ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎี สองทฤษฎีจะมีความสอดคล้องกันอย่างเท่าเทียมกันหากความสอดคล้องของทฤษฎีหนึ่งบ่งชี้ถึงความสอดคล้องของอีกทฤษฎีหนึ่ง และในทางกลับกันในกรณีนี้ กล่าวโดยคร่าวๆ คือ ทฤษฎีทั้งสองมีความสอดคล้องกัน "เท่าเทียมกัน"

โดยทั่วไปแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องสัมบูรณ์ของทฤษฎีTแต่เรามักจะเลือกทฤษฎีSที่เชื่อว่ามีความสอดคล้อง แล้วพยายามพิสูจน์ข้อความที่อ่อนกว่าว่า ถ้าSมีความสอดคล้องแล้วTก็ต้องมีความสอดคล้องด้วย—ถ้าเราทำได้ เราจะกล่าวว่าTมีความสอดคล้องเมื่อเทียบกับ Sและถ้าSมีความสอดคล้องเมื่อเทียบกับTด้วย เราจะกล่าวว่าSและTมีความสอดคล้องเท่ากัน

ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเชิงรูปธรรมจะถูกศึกษาในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์เนื่องจากบางทฤษฎีมีประสิทธิภาพมากพอที่จะสร้างแบบจำลองวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ จึงเป็นเรื่องปกติที่จะสงสัยเกี่ยวกับความสอดคล้องของทฤษฎี เหล่านั้น เอง

ฮิลเบิร์ตได้เสนอโครงการ หนึ่ง ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ซึ่งเป้าหมายสูงสุดคือการแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องของคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากสาขาวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่สามารถลดทอนลงเหลือเพียงเลขคณิตได้ โครงการนี้จึงกลายเป็นการพิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิตด้วยวิธีการที่สามารถกำหนดเป็นทางการได้ภายในเลขคณิตเอง

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลแสดงให้เห็นว่าโปรแกรมของฮิลเบิร์ตไม่สามารถเกิดขึ้นได้จริง: หาก ทฤษฎี ที่นับได้ด้วยการคำนวณและสอดคล้องกัน นั้นแข็งแกร่งพอที่จะกำหนด รูปแบบทางอภิ คณิตศาสตร์ ของตนเอง(ไม่ว่าสิ่งนั้นจะเป็นการพิสูจน์หรือไม่) กล่าวคือแข็งแกร่งพอที่จะจำลองส่วนย่อยที่อ่อนแอของเลขคณิต ( เลขคณิตของโรบินสันก็เพียงพอแล้ว) แล้วทฤษฎีนั้นก็ไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องกันของตนเองได้ มีข้อควรระวังทางเทคนิคบางประการเกี่ยวกับข้อกำหนดที่ข้อความที่เป็นทางการซึ่งแสดงถึงข้อความทางอภิคณิตศาสตร์ "ทฤษฎีนั้นสอดคล้องกัน" จำเป็นต้องปฏิบัติตาม แต่ผลลัพธ์ก็คือ หากทฤษฎี (ที่แข็งแกร่งเพียงพอ) สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องกันของตนเองได้แล้ว ก็ไม่มีวิธีการคำนวณใดที่จะระบุได้ว่าข้อความนั้นเป็นสัจพจน์ของทฤษฎีหรือไม่ หรือไม่ก็ทฤษฎีนั้นเองก็ไม่สอดคล้องกัน (ในกรณีนี้มันสามารถพิสูจน์อะไรก็ได้ รวมถึงข้อความเท็จ เช่น ความสอดคล้องกันของตนเอง)

จากข้อมูลนี้ แทนที่จะพิจารณาความสอดคล้องโดยตรง เรามักจะพิจารณาความสอดคล้องเชิงสัมพัทธ์: ให้SและTเป็นทฤษฎีเชิงรูปธรรม สมมติว่าS เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกัน แล้ว Tจะสอดคล้องด้วยหรือไม่? ถ้าใช่แสดงว่าT สอดคล้องเมื่อเทียบกับ S ทฤษฎีสองทฤษฎีจะมีความสอดคล้องเท่ากัน หากแต่ละทฤษฎีสอดคล้องเมื่อเทียบกับอีกทฤษฎีหนึ่ง

ถ้าTมีความสอดคล้องกันเมื่อเทียบกับSแต่ไม่ทราบว่าS มีความสอดคล้องกันเมื่อเทียบกับ Tหรือไม่ เราจะกล่าวว่าSมีความแข็งแกร่งของความสอดคล้อง กัน มากกว่าTเมื่อพูดถึงประเด็นเรื่องความแข็งแกร่งของความสอดคล้องกันนั้น จำเป็นต้องพิจารณาถึงทฤษฎีเชิงอภิปรัชญาที่ใช้ในการอภิปรายอย่างรอบคอบ สำหรับทฤษฎีในระดับเลขคณิตอันดับสองโปรแกรมคณิตศาสตร์ย้อนกลับมีส่วนสำคัญอย่างมาก ประเด็นเรื่องความแข็งแกร่งของความสอดคล้องกันเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีเซต โดยทั่วไป เนื่องจากเป็น ทฤษฎี ที่คำนวณได้และสามารถจำลองคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ได้อย่างแน่นอน ชุดของสัจพจน์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในทฤษฎีเซตเรียกว่าZFC เมื่อ กล่าวว่าข้อความทางทฤษฎีเซตA มีความสอดคล้องกันเท่ากับข้อความ Bสิ่งที่กล่าวอ้างจริง ๆ ก็คือ ในทฤษฎีเชิงอภิปรัชญา ( ในกรณีนี้ คือเลขคณิตของ Peano ) สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎี ZFC+ Aและ ZFC+ Bมีความสอดคล้องกันเท่ากัน โดยปกติแล้ว เราสามารถใช้ เลขคณิตแบบเรียกซ้ำดั้งเดิมเป็นทฤษฎีหลักได้ แต่ถึงแม้ว่าทฤษฎีหลักจะเป็น ZFC หรือส่วนขยายของมัน แนวคิดนี้ก็ยังมีความหมาย วิธีการบังคับช่วยให้สามารถแสดงได้ว่าทฤษฎี ZFC, ZFC+CH และ ZFC+¬CH ล้วนมีความสอดคล้องกันอย่างเท่าเทียมกัน (โดยที่ CH หมายถึงสมมติฐานความต่อเนื่อง )

เมื่อกล่าวถึงส่วนย่อยของ ZFC หรือส่วนขยายของมัน (ตัวอย่างเช่น ZF ทฤษฎีเซตที่ไม่มีสัจพจน์ของการเลือก หรือ ZF+AD ทฤษฎีเซตที่มีสัจพจน์ของการกำหนด ) แนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้นจะถูกปรับเปลี่ยนให้เหมาะสม ดังนั้น ZF จึงมีความสอดคล้องเท่าเทียมกับ ZFC ดังที่เกอเดลได้แสดงไว้

ความแข็งแกร่งของความสอดคล้องของข้อความเชิงการจัดเรียงจำนวนมากสามารถวัดได้โดยใช้จำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่ตัวอย่างเช่น:

• การปฏิเสธสมมติฐานของคุเรปานั้นสอดคล้องกับการมีอยู่ของจำนวนนับที่ไม่สามารถเข้าถึงได้
• การไม่มีอยู่ของต้นไม้ พิเศษ - Aronszajn นั้นสอดคล้องกับการมีอยู่ของจำนวนคาร์ดินัลMahlo อย่างเท่าเทียมกัน${\displaystyle \omega _{2}}$
• การไม่มีอยู่ของต้นไม้ -Aronszajnสอดคล้องกับการมีอยู่ของคาร์ดินัลที่กระชับอย่างอ่อน^{[ 1 ]}${\displaystyle \omega _{2}}$

• ทรัพย์สินคาร์ดินัลขนาดใหญ่