อนุพันธ์ภายนอก${\displaystyle d}$ถูกกำหนดให้เป็นเอกลักษณ์${\displaystyle \mathbb {R} }$-การแมปเชิงเส้นจาก${\displaystyle k}$-แบบฟอร์มสำหรับ${\displaystyle (k+1)}$-แบบฟอร์มที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ผู้ดำเนินการ${\displaystyle d}$นำไปใช้กับ${\displaystyle 0}$-รูปร่าง${\displaystyle f}$คือความแตกต่าง${\displaystyle df}$ของ${\displaystyle f}$
• ถ้า${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \beta }$มีสอง${\displaystyle k}$-แบบฟอร์ม จากนั้น${\displaystyle d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta }$สำหรับองค์ประกอบสนามใดๆ${\displaystyle a,b}$
• ถ้า${\displaystyle \alpha }$เป็น${\displaystyle k}$-รูปแบบและ${\displaystyle \beta }$เป็น${\displaystyle \ell }$-ฟอร์ม จากนั้น${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$( กฎผลิตภัณฑ์แบบแบ่งเกรด )
• ถ้า${\displaystyle \alpha }$เป็น${\displaystyle k}$-ฟอร์ม จากนั้น${\displaystyle d(d\alpha )=0}$

ถ้า${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$มีสอง${\displaystyle 0}$-รูปแบบ (ฟังก์ชัน) จากนั้นจากคุณสมบัติที่สามสำหรับปริมาณ${\displaystyle d(f\wedge g)}$ซึ่งก็คือ...${\displaystyle d(fg)}$กฎผลคูณที่คุ้นเคย${\displaystyle d(fg)=g\,df+f\,dg}$ได้รับการกู้คืนแล้ว คุณสมบัติที่สามสามารถสรุปได้โดยทั่วไป เช่น ถ้า${\displaystyle \alpha }$เป็น${\displaystyle k}$-รูปร่าง,${\displaystyle \beta }$เป็น${\displaystyle \ell }$-รูปแบบและ${\displaystyle \gamma }$เป็น${\displaystyle m}$-ฟอร์ม จากนั้น

$${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+\ell }\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .}$$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถทำงานโดยใช้ระบบพิกัดท้องถิ่น ได้อย่างสมบูรณ์${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$. อนุพันธ์พิกัด${\displaystyle {\text{d}}x^{1},\ldots ,{\text{d}}x^{n}}$สร้างฐานของปริภูมิของวันฟอร์ม โดยแต่ละวันฟอร์มจะสัมพันธ์กับพิกัด เมื่อกำหนดดัชนีหลายตัว${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$กับ${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$สำหรับ${\displaystyle 1\leq p\leq k}$(และแสดงความหมาย)${\displaystyle {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}$กับ${\displaystyle {\text{d}}x^{I}}$) อนุพันธ์ภายนอกของ (แบบง่าย)${\displaystyle k}$-รูปร่าง $${\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ เกิน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ถูกกำหนดให้เป็น $${\displaystyle d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ (โดยใช้หลักการบวกแบบไอน์สไตน์ ) นิยามของอนุพันธ์ภายนอกได้รับการขยายเชิงเส้นไปสู่ทั่วไป${\displaystyle k}$-รูปแบบ (ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปการรวมเชิงเส้นของรูปแบบพื้นฐานอย่างง่าย)${\displaystyle k}$-แบบฟอร์ม) $${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},}$$ โดยที่แต่ละองค์ประกอบของดัชนีหลายตัว${\displaystyle I}$วนลูปผ่านค่าทั้งหมดใน${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$โปรดทราบว่าเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle j}$เท่ากับหนึ่งในองค์ประกอบของดัชนีหลายตัว${\displaystyle I}$แล้ว${\displaystyle {\text{d}}x^{j}\wedge {\text{d}}x^{I}=0}$(ดูรายละเอียดสินค้าภายนอก )

นิยามของอนุพันธ์ภายนอกในพิกัดท้องถิ่นนั้นได้มาจากนิยามก่อนหน้านี้ในแง่ของสัจพจน์แท้จริงแล้ว ด้วย${\displaystyle k}$-รูปร่าง${\displaystyle \varphi }$ตามที่ได้นิยามไว้ข้างต้น $${\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\end{aligned}}}$$

ในที่นี้ เราได้ตีความไว้ว่า${\displaystyle g}$ในฐานะ${\displaystyle 0}$-รูปแบบ จากนั้นจึงนำคุณสมบัติของอนุพันธ์ภายนอกมาใช้

ผลลัพธ์นี้สามารถขยายไปสู่กรณีทั่วไปได้โดยตรง${\displaystyle k}$-รูปร่าง${\displaystyle \omega }$เช่น $${\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ${\displaystyle 1}$-รูปร่าง${\displaystyle \omega }$ส่วนประกอบของ${\displaystyle d\omega }$ในพิกัดท้องถิ่นคือ $${\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}$$

ข้อควรระวัง : มีข้อตกลงสองประการเกี่ยวกับความหมายของคำนี้${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$นักเขียนส่วนใหญ่ในปัจจุบันมีธรรมเนียมปฏิบัติว่า $${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.}$$ ในขณะที่ในตำราเก่าๆ เช่นของโคบายาชิและโนมิซุ หรือเฮลกาซอน $${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง สามารถให้สูตรที่ชัดเจน^{[ 1 ]}สำหรับอนุพันธ์ภายนอกของ a ได้${\displaystyle k}$-รูปร่าง${\displaystyle \omega }$เมื่อจับคู่กับ${\displaystyle k+1}$สนามเวกเตอร์เรียบตามอำเภอใจ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{k}}$: $${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}$$

ที่ไหน${\displaystyle [V_{i},V_{j}]}$เครื่องหมาย * หมายถึงวงเล็บเหลี่ยมและเครื่องหมาย * หมายถึงการละเว้นองค์ประกอบนั้น: $${\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ${\displaystyle \omega }$เป็น${\displaystyle 1}$-รูปแบบนั้น เรามีสิ่งนั้น${\displaystyle (d\omega )(X,Y)={\mathcal {L}}_{X}(\omega (Y))-{\mathcal {L}}_{Y}(\omega (X))-\omega ([X,Y])}$.

หมายเหตุ:ตามหลักการของ Kobayashi–Nomizu และ Helgason สูตรจะแตกต่างกันด้วยปัจจัย${\textstyle {\frac {1}{k+1}}}$: $${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={\frac {1}{k+1}}\left(\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\right).}$$

พิจารณา${\displaystyle \sigma =u\ {\text{d}}x^{1}\wedge {\text{d}}x^{2}}$เหนือกว่า${\displaystyle 1}$-พื้นฐานรูปแบบ${\displaystyle {\text{d}}x^{1},\ldots ,{\text{d}}x^{n}}$สำหรับฟิลด์สเกลาร์${\displaystyle u}$อนุพันธ์ภายนอกคือ: $${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}$$

สูตรสุดท้าย ซึ่งการหาผลรวมเริ่มต้นที่${\displaystyle i=3}$ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ภายนอก ได้อย่างง่ายดาย กล่าวคือ${\displaystyle {\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{i}=0}$.

อนุญาต${\displaystyle \sigma =u\ {\text{d}}x+v\ {\text{d}}y}$เป็น${\displaystyle 1}$-รูปแบบที่กำหนดไว้เหนือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$โดยการนำสูตรข้างต้นไปใช้กับแต่ละพจน์ (พิจารณา)${\displaystyle x^{1}=x}$และ${\displaystyle x^{2}=y}$) เรามีผลรวม $${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}$$

เอ${\displaystyle k}$-รูปร่าง${\displaystyle \omega }$เรียกว่าปิดถ้า${\displaystyle d\omega =0}$รูปแบบปิดเป็นแก่นแท้ของ${\displaystyle d}$.${\displaystyle \omega }$เรียกว่าแม่นยำถ้า${\displaystyle \omega =d\alpha }$สำหรับบางคน${\displaystyle (k-1)}$-รูปร่าง${\displaystyle \alpha }$รูปแบบที่แน่นอนคือภาพสะท้อนของ${\displaystyle d}$. เพราะ${\displaystyle d^{2}=0}$ทุกรูปแบบที่แน่นอนล้วนเป็นรูปทรงปิดทฤษฎีบทของปวงกาเรกล่าวว่า ในบริเวณที่หดตัวได้ ข้อความกลับกันนั้นเป็นจริง

เนื่องจากอนุพันธ์ภายนอก${\displaystyle d}$มีคุณสมบัติที่${\displaystyle d^{2}=0}$สามารถใช้เป็นอนุพันธ์ (โคบาวน์ดารี) เพื่อกำหนดโคฮอโมโลยีเดอแรมบนแมนิโฟลด์ได้${\displaystyle k}$โคฮอโมโลยีเดอแรมลำดับที่ -th (กลุ่ม) คือปริภูมิเวกเตอร์ของเซตปิด${\displaystyle k}$-ฟอร์มโมดูลัสที่แน่นอน${\displaystyle k}$-ฟอร์ม; ดังที่กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้า ทฤษฎีบทของปวงกาเรระบุว่าปริภูมิเวกเตอร์เหล่านี้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่สำคัญสำหรับบริเวณที่หดตัวได้ สำหรับ${\displaystyle k>0}$สำหรับแมนิโฟลด์เรียบ การอินทิเกรตของฟอร์มจะให้โฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติจากโคฮอโมโลยีเดอแรมไปยังโคฮอโมโลยีเอกฐานเหนือ${\displaystyle \mathbb {R} }$ทฤษฎีบทของเดอ แรม แสดงให้เห็นว่าแผนที่นี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึม ซึ่งเป็นการขยายความอย่างกว้างขวางของเลมมาของปวงกาเร ดังที่ทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไปได้เสนอไว้ อนุพันธ์ภายนอกคือ "คู่" ของแผนที่ขอบเขตบนซิมเพล็กซ์เอกฐาน

อนุพันธ์ภายนอกนั้นเป็นธรรมชาติในความหมายทางเทคนิค: ถ้า${\displaystyle f:M\rightarrow N}$เป็นแผนที่เรียบและ${\displaystyle \Omega ^{k}}$คือฟังก์ชัน เรียบแบบคอนทราแวเรียนต์ ที่กำหนดพื้นที่ของให้กับแต่ละแมนิโฟลด์${\displaystyle k}$-รูปแบบบนแมนิโฟลด์ จากนั้นแผนภาพต่อไปนี้จะสลับตำแหน่งกัน

ดังนั้น${\displaystyle d(f^{*}\omega )=f^{*}d\omega }$, ที่ไหน${\displaystyle f^{*}}$แสดงถึงการดึงกลับของ${\displaystyle f}$สิ่งนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากสิ่งนั้น${\displaystyle f^{*}\omega (\cdot )}$ตามนิยามแล้ว คือ${\displaystyle \omega (f_{*}(\cdot ))}$,${\displaystyle f_{*}}$เป็นแรงผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle f}$. ดังนั้น${\displaystyle d}$เป็นการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติจาก${\displaystyle \Omega ^{k}}$ถึง${\displaystyle \Omega ^{k+1}}$.

ฟังก์ชันที่ราบรื่น${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$บนแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้จริง${\displaystyle M}$เป็น${\displaystyle 0}$-รูปแบบ อนุพันธ์ภายนอกของสิ่งนี้${\displaystyle 0}$-ฟอร์มคือ${\displaystyle 1}$-รูปร่าง${\displaystyle df}$.

เมื่อผลคูณภายใน${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ถูกกำหนดแล้วความชัน${\displaystyle \nabla f}$ของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันใน${\displaystyle V}$โดยที่ผลคูณภายในของมันกับองค์ประกอบใดๆ ของ${\displaystyle V}$คืออนุพันธ์เชิงทิศทางของ${\displaystyle f}$ตามเวกเตอร์นั้น ซึ่งเป็นเช่นนั้น $${\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$$

นั่นคือ $${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },}$$ ที่ไหน${\displaystyle \sharp }$แสดงถึงความเหมือนกันทางดนตรี${\displaystyle \sharp :V^{*}\rightarrow V}$ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ว่าเกิดจากการคูณภายใน

เดอะ${\displaystyle 1}$-รูปร่าง${\displaystyle df}$เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มโคแทนเจนต์ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นเฉพาะที่แก่${\displaystyle f}$ในปริภูมิโคแทนเจนต์ ณ แต่ละจุด

สนามเวกเตอร์${\displaystyle V=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$มีสิ่งที่สอดคล้องกัน${\displaystyle (n-1)}$-รูปร่าง $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}$แสดงถึงการละเว้นองค์ประกอบนั้น

(ตัวอย่างเช่น เมื่อ)${\displaystyle n=3}$กล่าวคือ ในพื้นที่สามมิติ${\displaystyle 2}$-รูปร่าง${\displaystyle \omega _{V}}$เป็นผลคูณสามเท่าเชิงสเกลาร์ ในระดับท้องถิ่น กับ${\displaystyle V}$.) อินทิกรัลของ${\displaystyle \omega _{V}}$เหนือพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซคือฟลักซ์ของ${\displaystyle V}$เหนือพื้นผิวไฮเปอร์นั้น

อนุพันธ์ภายนอกของสิ่งนี้${\displaystyle (n-1)}$-ฟอร์มคือ${\displaystyle n}$-รูปร่าง $${\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}$$

สนามเวกเตอร์${\displaystyle V}$บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่สอดคล้องกันด้วย${\displaystyle 1}$-รูปร่าง $${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.}$$

ในระดับท้องถิ่น${\displaystyle \eta _{V}}$คือผลคูณดอทกับ${\displaystyle V}$อินทิกรัลของ${\displaystyle \eta _{V}}$ตามเส้นทางนั้นคืองานที่ทำเพื่อต่อต้าน${\displaystyle -V}$ตามเส้นทางนั้น

เมื่อไร${\displaystyle n=3}$ในปริภูมิสามมิติ อนุพันธ์ภายนอกของ${\displaystyle 1}$-รูปร่าง${\displaystyle \eta _{V}}$คือ${\displaystyle 2}$-รูปร่าง $${\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}$$

ตัวดำเนินการ แคลคูลัสเวกเตอร์มาตรฐานสามารถขยายให้ครอบคลุมแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ ใดๆ ก็ได้ และเขียนในรูปแบบที่ไม่ขึ้นกับพิกัดได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \star }$Hodge เป็นผู้ดำเนินการดาวฤกษ์${\displaystyle \flat }$และ${\displaystyle \sharp }$ไอโซมอร์ฟิซึมทางดนตรีคืออะไร${\displaystyle f}$เป็นฟิลด์สเกลาร์และ${\displaystyle F}$เป็นสนามเวกเตอร์

โปรดทราบว่านิพจน์สำหรับ${\displaystyle \operatorname {curl} }$กำหนดให้มี${\displaystyle \sharp }$เพื่อดำเนินการ${\displaystyle \star d(F^{\flat })}$ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของปริญญา${\displaystyle n-2}$การสรุปโดยทั่วไปตามธรรมชาติของ${\displaystyle \sharp }$ถึง${\displaystyle k}$รูปแบบที่มีระดับขั้นใดๆ ก็ตามทำให้การแสดงออกนี้มีความหมายสำหรับทุกกรณี${\displaystyle n}$.