ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีหมวดหมู่ หมวดหมู่ที่แม่นยำ (exact category ) คือหมวดหมู่ที่มีลำดับที่แม่นยำสั้น (short exact sequences ) แนวคิดนี้มาจากแดเนียล ควิลเลนและถูกออกแบบมาเพื่อรวบรวมคุณสมบัติของลำดับที่แม่นยำสั้นในหมวดหมู่แบบอาเบเลียน (abelian categories)โดยไม่จำเป็นต้องให้มอร์ฟิซึมมีเคอร์เนล (kernels) และโคเคอร์เนล (cokernels)ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับนิยามปกติของลำดับดังกล่าว

หมวดหมู่ที่แน่นอนEคือหมวดหมู่แบบบวกที่มีคลาสEของ "ลำดับที่แน่นอนสั้น ๆ": กลุ่มของวัตถุสามชิ้นที่เชื่อมต่อกันด้วยลูกศร

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

โดยสอดคล้องกับสัจพจน์ต่อไปนี้ ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากคุณสมบัติของลำดับที่แน่นอนสั้น ๆในหมวดหมู่แบบอาเบเลียน :

• Eปิดภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมและประกอบด้วยลำดับแคนอนิก ("แยกส่วนที่แน่นอน"):

${\displaystyle M'\to M'\oplus M''\to M'';}$

• สมมติว่าปรากฏเป็นลูกศรตัวที่สองของลำดับในE (ซึ่งเป็นเอพิโมร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ ) และเป็นลูกศรใดๆ ในEแล้วพูลแบ็ก ของพวกมัน มีอยู่ และการฉายภาพไปยัง ก็เป็นเอพิโมร์ฟิซึมที่ ยอมรับได้เช่นกัน ในทางกลับกันถ้าปรากฏเป็นลูกศรตัวแรกของลำดับในE (ซึ่งเป็นโมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ ) และเป็นลูกศรใดๆ แล้วพุชเอาท์ ของพวกมัน มีอยู่ และการฉายภาพร่วมจากก็เป็นโมโนมอร์ฟิซึม ที่ยอมรับได้เช่นกัน (เรากล่าวว่าเอพิโมร์ฟิซึมที่ยอมรับได้นั้น "เสถียรภายใต้พูลแบ็ก" และโมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้นั้น "เสถียรภายใต้พุชเอาท์")${\displaystyle M\to M''}$${\displaystyle N\to M''}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M'\to M}$${\displaystyle M'\to N}$${\displaystyle N}$
• โมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้คือเคอร์เนลของเอพิมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ที่สอดคล้องกัน และในทางกลับกัน การประกอบกันของโมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้สองตัวก็ยอมรับได้เช่นกัน (เช่นเดียวกับเอพิมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้)
• สมมติว่าเป็นแผนที่ในEซึ่งยอมรับเคอร์เนลในEและสมมติว่าเป็นแผนที่ใดๆ ที่การประกอบกันเป็นเอพิโมฟิซึมที่ยอมรับได้ ดังนั้น ก็เป็นเช่น กัน ในทำนองเดียวกัน ถ้ายอมรับโคเคอร์เนลและเป็นเช่นนั้นที่เป็นโมโนโมฟิซึมที่ยอมรับได้ ดังนั้น ก็เป็นเช่นกัน${\displaystyle M\to M''}$${\displaystyle N\to M}$${\displaystyle N\to M\to M''}$${\displaystyle M\to M''.}$${\displaystyle M'\to M}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle M'\to M\to N}$${\displaystyle M'\to M.}$

โดยทั่วไปแล้ว โมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้จะถูกแสดงด้วยและเอพิมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้จะถูกแสดงด้วย สัจพจน์เหล่านี้ไม่ใช่สัจพจน์ขั้นต่ำ อันที่จริง เบอร์นาร์ด เคลเลอร์ ( 1990 ) ได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสัจพจน์สุดท้ายนั้นซ้ำซ้อน ${\displaystyle \rightarrowtail }$${\displaystyle \twoheadrightarrow .}$

เราสามารถพูดถึงฟังก์ชันที่แน่นอนระหว่างหมวดหมู่ที่แน่นอนได้เช่นเดียวกับกรณีของฟังก์ชันที่แน่นอนของหมวดหมู่แบบอาเบเลียน: ฟังก์ชันที่แน่นอนจากหมวดหมู่ที่แน่นอนDไปยังอีกหมวดหมู่หนึ่งEคือฟังก์ชันบวกซึ่งถ้า ${\displaystyle F}$

${\displaystyle M'\rightarrowtail M\twoheadrightarrow M''}$

ถ้า D มีค่าที่แน่นอน ก็แสดงว่า Dมีค่าที่แน่นอนแล้ว

${\displaystyle F(M')\rightarrowtail F(M)\twoheadrightarrow F(M'')}$

มีความแม่นยำในEถ้าDเป็นหมวดหมู่ย่อยของEมันจะเป็นหมวดหมู่ย่อยที่แม่นยำก็ต่อเมื่อฟังก์ชันการรวม มีความซื่อตรง และแม่นยำ อย่างสมบูรณ์

หมวดหมู่ที่แน่นอนมาจากหมวดหมู่แบบอาเบเลียนในลักษณะต่อไปนี้ สมมติว่าAเป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียน และให้Eเป็น หมวดหมู่ย่อยแบบบวก ที่สมบูรณ์อย่างเคร่งครัดซึ่งปิดภายใต้การขยายในความหมายที่ว่า เมื่อกำหนดลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

ถ้า อยู่ ในAแล้ว ถ้าอยู่ในE แล้ว ก็อยู่ใน A เช่นกันเราสามารถกำหนดให้คลาสEเป็นเพียงลำดับในEที่เป็นลำดับที่แน่นอนในAก็ได้ กล่าวคือ ${\displaystyle M',M''}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

อยู่ในE iff

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

มีความแม่นยำในAดังนั้นE จึง เป็นหมวดหมู่ที่แม่นยำในความหมายข้างต้น เราตรวจสอบสัจพจน์:

• Eปิดภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมและมีลำดับที่แน่นอนแบบแยกส่วนอยู่ภายใน: ซึ่งเป็นจริงตามคำนิยาม เนื่องจากในหมวดหมู่อาเบเลียน ลำดับใดๆ ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับลำดับที่แน่นอนก็จะเป็นลำดับที่แน่นอนด้วย และเนื่องจากลำดับแบบแยกส่วนเป็นลำดับที่แน่นอนในA เสมอ
• เอพิโมร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ (หรือโมโนโมร์ฟิซึมที่ยอมรับได้) มีเสถียรภาพภายใต้พูลแบ็ก (หรือพุชเอาต์): เมื่อกำหนดลำดับที่แน่นอนของวัตถุในEแล้ว

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {f}}M\to M''\to 0,\ }$

และแผนที่ที่มีอยู่ในEจะตรวจสอบได้ว่าลำดับต่อไปนี้ก็เป็นลำดับที่แน่นอนเช่นกัน เนื่องจากEมีเสถียรภาพภายใต้ส่วนขยาย นั่นหมายความว่าอยู่ในE : ${\displaystyle N\to M''}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\times _{M''}N}$

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {(f,0)}}M\times _{M''}N\to N\to 0.\ }$

• โมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ทุกตัวเป็นเคอร์เนลของเอพิมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ที่สอดคล้องกัน และในทางกลับกัน: นี่เป็นจริงสำหรับมอร์ฟิซึมในAและEเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์
• ถ้ายอมรับเคอร์เนลในEและถ้าเป็นเช่นนั้นที่เป็นเอพิโมร์ฟิซึมที่ยอมรับได้ ดังนั้น ก็เป็นเช่นนั้นเช่นกัน: ดู Quillen ( 1972 )${\displaystyle M\to M''}$${\displaystyle N\to M}$${\displaystyle N\to M\to M''}$${\displaystyle M\to M''}$

ในทางกลับกัน ถ้าEเป็นหมวดหมู่ที่แน่นอนใดๆ เราสามารถเลือกAให้เป็นหมวดหมู่ของฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้ายจากEไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนซึ่งตัวมันเองก็เป็นอาเบเลียน และในหมวดหมู่นี้Eเป็นหมวดหมู่ย่อยตามธรรมชาติ (ผ่านการฝังแบบโยเนดะเนื่องจาก Hom เป็นฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้าย) มีเสถียรภาพภายใต้การขยาย และในหมวดหมู่นี้ลำดับจะอยู่ในE ก็ต่อเมื่อมันแน่นอนในAเท่านั้น

• หมวดหมู่อาเบเลียนใด ๆ ก็มีความแม่นยำในแบบที่ชัดเจน ตามโครงสร้างของ#แรงจูงใจ
• ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือหมวดหมู่Ab _tfของกลุ่มอาเบเลียนที่ปราศจากแรงบิดซึ่งเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์อย่างเคร่งครัดของหมวดหมู่ (อาเบเลียน) Abของกลุ่มอาเบเลียนทั้งหมด มันปิดภายใต้ส่วนขยาย: ถ้า

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

เป็นลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ของกลุ่มอาเบเลียนซึ่งปราศจากทอร์ชั่น จากนั้นจะเห็นได้ว่าปราศจากทอร์ชั่นโดยใช้เหตุผลต่อไปนี้: ถ้าเป็นองค์ประกอบทอร์ชั่น ภาพของมันในจะเป็นศูนย์ เนื่องจากปราศจากทอร์ชั่น ดังนั้น จึงอยู่ในเคอร์เนลของแผนที่ไปยังซึ่งคือแต่ ก็ปราศจากทอร์ชั่นเช่นกัน ดังนั้นโดยการสร้างของ#Motivationนั้นAb _tfเป็นหมวดหมู่ที่แน่นอน ตัวอย่างของลำดับที่แน่นอนในนั้นได้แก่: ${\displaystyle A,C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle b}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle b}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}}\right)}}\mathbb {Z} ^{2}{\xrightarrow {(-2,1)}}\mathbb {Z} \to 0,}$

${\displaystyle 0\to d\Omega ^{0}(S^{1})\to \Omega _{c}^{1}(S^{1})\to H_{\text{dR}}^{1}(S^{1})\to 0,}$

โดยตัวอย่างสุดท้ายได้รับแรงบันดาลใจจากโคฮอโมโลยีของเดอแรม ( และเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์แบบปิดและแม่นยำบนกลุ่มวงกลม ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นที่ทราบกันว่ากลุ่มโคฮอโมโลยีมีสมมาตรกับจำนวนจริง หมวดหมู่นี้ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle \Omega _{c}^{1}(S^{1})}$${\displaystyle d\Omega ^{0}(S^{1})}$

• ตัวอย่างต่อไปนี้ในแง่หนึ่งเป็นส่วนเสริมของตัวอย่างข้างต้น ให้Ab _tเป็นหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนที่มีทอร์ชั่น (และเป็นกลุ่มศูนย์ด้วย) นี่คือหมวดหมู่แบบบวกและเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบเต็มอย่างเคร่งครัดของAbอีกครั้ง จะเห็นได้ง่ายกว่าว่ามันเสถียรภายใต้การขยาย: ถ้า

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

เป็นลำดับที่แน่นอนซึ่งมีแรงบิด ดังนั้นโดยธรรมชาติแล้วจึงมีองค์ประกอบแรงบิดทั้งหมดของดังนั้นจึงเป็นหมวดหมู่ที่แน่นอน${\displaystyle A,C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$