การแปลงฟูริเยร์-บรอส-ไอแอกอลนิตเซอร์

ในทางคณิตศาสตร์การแปลง FBIหรือการแปลงฟูริเยร์-บรอส-ไอแอกอลนิตเซอร์เป็นการขยายผลของการแปลงฟูริเยร์ที่พัฒนาโดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ชาวฝรั่งเศส ฌาคส์ บรอส และแดเนียล ไอแอกอลนิตเซอร์ เพื่อใช้ในการกำหนดลักษณะความเป็นเชิงวิเคราะห์เฉพาะที่ของฟังก์ชัน (หรือการกระจาย ) บนR ^ⁿ การแปลงนี้เป็นแนวทางทางเลือกสำหรับเซตหน้าคลื่น เชิงวิเคราะห์ ของการกระจาย ซึ่งพัฒนาขึ้นอย่างอิสระโดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นมิคิโอ ซาโตะมาซากิ คาชิวาระและทาคาฮิโร คาวาอิ ในแนวทางการวิเคราะห์ไมโครโลคอลนอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ความเป็นเชิงวิเคราะห์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงวงรีเชิงวิเคราะห์ตลอดจนเวอร์ชันหนึ่งของทฤษฎีบทเอกลักษณ์แบบคลาสสิก ซึ่งเป็นการเสริมความแข็งแกร่งให้กับทฤษฎีบทโคชี-โควาเลฟสกีอันเป็นผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดนเอริก อัลเบิร์ต โฮล์มเกรน (1872–1943)

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันชวาร์ตซ์fในS ( R ⁿ ) ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(t)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

การแปลง FBIของf ถูกกำหนดสำหรับa ≥ 0 โดย

${\displaystyle ({\mathcal {F}__{a}f)(t,y)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-a|xy|^{2}/2}e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

ดังนั้น เมื่อa = 0 มันจะสอดคล้องกับการแปลงฟูริเยร์โดยพื้นฐาน

สามารถใช้สูตรเดียวกันนี้ในการกำหนดการแปลงฟูริเยร์และ FBI ของการแจกแจงแบบเทมเปอร์ในS' ( R ⁿ )

สูตรการผกผันฟูริเยร์

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}^{2}f(-x)}$

ช่วยให้สามารถ กู้คืน ฟังก์ชันf จากการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้นได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}{\mathcal {F}}(f)(t)\,dt}$

ในทำนองเดียวกัน ที่ค่าบวกของa นั้น f ( 0) สามารถกู้คืนได้จากการแปลง FBI ของf ( x ) โดยใช้สูตรการผกผัน

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}e^{a|xy|^{2}/2}{\mathcal {F}}_{a}(f)(t,y)\,dt}$

Bros และ Iagolnitzer แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงfจะเท่ากับฟังก์ชันวิเคราะห์จริงที่จุดyในทิศทางξ ในระดับท้องถิ่น ก็ต่อเมื่อการแปลง FBI ของมันสอดคล้องกับอสมการในรูปแบบ

${\displaystyle |({\mathcal {F}__{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},}$

สำหรับค่า |ξ|ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ

ผลลัพธ์ง่ายๆ ของลักษณะเฉพาะของ Bros และ Iagolnitzer เกี่ยวกับการวิเคราะห์เฉพาะที่คือผลลัพธ์ความสม่ำเสมอต่อไปนี้ของLars HörmanderและMikio Sato ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบท.ให้Pเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีที่มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์ซึ่งกำหนดไว้บนเซตย่อยเปิดXของR ⁿถ้าPfเป็นเชิงวิเคราะห์ในXแล้วf ก็เป็นเชิงวิเคราะห์ใน X เช่นกัน

เมื่อ "วิเคราะห์" ถูกแทนที่ด้วย "เรียบ" ในทฤษฎีบทนี้ ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือบทพิสูจน์คลาสสิกของHermann Weyl เกี่ยวกับ ความสม่ำเสมอเชิงวงรีซึ่งมักจะพิสูจน์โดยใช้ปริภูมิ Sobolev ^{[ 2 ]}ถือเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับเซตหน้าคลื่น วิเคราะห์ (ดูด้านล่าง) ซึ่งบ่งบอกถึงการเสริมความแข็งแกร่งแบบคลาสสิกของ Holmgren ของทฤษฎีบท Cauchy–Kowalevski เกี่ยวกับ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์วิเคราะห์จริง ในภาษาสมัยใหม่ ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของ Holmgren ระบุว่าคำตอบการกระจายใด ๆ ของระบบสมการดังกล่าวจะต้องเป็นวิเคราะห์และเป็นเอกลักษณ์ตามทฤษฎีบท Cauchy–Kowalevski

ชุดหน้าคลื่นวิเคราะห์หรือสเปกตรัมเอกลักษณ์ WF _A ( f ) ของการกระจายf (หรือโดยทั่วไปของไฮเปอร์ฟังก์ชัน ) สามารถกำหนดได้ในแง่ของการแปลง FBI ^{[ 3 ]}เป็นส่วนเติมเต็มของชุดจุดรูปกรวย ( x , λ ξ) (λ > 0) โดยที่การแปลง FBI เป็นไปตามอสมการ Bros–Iagolnitzer

${\displaystyle |({\mathcal {F}__{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},}$

สำหรับ yจุดที่ต้องการทดสอบความเป็นเชิงวิเคราะห์ และ | ξ | มีขนาดใหญ่เพียงพอและชี้ไปในทิศทางที่ต้องการมองหาหน้าคลื่น นั่นคือ ทิศทางที่ความผิดปกติที่yหากมีอยู่ จะแพร่กระจาย JM Bony ^{[ 1 ] [ 3 ]}พิสูจน์แล้วว่าคำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความอื่นๆ ที่นำเสนอโดยอิสระโดย Sato, Kashiwara และ Kawai และโดย Hörmander ถ้าPเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ m ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

โดยมีสัญลักษณ์หลัก

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha },}$

และความหลากหลายที่มีลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle {\rm {char}}\,P=\{(x,\xi ):\xi \neq 0,\,\sigma _{P}(x,\xi )=0\},}$

แล้ว

• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(Pf)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(f)}$
• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(f)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(Pf)\cup \operatorname {char} P.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อPเป็นรูปวงรี char P = ø ดังนั้น

WF _A ( Pf ) = WF _A ( f ).

นี่เป็นการเสริมความแข็งแกร่งให้กับรูปแบบการวิเคราะห์ของความสม่ำเสมอเชิงวงรีที่กล่าวถึงข้างต้น