ในทฤษฎีกราฟเซตครอบงำนิรันดร์สำหรับกราฟG  =  ( V , E ) คือเซตย่อยDของVโดยที่Dเป็นเซตครอบงำซึ่งมีผู้เฝ้ารักษาเคลื่อนที่อยู่ ณ จุดเริ่มต้น (ผู้เฝ้ารักษาจะอยู่ที่จุดยอดใด ๆ ได้มากที่สุดหนึ่งคน) เซตDต้องเป็นเซตที่สำหรับลำดับการโจมตีที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องที่จุดยอดต่างๆ เซตDสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการย้ายผู้เฝ้ารักษาจากจุดยอดที่อยู่ติดกันไปยังจุดยอดที่ถูกโจมตี โดยมีเงื่อนไขว่าจุดยอดที่ถูกโจมตีไม่มีผู้เฝ้ารักษาอยู่ ณ เวลาที่ถูกโจมตี การจัดเรียงของผู้เฝ้ารักษาหลังจากการโจมตีแต่ละครั้งต้องทำให้เกิดเซตครอบงำขึ้นจำนวนครอบงำนิรันดร์ ( G )คือจำนวนจุดยอดขั้นต่ำที่เป็นไปได้ในเซตเริ่มต้นDตัวอย่างเช่น จำนวนครอบงำนิรันดร์ของวงจรบนจุดยอดห้าจุดคือสาม  

ปัญหาเซตครอบงำนิรันดร์ หรือที่รู้จักกันในชื่อปัญหาการครอบงำนิรันดร์และปัญหาความปลอดภัยนิรันดร์ สามารถตีความได้ว่าเป็นเกมเชิงการจัดเรียงที่เล่นระหว่างผู้เล่นสองคนที่ผลัดกันเล่น: ฝ่ายป้องกัน ซึ่งเลือกเซตครอบงำเริ่มต้นDและตัวป้องกันที่จะส่งไปในแต่ละการโจมตีที่เกิดขึ้นที่จุดยอดที่ไม่มีตัวป้องกัน และฝ่ายโจมตี ซึ่งเลือกจุดยอดที่จะถูกโจมตีในตาของตน ฝ่ายโจมตีจะชนะเกมหากพวกเขาสามารถเลือกจุดยอดที่จะถูกโจมตีได้โดยที่ไม่มีตัวป้องกันอยู่ที่จุดยอดนั้นหรือจุดยอดข้างเคียง ฝ่ายป้องกันจะชนะในกรณีอื่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฝ่ายโจมตีจะชนะเกมหากพวกเขาสามารถโจมตีจุดยอดได้โดยที่การโจมตีนั้นไม่สามารถป้องกันได้

ดังที่กล่าวไว้ใน Klostermeyer & Mynhardt (2015b)ปัญหาเซตครอบงำนิรันดร์มีความเกี่ยวข้องกับปัญหาเซิร์ฟเวอร์k ตัวในวิทยาการคอมพิวเตอร์

ปัญหาการครอบงำนิรันดร์ (Eternal Domination Problem ) ได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาโบราณในการป้องกันทางทหารที่อธิบายไว้ในชุดบทความของArquilla & Fredricksen (1995) , ReVelle & Rosing (2000)และStewart (1999)โดยได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี 2004 ในบทความของBurger et al. (2004)ต่อมามีการตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับปัญหาการครอบงำนิรันดร์โดยGoddard, Hedetniemi & Hedetniemi (2005)ซึ่งได้แนะนำรูปแบบหนึ่งของปัญหาที่เรียกว่าm -eternal domination โดยที่ทหารยามทั้งหมดสามารถเคลื่อนที่ไปยังจุดยอดที่อยู่ติดกันได้หากต้องการ เพื่อตอบสนองต่อการโจมตี ตราบใดที่ทหารยามอย่างน้อยหนึ่งคนเคลื่อนที่ไปยังจุดยอดที่ถูกโจมตี (โดยสมมติว่าไม่มีทหารยามอยู่ที่จุดยอดที่ถูกโจมตี มิฉะนั้นไม่จำเป็นต้องมีทหารยามคนใดเคลื่อนที่) หลังจาก บทความของ Goddard, Hedetniemi & Hedetniemi (2005)บทความจำนวนมากจากผู้เขียนคนอื่นๆ ก็ปรากฏในวารสารทางคณิตศาสตร์ ในบทความต่อมาเหล่านี้ ได้มีการเสนอรูปแบบเพิ่มเติมของปัญหาการครอบงำนิรันดร์หลายรูปแบบ รวมถึงปัญหาการครอบคลุมจุดยอดนิรันดร์ ปัญหาเซตอิสระนิรันดร์ เซตครอบงำทั้งหมดนิรันดร์ เซตครอบงำที่เชื่อมต่อกันนิรันดร์ และเซตครอบงำนิรันดร์ในแบบจำลองการขับไล่ (แบบจำลองหลังนี้กำหนดว่าเมื่อเกิดการโจมตี จุดยอดที่มีผู้เฝ้ารักษาและผู้เฝ้ารักษาจะต้องย้ายไปยังจุดยอดข้างเคียงที่ไม่มีผู้เฝ้ารักษา หากมีอยู่) บทความสำรวจที่อธิบายผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับปัญหาการครอบงำนิรันดร์และรูปแบบต่างๆ ของปัญหานี้สามารถพบได้ในKlostermeyer & Mynhardt (2015b )

ให้Gเป็นกราฟที่มี จุดยอด n  ≥  1 โดยทั่วไปแล้ว จำนวนการครอบงำนิรันดร์จะมีค่าอย่างน้อยที่สุดเท่ากับจำนวนการครอบงำ γ( G ) ในบทความของ Goddard, Hedetniemi และ Hedetniemi ได้พิสูจน์ว่าจำนวนการครอบงำนิรันดร์จะมีค่าอย่างน้อยที่สุดเท่ากับจำนวนความเป็นอิสระของGและอย่างมากที่สุดเท่ากับจำนวนการครอบคลุมคลิกของG (จำนวนการครอบคลุมคลิกของGเท่ากับจำนวนสีของส่วนเติมเต็มของG ) ดังนั้น จำนวนการครอบงำนิรันดร์ของGจึงเท่ากับจำนวนการครอบคลุมคลิกของGสำหรับกราฟสมบูรณ์ทั้งหมด เนื่องจากทฤษฎีบทกราฟสมบูรณ์มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าจำนวนการครอบงำนิรันดร์ของGเท่ากับจำนวนการครอบคลุมคลิกของGสำหรับกราฟประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท เช่น กราฟส่วนโค้งวงกลม (ตามที่พิสูจน์ในRegan (2007) ) และกราฟอนุกรมขนาน (ตามที่พิสูจน์ในAnderson et al. (2007) ) Goddard, Hedetniemi และ Hedetniemi ยังได้แสดงให้เห็นกราฟที่จำนวนการครอบงำชั่วนิรันดร์ของกราฟนั้นน้อยกว่าจำนวนการครอบคลุมคลิกอีกด้วย

Klostermeyer & MacGillivray (2007)พิสูจน์แล้วว่าจำนวนการครอบงำนิรันดร์ของกราฟที่มีจำนวนความเป็นอิสระαมีค่าไม่เกินα ( α  +  1)/2 Goldwasser & Klostermeyer (2008)พิสูจน์แล้วว่ามีกราฟจำนวนอนันต์ที่จำนวนการครอบงำนิรันดร์มีค่าเท่ากับα ( α  +  1)/2 พอดี

Goddard, Hedetniemi และ Hedetniemi พิสูจน์ว่าจำนวนการครอบงำนิรันดร์m ซึ่งแสดงด้วย γ ^m ( G ) มีค่าสูงสุดเท่ากับจำนวนความเป็นอิสระของGดังนั้น พารามิเตอร์การครอบงำนิรันดร์จึงเข้ากันได้ดีกับห่วงโซ่พารามิเตอร์การครอบงำที่มีชื่อเสียง ดู( Haynes, Hedetniemi & Slater 1998a )ดังต่อไปนี้:

γ( G ) ≤ γ ^ม ( G ) ≤ α( G ) ≤ γ ( G ) ≤ θ ( G )

โดยที่θ ( G ) แทนจำนวนการครอบคลุมคลิกของGและγ ( G ) แทนจำนวนการครอบงำนิรันดร์

ขอบเขตบนของ ⌈ n /2⌉ บนγ ^m ( G ) สำหรับกราฟที่มีnจุดยอดได้รับการพิสูจน์แล้วในChambers, Kinnersly & Prince (2006)ดูเพิ่มเติมที่Klostermeyer & Mynhardt (2015b )

จำนวน การครอบงำแบบ m -eternal ในกราฟตารางได้รับความสนใจ โดยได้รับแรงบันดาลใจจากความสนใจที่มอบให้กับจำนวนการครอบงำของกราฟตาราง ดู Haynes, Hedetniemi & Slater (1998a)และGoncalves et al. (2011)จำนวน การครอบงำแบบ m -eternal ในกราฟตารางได้รับการศึกษาครั้งแรกในGoldwasser, Klostermeyer & Mynhardt (2013)ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

γ ^m = ⌈2 n /3⌉ สำหรับตาราง 2 x n โดยที่ n  ≥  2

และ

γ ^m ≤ ⌈8 n /9⌉ สำหรับกริด ขนาด 3 x n

ส่วนหลังได้รับการปรับปรุงในFinbow, Messinger & van Bommel (2015)เป็น

1 + ⌈4 n /5⌉ ≤ γ ^ม ≤ 2 + ⌈4 n /5⌉

เมื่อn ≥ 11 ขอบเขตนี้ได้รับการปรับปรุงเล็กน้อยในภายหลังโดยMessinger & Delaney (2015)ในบางกรณี สุดท้าย ขอบเขตดังกล่าวได้รับการปิดในFinbow & van Bommel (2020)ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

γ ^m = ⌈(4 n +7)/5⌉ สำหรับn  ≥  22

กรณีของตารางขนาด 4xn และ 5xn ได้รับการพิจารณาในBeaton, Finbow & MacDonald (2013)และvan Bommel & van Bommel (2016)ตามลำดับ

Braga, de Souza & Lee (2015)พิสูจน์ว่าγ ^m = αสำหรับกราฟช่วงเวลาที่เหมาะสมทั้งหมด และผู้เขียนกลุ่มเดียวกันนี้ยังพิสูจน์ด้วยว่า (ดูBraga, de Souza & Lee (2016))มีกราฟ Cayleyที่ จำนวนการครอบงำนิรันดร์ mไม่เท่ากับจำนวนการครอบงำ ซึ่งขัดแย้งกับข้ออ้างในGoddard, Hedetniemi & Hedetniemi (2005 )

ตามที่Klostermeyer & Mynhardt (2015b)กล่าวไว้ หนึ่งในคำถามสำคัญที่ยังหาคำตอบไม่ได้คือ: มีกราฟG อยู่ หรือไม่ที่γ ( G ) เท่ากับจำนวนการครอบงำชั่วนิรันดร์ของGและγ ( G ) น้อยกว่าจำนวนการครอบคลุมคลิกของG ? Klostermeyer & Mynhardt (2015a)พิสูจน์แล้วว่ากราฟดังกล่าวจะต้องมีรูปสามเหลี่ยมและต้องมีดีกรีสูงสุดของจุดยอดอย่างน้อยสี่

เช่นเดียวกับสมมติฐานของ Vizingเกี่ยวกับเซตที่ครอบคลุม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าสำหรับกราฟGและH ทั้งหมดนั้น

${\displaystyle \gamma _{\infty }(G\,\Box \,H)\geq \gamma _{\infty }(G)\gamma _{\infty }(H).}$

เป็นที่ทราบกันดีว่าขอบเขตที่คล้ายคลึงกันนั้นไม่เป็นจริงสำหรับกราฟGและH ทั้งหมด สำหรับ ปัญหาการครอบงำแบบนิรันดร์ mดังที่แสดงในKlostermeyer & Mynhardt (2015a )

ดักลาส เวสต์ได้ระบุคำถามสำคัญสองข้อที่ยังเปิดอยู่เกี่ยวกับการครอบครองนิรันดร์ไว้ดังนี้กล่าวคือ ว่าγ ( G ) เท่ากับจำนวนการครอบคลุมคลิกสำหรับกราฟระนาบG ทั้งหมดหรือไม่ และว่าγ ( G ) สามารถถูกจำกัดค่าต่ำสุดโดยจำนวน Lovászหรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชัน Lovász theta ได้ หรือไม่

ในเอกสารสำรวจของ Klostermeyer & Mynhardt (2015b)ยังมีคำถามเปิดอีกหลายข้อรวมถึงคำถามมากมายเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของเซตครอบงำนิรันดร์ที่กล่าวถึงข้างต้น