ในคณิตศาสตร์ของ อนุกรม ลู่เข้าและลู่ออก ผล รวม ของออยเลอร์เป็นวิธีการหาผลรวม กล่าวคือ เป็นวิธีการกำหนดค่าให้กับอนุกรม ซึ่งแตกต่างจากวิธีการหาลิมิตของผลรวมย่อยแบบดั้งเดิม หากอนุกรม Σ a _n ถูกกำหนดมา ถ้าการแปลงออยเลอร์ ของอนุกรมลู่ เข้าสู่ผลรวม ผลรวมนั้นเรียกว่าผลรวมออยเลอร์ของอนุกรมเดิม นอกจากจะใช้ในการกำหนดค่าสำหรับอนุกรมลู่ออกแล้ว ผลรวมของออยเลอร์ยังสามารถใช้เพื่อเร่งการลู่เข้าของอนุกรมได้อีกด้วย

การหาผลรวมแบบออยเลอร์สามารถขยายความได้เป็นกลุ่มวิธีที่เรียกว่า (E, q ) โดยที่q ≥ 0 ผลรวม (E, 1) คือผลรวมแบบออยเลอร์ทั่วไป วิธีเหล่านี้ทั้งหมดอ่อนกว่าการหาผลรวมแบบโบเรล อย่างเคร่งครัด สำหรับq > 0 วิธีเหล่านี้ไม่สามารถเปรียบเทียบกับการหาผลรวมแบบอาเบลได้

สำหรับค่าy บางค่า เราอาจกำหนดผลรวมออยเลอร์ (ถ้ามันลู่เข้าสำหรับค่าy นั้น ) ที่สอดคล้องกับการหาผลรวมเชิงรูปแบบเฉพาะได้ดังนี้:

${\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}a_{j}.}$

หากผลรวมเชิงรูปธรรมทั้งหมดลู่เข้าจริง ๆ ผลรวมของออยเลอร์จะเท่ากับด้านซ้ายมือ อย่างไรก็ตาม การใช้ผลรวมของออยเลอร์สามารถเร่งการลู่เข้าได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีประโยชน์สำหรับอนุกรมสลับเครื่องหมาย) และบางครั้งก็สามารถให้ความหมายที่เป็นประโยชน์แก่ผลรวมที่ลู่เข้าได้เช่นกัน

เพื่อยืนยันแนวทางนี้ โปรดสังเกตว่าสำหรับผลรวมที่สลับกัน ผลรวมของออยเลอร์จะลดลงเหลืออนุกรมเริ่มต้น เพราะว่า

${\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.}$

วิธีการนี้ไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ด้วยการประยุกต์ใช้ซ้ำๆ เนื่องจาก

${\displaystyle _{E_{y_{1}}}{__{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .}$

• เมื่อใช้y = 1 สำหรับผลรวมเชิงรูปธรรมเราจะได้ว่าถ้าP _kเป็นพหุนามดีกรีkโปรดสังเกตว่าผลรวมภายในจะเป็นศูนย์สำหรับi > kดังนั้นในกรณีนี้ การหาผลรวมแบบออยเลอร์จะลดอนุกรมอนันต์ให้เป็นผลรวมจำกัด$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)}$$$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j),}$$
• ตัวเลือกเฉพาะนี้ให้การแสดงผลที่ชัดเจนของจำนวนเบอร์นูลลีเนื่องจาก( ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ) อันที่จริง ผลรวมอย่างเป็นทางการในกรณีนี้จะลู่เข้าเนื่องจากkเป็นบวก แต่การใช้ผลรวมของออยเลอร์กับฟังก์ชันซีตา (หรือที่จริงแล้วกับฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ที่เกี่ยวข้อง ) จะได้ (ดูอนุกรมลู่เข้าทั่วโลก ) ซึ่งมี รูป แบบปิด$${\displaystyle P_{k}(เจ):=(j+1)^{k}}$$$${\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{k+1}}=-\เซตา (-k)}$$$${\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}}$$
• ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}}$

ด้วยการเลือกค่าy ที่เหมาะสม (เช่น เท่ากับหรือใกล้เคียงกับ − ⁠)1/zอนุกรมนี้ลู่เข้าสู่1/1 − z⁠ .

• การแปลงทวินาม
• ผลรวมของโบเรล
• การสรุปผลแบบเซซาโร
• ผลรวมของแลมเบิร์ต
• สูตรของเพอร์รอน
• ทฤษฎีบทอาเบเลียนและทอเบเรียน
• สูตรอาเบล-พลานา
• สูตรการหาผลรวมของอาเบล
• การเปลี่ยนแปลงของฟาน ไวจ์นการ์เดน
• ผลรวมออยเลอร์-บูล