าลบแน่นอนอย่างเข้มข้น แสดงว่า เป็นเมตริกและในทางกลับกัน^{[ 3 ]}เงื่อนไขนี้แสดงออกมาโดยการกล่าวว่ามีประเภทเป็นลบ ประเภทเป็นลบไม่เพียงพอสำหรับที่จะ เป็นเมตริก เงื่อนไขหลังนี้แสดงออกมาโดยการกล่าวว่ามีประเภทเป็นลบอย่างเข้มข้น ในสถานการณ์นี้ ระยะทางพลังงานเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ X และ Y มีการกระจายเหมือนกัน ตัวอย่างของเมตริกประเภทเป็นลบแต่ไม่ใช่ประเภทเป็นลบอย่างเข้มข้นคือระนาบที่มีเมตริกแท็กซี่พื้นที่ยุคลิดทั้งหมดและแม้แต่พื้นที่ฮิลเบิร์ตที่แยกได้ก็มีประเภทเป็นลบอย่างเข้มข้น^{[ 4 ]}${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (M,d)}$

ในเอกสารเกี่ยวกับวิธีเคอร์เนลสำหรับการเรียนรู้ของเครื่องแนวคิดทั่วไปของระยะทางพลังงานเหล่านี้ได้รับการศึกษาภายใต้ชื่อความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยสูงสุด ความเท่าเทียมกันของวิธีการตามระยะทางและเคอร์เนลสำหรับการทดสอบสมมติฐานได้รับการกล่าวถึงโดยผู้เขียนหลายคน^{[ 5 ] [ 6 ]}

แนวคิดทางสถิติที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือแนวคิดของE-statisticหรือenergy-statistic ^{[ 7 ]}ได้รับการแนะนำโดยGábor J. Székelyในช่วงทศวรรษ 1980 เมื่อเขาบรรยายในงานสัมมนาที่บูดาเปสต์ ประเทศฮังการี และที่ MIT, Yale และ Columbia แนวคิดนี้อิงตามแนวคิดของพลังงานศักยภาพ ของนิว ตัน^{[ 8 ]}แนวคิดคือการพิจารณาการสังเกตทางสถิติว่าเป็นเทหวัตถุบนท้องฟ้าที่อยู่ภายใต้พลังงานศักยภาพ ทางสถิติ ซึ่งเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อสมมติฐานว่าง ทางสถิติพื้นฐาน เป็นจริงเท่านั้น สถิติพลังงานเป็นฟังก์ชันของระยะห่างระหว่างการสังเกตทางสถิติ

ระยะทางพลังงานและสถิติ E ถูกพิจารณาว่าเป็น ระยะทาง Nและสถิติ Nใน Zinger AA, Kakosyan AV, Klebanov LB การกำหนดลักษณะของการแจกแจงโดยใช้ค่าเฉลี่ยของสถิติบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเมตริกความน่าจะเป็นบางอย่าง ปัญหาเสถียรภาพสำหรับแบบจำลองสุ่ม มอสโก VNIISI, 1989, 47-55 (เป็นภาษารัสเซีย) การแปลภาษาอังกฤษ: การกำหนดลักษณะของการแจกแจงโดยใช้ค่าเฉลี่ยของสถิติและเมตริกความน่าจะเป็นบางอย่าง AA Zinger, AV Kakosyan, LB Klebanov ในวารสารคณิตศาสตร์โซเวียต (1992) ในเอกสารเดียวกันนี้ได้มีการให้คำจำกัดความของเคอร์เนลที่เป็นลบอย่างเข้มข้น และให้การวางนัยทั่วไปบนปริภูมิเมตริกที่กล่าวถึงข้างต้น หนังสือ^{[ 3 ]}ให้ผลลัพธ์เหล่านี้และการประยุกต์ใช้กับการทดสอบทางสถิติเช่นกัน หนังสือเล่มนี้ยังมีการประยุกต์ใช้บางอย่างในการกู้คืนการวัดจากศักยภาพของมันด้วย

พิจารณาสมมติฐานว่างที่ว่าตัวแปรสุ่มสองตัวXและYมีการแจกแจงความน่าจะเป็นเดียวกัน: . สำหรับตัวอย่างทางสถิติจากXและY : ${\displaystyle \mu =\nu }$

${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$และ,${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของระยะทางระหว่างตัวอย่าง X และ Y จะถูกคำนวณดังนี้:

${\displaystyle A:={\frac {1}{nm}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\|x_{i}-y_{j}\|,B:={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\|x_{i}-x_{j}\|,C:={\frac {1}{m^{2}}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\|y_{i}-y_{j}\|}$.

ค่าสถิติ E ของสมมติฐานว่างพื้นฐานถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle E_{n,m}(X,Y):=2A-B-C}$

สามารถพิสูจน์ได้^{[ 8 ] [ 9 ]}ว่าและค่าประชากรที่สอดคล้องกันเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อXและYมีการกระจายเดียวกัน ( ) ภายใต้สมมติฐานว่างนี้สถิติการทดสอบ${\displaystyle E_{n,m}(X,Y)\geq 0}$${\displaystyle \mu =\nu }$

${\displaystyle T={\frac {nm}{n+m}}E_{n,m}(X,Y)}$

ลู่เข้าสู่การกระจายตัวในรูปแบบกำลังสองของตัวแปรสุ่มปกติ มาตรฐานอิสระ ภายใต้สมมติฐานทางเลือกTมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ ซึ่งทำให้สามารถสร้างการทดสอบทางสถิติ ที่สอดคล้องกันได้ นั่น คือการทดสอบพลังงานสำหรับการกระจายตัวที่เท่ากัน^{[ 10 ]}

นอกจากนี้ยังสามารถนำค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สม่ำเสมอ E มาใช้ได้ด้วย โดยค่านี้จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ และกำหนดโดยสูตรดังนี้

${\displaystyle H={\frac {D^{2}(F_{X},F_{Y})}{2\operatorname {\operatorname {E} } \|X-Y\|}}={\frac {2\operatorname {E} \|X-Y\|-\operatorname {E} \|X-X'\|-\operatorname {E} \|Y-Y'\|}{2\operatorname {\operatorname {E} } \|X-Y\|}},}$

โดยที่ หมายถึงค่าที่คาดหวังH  = 0 ก็ต่อเมื่อXและYมีการกระจายตัวแบบเดียวกัน ${\displaystyle \operatorname {E} }$

มาตรวัดความเหมาะสมของแบบจำลองหลายตัวแปรถูกกำหนดขึ้นสำหรับแบบจำลองที่มีมิติใดๆ ก็ได้ (ไม่จำกัดด้วยขนาดของกลุ่มตัวอย่าง) สถิติความเหมาะสมของแบบจำลองด้านพลังงานคือ

${\displaystyle Q_{n}=n\left({\frac {2}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \|x_{i}-X\|^{\alpha }-\operatorname {E} \|X-X'\|^{\alpha }-{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\|x_{i}-x_{j}\|^{\alpha }\right),}$

โดยที่ X และ X' เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันตามการกระจายที่สมมติขึ้น และเงื่อนไขที่จำเป็นเพียงอย่างเดียวคือ X มีโมเมนต์จำกัดภายใต้สมมติฐานว่าง ภายใต้สมมติฐานว่างและการกระจายแบบอะซิมโทติกของ Q _nเป็นรูปแบบกำลังสองของตัวแปรสุ่มเกาส์เซียนที่มีศูนย์กลาง ภายใต้สมมติฐานทางเลือก Q _nมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์แบบสุ่ม และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดการทดสอบที่สอดคล้องกันทางสถิติ สำหรับการใช้งานส่วนใหญ่สามารถใช้เลขชี้กำลัง 1 (ระยะทางแบบยุคลิด) ได้ กรณีพิเศษที่สำคัญของการทดสอบความปกติแบบหลายตัวแปร^{[ 9 ]}ได้รับการนำไปใช้ใน แพ็คเกจ พลังงานสำหรับ R การทดสอบยังได้รับการพัฒนาสำหรับการกระจายแบบหางหนัก เช่น Pareto ( กฎกำลัง ) หรือการกระจายแบบเสถียรโดยการใช้เลขชี้กำลังใน (0,1) ${\displaystyle \alpha \in (0,2)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \operatorname {E} Q_{n}=\operatorname {E} \|X-X'\|^{\alpha }}$

แอปพลิเคชันต่างๆ ได้แก่:

• การจัดกลุ่มแบบลำดับชั้น (การขยายความของวิธีการของ Ward) ^{[ 11 ] [ 12 ]}
• การทดสอบความปกติแบบหลายตัวแปร^{[ 9 ]}
• การทดสอบสมมติฐานหลายตัวอย่างของการกระจายที่เท่ากัน^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• การตรวจจับจุดเปลี่ยน^{[ 16 ]}
• ความเป็นอิสระของตัวแปรหลายตัว:
  • ^{ความ สัมพันธ์}ระยะทาง [ ^{17 ]}
  • ความแปรปรวนร่วม แบบบราวน์^{[ 18 ]}
• กฎการให้คะแนน :

Gneiting และ Raftery ^{[ 19 ]}ใช้ระยะทางพลังงานเพื่อพัฒนากฎการให้คะแนนที่เหมาะสมแบบใหม่และทั่วไปมากสำหรับการคาดการณ์ความน่าจะเป็น ซึ่งก็คือคะแนนพลังงาน

• สถิติที่แข็งแกร่ง^{[ 20 ]}
• การลดสถานการณ์^{[ 21 ]}
• การคัดเลือกยีน^{[ 22 ]}
• การวิเคราะห์ข้อมูลไมโครอาร์เรย์^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}
• การวิเคราะห์โครงสร้างวัสดุ^{[ 26 ]}
• ข้อมูลทางสัณฐานวิทยาและเคมีวิเคราะห์^{[ 27 ]}

การประยุกต์ ใช้ สถิติพลังงานได้รับการนำไปใช้ในแพ็คเกจพลังงาน โอเพนซอร์ส ^{[ 28 ]}สำหรับR