ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพลศาสตร์เชิงซ้อน เซตที่หลุดพ้นของฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle f}$ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ภายใต้การประยุกต์ใช้ซ้ำๆของ${\displaystyle f}$[ ^{1 ] นั่น} คือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$เป็นส่วนหนึ่งของเซตที่หลุดพ้นได้ก็ต่อเมื่อลำดับที่กำหนดโดย${\displaystyle z_{n+1}:=f(z_{n})}$ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อ${\displaystyle n}$มีขนาดใหญ่ขึ้น ชุดที่หลบหนีของ${\displaystyle f}$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle I(f)}$[ ^{1 ]​}

ตัวอย่างเช่น สำหรับ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ต้นกำเนิด${\displaystyle z=0}$เป็นส่วนหนึ่งของเซตที่หลุดพ้น เนื่องจากลำดับ${\displaystyle 0,1,e,e^{e},e^{e^{e}},\dots }$มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์

การวนซ้ำของฟังก์ชันเอนไทรเอนทิตีเหนือธรรมชาติได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยPierre Fatouในปี พ.ศ. 2469 ^{[ 2 ]} เซตที่หลุดพ้นเกิดขึ้นโดยปริยายในการศึกษาฟังก์ชันเอนไทรเอนทิตีที่ชัดเจนของเขา${\displaystyle f(z)=z+1+\exp(-z)}$และ${\displaystyle f(z)=c\sin(z)}$.

การ^{ศึกษาครั้ง}แรก เกี่ยว^กับเซต^{หลุดพ้น}สำหรับ^{ฟังก์ชัน}เอนไทร...​​^{​​​​​​}​​​^​

Eremenko ยังถามอีกว่าจุดหลบหนีทุกจุดสามารถเชื่อมต่อกับอนันต์ได้ด้วยเส้นโค้งในเซตหลบหนีหรือไม่ ต่อมามีการแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่เช่นนั้น อันที่จริง มีฟังก์ชันทั้งหมดที่มีเซตหลบหนีที่ไม่มีเส้นโค้งเลย^{[ 4 ​​]}

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นที่ทราบกันว่าใช้ได้กับเซตหลุดออกของฟังก์ชันเอนไทร์ที่ไม่คงที่และไม่เป็นเชิงเส้นใดๆ (ในที่นี้ไม่เป็นเชิงเส้นหมายความว่าฟังก์ชันนั้นไม่ได้อยู่ในรูปแบบ...)${\displaystyle f(z)=az+b}$.)

• เซตที่หลุดพ้นประกอบด้วยจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด^{[ a ]}
• ขอบเขตของเซตที่หลุดออกไปคือเซตจูเลีย [ ^{b ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง เซตที่หลุดออกไปจะไม่ปิดเลย
• สำหรับฟังก์ชันเอนไทร์แบบเหนือธรรมชาติ เซตที่หลุดพ้นจะตัดกับเซตจูเลียเสมอ^{[ c ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตที่หลุดพ้นจะเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f}$เป็นพหุนาม
• ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันทุกส่วนของการปิดของเซตที่หลุดออกไปนั้นไม่มีขอบเขต^{[ d ]}
• เซตที่หลุดออกไปจะมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่ไม่จำกัดเสมอ^{[ 1 ]}
• เซตที่หลุดออกไปนั้นเชื่อมต่อกันหรือมีส่วนประกอบจำนวนอนันต์^{[ 6 ]}
• ชุด${\displaystyle I(f)\cup \{\infty \}}$เชื่อมต่อแล้ว^{[ 6 ]}

โปรดทราบว่าข้อความสุดท้ายไม่ได้หมายความถึงสมมติฐานของเอเรเมนโก (อันที่จริง มีพื้นที่เชื่อมต่อกันอยู่ ซึ่งหากกำจัดจุดกระจาย เพียงจุดเดียว พื้นที่ที่เหลือก็จะไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิง)

• อัลกอริทึมการพล็อตสำหรับเซตแมนเดลบร็อต §  อัลกอริทึมเวลาหลบหนี
• ชุดเป้าหมาย

• Lasse Rempe . "บทกวีว่าด้วยสมมติฐานของ Eremenko "