ในทฤษฎีวิเคราะห์ของเศษส่วนต่อเนื่องสูตรเศษส่วนต่อเนื่องของออยเลอร์เป็นเอกลักษณ์ที่เชื่อมโยงอนุกรมอนันต์ ทั่วไปบางอย่าง กับเศษส่วนต่อเนื่อง อนันต์ ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1748 ในตอนแรกถือว่าเป็นเอกลักษณ์ง่ายๆ ที่เชื่อมโยงผลรวมจำกัดกับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดในลักษณะที่การขยายไปสู่กรณีอนันต์นั้นชัดเจนในทันที^{[ 1 ]}ปัจจุบันได้รับการยอมรับอย่างเต็มที่ว่าเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการโจมตีเชิงวิเคราะห์ในปัญหาการลู่เข้า ทั่วไป สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ที่มีองค์ประกอบเชิงซ้อน

ออยเลอร์ได้คิดค้นสูตรนี้ขึ้นมาโดยเชื่อมโยงผลรวมจำกัดของผลคูณเข้ากับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}\left(1+a_{1}\left(1+a_{2}\left(\cdots +a_{n}\right)\cdots \right)\right)&=a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,\end{aligned}}}$

เอกลักษณ์นี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้การอุปมานบนnและดังนั้นจึงสามารถนำไปใช้ได้ในลิมิต: หากนิพจน์ทางด้านซ้ายขยายเพื่อแสดงอนุกรมอนันต์ลู่เข้านิพจน์ทางด้านขวาก็สามารถขยายเพื่อแสดงเศษส่วนต่อเนื่อง อนันต์ลู่เข้า ได้ เช่นกัน

สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้สัญลักษณ์เศษส่วนต่อเนื่องแบบทั่วไป :

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\cfrac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\cdots {\frac {-a_{n}}{1+a_{n}}}.}$

ถ้าr และเป็นจำนวนเชิงซ้อน และxถูกกำหนดโดย

${\displaystyle x=1+\sum _{i=1}^{\infty }r_{1}r_{2}\cdots r_{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}r_{j}\right)\,,}$

ดังนั้น ความเท่าเทียมกันนี้จึงสามารถพิสูจน์ได้โดยวิธีการอุปมาน

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {r_{1}}{1+r_{1}-{\cfrac {r_{2}}{1+r_{2}-{\cfrac {r_{3}}{1+r_{3}-\ddots }}}}}}}}\,}$.

ในที่นี้ ความเท่าเทียมกันจะต้องเข้าใจในแง่ของความสมมูล ในแง่ที่ว่าการลู่เข้าครั้งที่nของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละเศษส่วนเท่ากับ ผลรวมย่อยครั้งที่ nของอนุกรมที่แสดงข้างต้น ดังนั้นหากอนุกรมที่แสดงลู่เข้า–หรือ เข้า อย่างสม่ำเสมอเมื่อrเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนz บางตัว –เศษส่วนต่อเนื่องก็จะลู่เข้าหรือลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอเช่นกัน^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบท: ให้${\displaystyle n}$เป็นจำนวนธรรมชาติสำหรับ${\displaystyle n+1}$ค่าที่ซับซ้อน${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\prod _{j=0}^{k}a_{j}={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\cdots {\frac {-a_{n}}{1+a_{n}}}}$

และสำหรับ${\displaystyle n}$ค่าที่ซับซ้อน${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$, ${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n}}{1+b_{n}}}\neq -1.}$

พิสูจน์: เราใช้วิธีอุปนัยสองชั้น สำหรับ${\displaystyle n=1}$เรามี

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}}}={\frac {a_{0}}{1+{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}}}}}={\frac {a_{0}(1+a_{1})}{1}}=a_{0}+a_{0}a_{1}=\sum _{k=0}^{1}\prod _{j=0}^{k}a_{j}}$

และ

${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}}}\neq -1.}$

สมมติว่าข้อความทั้งสองเป็นจริงสำหรับบางกรณี${\displaystyle n\geq 1}$.

เรามี ${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}={\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+x}}}$ที่ไหน${\displaystyle x={\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\neq -1}$

โดยการนำสมมติฐานการเหนี่ยวนำไปใช้กับ${\displaystyle b_{2},\ldots ,b_{n+1}}$.

แต่ถ้า${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+x}}=-1}$หมายความว่า${\displaystyle b_{1}=1+b_{1}+x}$หมายความว่า${\displaystyle x=-1}$ความขัดแย้ง ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\neq -1,}$

เสร็จสิ้นขั้นตอนปฐมนิเทศนั้นแล้ว

โปรดทราบว่าสำหรับ${\displaystyle x\neq -1}$,

${\displaystyle {\frac {1}{1+}}\,{\frac {-a}{1+a+x}}={\frac {1}{1-{\frac {a}{1+a+x}}}}={\frac {1+a+x}{1+x}}=1+{\frac {a}{1+x}};}$

ถ้า${\displaystyle x=-1-a}$ถ้าเช่นนั้นทั้งสองข้างจะเป็นศูนย์

โดยใช้ ${\displaystyle a=a_{1}}$และ${\displaystyle x={\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}\neq -1}$และนำสมมติฐานการเหนี่ยวนำไปใช้กับค่าต่างๆ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n+1}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}+&a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n+1}\\&=a_{0}+a_{0}(a_{1}+a_{1}a_{2}+\cdots +a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n+1})\\&=a_{0}+a_{0}{\big (}{\frac {a_{1}}{1+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&=a_{0}{\big (}1+{\frac {a_{1}}{1+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&=a_{0}{\big (}{\frac {1}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}},\end{aligned}}}$

เสร็จสิ้นขั้นตอนปฐมนิเทศอื่นๆ

ตัวอย่างเช่น นิพจน์${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}}$สามารถนำมาเรียงใหม่ให้เป็นเศษส่วนต่อเนื่องได้

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}\\[8pt]={}&a_{0}(a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1)\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{\cfrac {1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}+{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{3}+1}}}}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{3}+1}}+{\cfrac {a_{3}+1}{a_{3}+1}}-{\cfrac {a_{3}}{a_{3}+1}}}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{3}}{1+a_{3}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

หลักการนี้สามารถนำไปใช้กับลำดับที่มีความยาวใดๆ ก็ได้ และดังนั้นจึงสามารถใช้ได้ในกรณีอนันต์ด้วยเช่นกัน

• การขยายตัวของเองเกล
• เศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์
• รายชื่อหัวข้อที่ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์