ในโทโพโลยีเชิง พีชคณิต ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการตัดออก (excision theorem)เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับโฮโมโลยีเชิงสัมพัทธ์และเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของไอเลนเบิร์ก-สตีนรอด (Eilenberg–Steenrod axioms ) ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการ เราสามารถตัด ( excise ) ออก จากทั้งสองปริภูมิได้ โดยที่โฮโมโลยีเชิงสัมพัทธ์ของคู่ใน นั้นสม isomorphic กัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$${\displaystyle (X,A)}$

สิ่งนี้ช่วยในการคำนวณ กลุ่ม โฮโมโลยีเอกฐานเนื่องจากบางครั้งหลังจากตัดส่วนย่อยที่เลือกไว้อย่างเหมาะสมออกไปแล้ว เราจะได้สิ่งที่คำนวณได้ง่ายกว่า

ถ้าเป็นดังข้างต้น เรากล่าวว่าสามารถตัดออกได้หากแผนที่การรวมของคู่เข้าไปในเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบนโฮโมโลจีสัมพัทธ์: ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$${\displaystyle (X,A)}$

${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)}$

ทฤษฎีบทกล่าวว่า ถ้าส่วนปิด ของอยู่ภายในส่วนภายในของแล้วสามารถตัดส่วนปิดนั้นออกได้ ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$

บ่อยครั้งที่ปริภูมิย่อยที่ไม่ตรงตามเกณฑ์การบรรจุนี้ก็ยังสามารถตัดออกได้ เพียงแค่สามารถหาการหดตัวแบบบิดเบี้ยวของปริภูมิย่อยเหล่านั้นไปยังปริภูมิย่อยที่ตรงตามเกณฑ์ดังกล่าวได้ ก็เพียงพอแล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทการตัดออกนั้นค่อนข้างเข้าใจง่าย แม้ว่ารายละเอียดจะค่อนข้างซับซ้อนก็ตาม แนวคิดคือการแบ่งซิมเพล็กซ์ในวัฏจักรสัมพัทธ์ออกเป็นสายโซ่อีกสายหนึ่งซึ่งประกอบด้วยซิมเพล็กซ์ที่ "เล็กกว่า" (ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริก^{[ 1 ]} ) และดำเนินการต่อไปจนกว่าซิมเพล็กซ์แต่ละตัวในสายโซ่จะอยู่ภายในของหรือภายในของ อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากสิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิดการครอบคลุมแบบเปิดสำหรับ และซิมเพล็กซ์เป็นแบบกระชับเราจึงสามารถทำเช่นนี้ได้ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด กระบวนการนี้ทำให้คลาสโฮโมโลยีดั้งเดิมของสายโซ่ไม่เปลี่ยนแปลง (ซึ่งหมายความว่าตัวดำเนินการแบ่งย่อยเป็นโฮโมโทปิกของสายโซ่กับแผนที่เอกลักษณ์บนโฮโมโลยี) ในโฮโมโลยีสัมพัทธ์ ดังนั้น นี่จึงหมายความว่าเทอมทั้งหมดที่บรรจุอยู่ภายในของสามารถถูกตัดออกได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อคลาสโฮโมโลยีของวัฏจักร สิ่งนี้ทำให้เราสามารถแสดงได้ว่าแผนที่การรวมเป็นไอโซมอร์ฟิซึม เนื่องจากวัฏจักรสัมพัทธ์แต่ละวัฏจักรเทียบเท่ากับวัฏจักรที่หลีกเลี่ยงอย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle (X,A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{n}(X,A)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

ทฤษฎีการตัดออกถือเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของ Eilenberg– Steenrod

ลำดับMayer–Vietorisอาจได้มาจากการรวมกันระหว่างทฤษฎีบทการตัดออกและลำดับที่แม่นยำยาว^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบทการตัดออกอาจใช้เพื่ออนุมานทฤษฎีบทการแขวนสำหรับโฮโมโลยี ซึ่งกล่าวว่า^{สำหรับ}ทุกโดยที่คือการแขวนของ^{[ 3} ]${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)\cong {\tilde {H}}_{n+1}(SX)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle SX}$${\displaystyle X}$

ถ้าเซตเปิดที่ไม่ว่างและ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกัน แล้วm = nสิ่งนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทการตัดออกลำดับที่แน่นอน ยาว สำหรับคู่และข้อเท็จจริงที่ว่าการ เปลี่ยน ^รูปจะหดตัวลงบนทรงกลม โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับถ้า[ ^{4 ]}${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m\neq n}$

• ทฤษฎีบทการตัดออกโฮโมโทปี

• โจเซฟ เจ. ร็อตแมน , บทนำสู่ทฤษฎีโทโพโลยีเชิงพีชคณิต , สปริงเกอร์-เวอร์แลก, ISBN 0-387-96678-1
• อัลเลน แฮทเชอร์ , โทโพโลยีเชิงพีชคณิต.สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์, 2002.