ในทางคณิตศาสตร์พหุนามเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันบนฟิลด์วงแหวนหรือกลุ่มอาเบเลียนที่มีรูปแบบเป็นพหุนามในตัวแปรและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

โดยทั่วไปแล้วพหุนามเลขชี้กำลังจะมีทั้งตัวแปรxและฟังก์ชันเลขชี้กำลังE ( x ) บางชนิด ในจำนวนเชิงซ้อนจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลังมาตรฐานอยู่แล้ว ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่แมปxไปยังe ^xในบริบทนี้ คำว่าพหุนามเลขชี้กำลังมักจะหมายถึงพหุนามในรูปแบบP ( x , e ^x ) โดยที่P  ∈  C [ x , y ] เป็นพหุนามในสองตัวแปร^{[ 1 ] [ 2 ]}

ไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับCที่นี่ พหุนามเลขชี้กำลังอาจหมายถึงพหุนามดังกล่าวบนฟิลด์เลขชี้กำลังหรือวงแหวนเลขชี้กำลังใดๆ โดยที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะแทนที่e ^xข้างต้น^{[ 3 ]} ในทำนองเดียวกัน ไม่มีเหตุผลที่จะต้องมีตัวแปรเดียว และพหุนามเลขชี้กำลังใน ตัวแปร nตัวจะมีรูปแบบP ( x ₁ , ..., x _n , e ^{x ₁} , ..., e ^{x _n} ) โดยที่Pเป็นพหุนามในตัวแปร 2 n ตัว

สำหรับพหุนามเลขชี้กำลังอย่างเป็นทางการเหนือฟิลด์Kเราจะดำเนินการดังต่อไปนี้^{[ 4 ]} ให้Wเป็นโมดูลย่อย Z ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ของKและพิจารณาผลรวมจำกัดในรูปแบบ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,}$

โดยที่f _iเป็นพหุนามในK [ X ] และ exp( w _i X ) เป็นสัญลักษณ์เชิงรูปธรรมที่มีดัชนีโดยw _iในWภายใต้เงื่อนไข exp( u + v ) = exp( u ) exp( v )

กรอบทั่วไปที่สามารถพบคำว่า 'พหุนามเอกซ์โพเนนเชียล' ได้คือกรอบของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลบนกลุ่มอาเบเลียน ในทำนองเดียวกันกับการนิยามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลบนฟิลด์เอกซ์โพเนนเชียล เมื่อกำหนดกลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอโลยีG แล้ว โฮโมมอร์ฟิซึมจากGไปยังกลุ่มบวกของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าฟังก์ชันบวก และโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังกลุ่มคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์เรียกว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล หรือเรียกง่ายๆ ว่าเอกซ์โพเนนเชียล ผลคูณของฟังก์ชันบวกและเอกซ์โพเนนเชียลเรียกว่าเอกนามเอกซ์โพเนนเชียล และการรวมเชิงเส้นของสิ่งเหล่านี้คือพหุนามเอกซ์โพเนนเชียลบนG ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ทฤษฎีบทของ Rittระบุว่าอนาล็อกของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันและทฤษฎีบทตัวประกอบใช้ได้กับวงแหวนของพหุนามเลขชี้กำลัง^{[ 4 ]}

เซตศูนย์ของพหุนามเลขชี้กำลังก่อให้เกิดกลุ่มของวัตถุทางเรขาคณิตที่ขยายแนวคิดของเซตพีชคณิตจริง เมื่อกำหนดพหุนามเลขชี้กำลังแล้ว เซตศูนย์ร่วมของพหุนามเหล่านั้น บางครั้งเรียกว่า เซต พีชคณิต เลขชี้กำลัง${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$

เซตเหล่านี้ขยายแนวคิดของเซตพีชคณิตจริงโดยอนุญาตให้กำหนดสมการที่เกี่ยวข้องทั้งพจน์พหุนามและเลขชี้กำลังของพหุนาม แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ทั้งพีชคณิตหรือกึ่งพีชคณิต แต่ก็ยังคงรักษาคุณลักษณะเชิงโครงสร้างหลายประการที่คุ้นเคยจากเรขาคณิตพีชคณิตจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดต่างๆ เช่น การไม่สามารถลดทอนได้และการแยกส่วนออกเป็นส่วนประกอบจำนวนจำกัด ยอมรับความคล้ายคลึงที่มีความหมายในบริบทนี้

จากมุมมองการคำนวณ ชุดศูนย์ของพหุนามเอกซ์โพเนนเชียลได้รับการศึกษาโดยเชื่อมโยงกับปัญหาการตัดสินใจจริงและทฤษฎีความซับซ้อน จากมุมมองการคำนวณ ชุดศูนย์ของพหุนามเอกซ์โพเนนเชียลได้รับการศึกษาโดยเชื่อมโยงกับปัญหาการตัดสินใจจริงและทฤษฎีความซับซ้อน อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของชุดคำตอบจริงที่กำหนดโดยสมการพหุนามเอกซ์โพเนนเชียลได้รับการพัฒนาขึ้นพร้อมกับขอบเขตความซับซ้อนในมิติคงที่ ^{[ 7 ]}และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของพื้นผิวเอกซ์โพเนนเชียลจริงนั้นเป็นที่เข้าใจกันดี^{[ 8 ]} คลาสที่เกี่ยวข้องของสมการพหุนามเอกซ์โพเนนเชียลยังปรากฏในการศึกษาฟังก์ชัน Pfaffian และเรขาคณิตจริงที่เชื่อง ซึ่งความจำกัดและผลลัพธ์เชิงโครงสร้างมีบทบาทสำคัญ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

พหุนามเลขชี้กำลังบนRและCมักปรากฏในทฤษฎีจำนวนอดิศัยโดยปรากฏเป็นฟังก์ชันเสริมในการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นตัวเชื่อมระหว่างทฤษฎีแบบจำลองและเรขาคณิตวิเคราะห์หากเรากำหนดวาไรตี้เลขชี้กำลังให้เป็นเซตของจุดในR ⁿที่พหุนามเลขชี้กำลังจำนวนจำกัดบางชุดหายไป ผลลัพธ์เช่นทฤษฎีบทของ Khovanskiǐ ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีบทของ Wilkieในทฤษฎีแบบจำลองแสดงให้เห็นว่าวาไรตี้เหล่านี้มีพฤติกรรมที่ดีในแง่ที่ว่าชุดของวาไรตี้ดังกล่าวมีความเสถียรภายใต้ การดำเนินการ ทางเซต ต่างๆ ตราบใดที่เราอนุญาตให้รวมภาพภายใต้การ ฉาย ภาพของวาไรตี้เลขชี้กำลังมิติสูงกว่า อันที่จริง ทฤษฎีบทสองข้อข้างต้นบ่งชี้ว่าเซตของวาไรตี้เลขชี้กำลังทั้งหมดก่อตัวเป็นโครงสร้าง o-minimalบนR

พหุนามเลขชี้กำลังยังปรากฏในสมการลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์หน่วงเวลา เชิงเส้น อีก ด้วย

• พหุนามกึ่ง