คำจำกัดความ (Guttman) ประโยคแผนที่คือข้อความเชิงวาจาของโดเมนและขอบเขตของแผนที่ ซึ่งรวมถึงตัวเชื่อมระหว่างแง่มุมต่างๆ เช่นเดียวกับในภาษาทั่วไป^{[ 6 ]}

ในบริบทของการวิจัยเชิงพฤติกรรม ประโยคแสดงความสัมพันธ์ (mapping sentence) โดยพื้นฐานแล้วคือฟังก์ชันที่มีโดเมนประกอบด้วยผู้ตอบแบบสอบถามและสิ่งเร้าเป็นอาร์กิวเมนต์ และภาพของฟังก์ชันประกอบด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนของช่วงการตอบสนองต่อสิ่งเร้า โดยที่แต่ละช่วงการตอบสนองจะเรียงลำดับจากสูงไปต่ำในลักษณะเดียวกันโดยสัมพันธ์กับแนวคิดทั่วไปของสิ่งเร้าทั้งหมด เมื่อสิ่งเร้าถูกจำแนกไว้ล่วงหน้าโดยใช้เกณฑ์เนื้อหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ ประโยคแสดงความสัมพันธ์จะช่วยอำนวยความสะดวกในการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นของจักรวาลเนื้อหา การจำแนกสิ่งเร้าตามเนื้อหาเรียกว่า ด้านเนื้อหา ( content facet ) และชุดการตอบสนองที่กำหนดไว้ล่วงหน้าต่อสิ่งเร้า (จำแนกผู้ตอบแบบสอบถามตามการตอบสนองต่อสิ่งเร้านั้น) เรียกว่าด้านช่วง (range facet )

ประโยคที่แสดงแผนผังจะกำหนดระบบการสังเกตที่จะดำเนินการ ดังนั้น ประโยคที่แสดงแผนผังจึงให้แนวคิดที่สำคัญซึ่งสามารถใช้ในการกำหนดสมมติฐานการวิจัยได้ด้วย

สมมติว่ามีการสังเกตสมาชิกp ของประชากร P ในแง่ของความสำเร็จในการทดสอบความฉลาดทางภาษาแบบเขียน การสังเกตดังกล่าวอาจอธิบายได้ว่าเป็นการแมปจากประชากรที่ถูกสังเกตไปยังเซตของคะแนนที่เป็นไปได้ เช่นR  =  {1,...,10}: P   → Rโดยที่q 1 คือความหมายที่กำหนดคะแนนเฉพาะให้กับแต่ละบุคคลในประชากรP ที่ถูกสังเกต กล่าว คือq 1 คือ "ความฉลาดทางภาษา" ในตัวอย่างนี้ ตอนนี้ เราอาจสนใจที่จะสังเกตความฉลาดทางคณิตศาสตร์ หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งความฉลาดทางตัวเลขของประชากรที่ทำการศึกษา และอาจรวมถึงความฉลาดเชิงพื้นที่ด้วย ความฉลาดแต่ละประเภทเหล่านี้เป็น "ความหมาย" ที่สมาชิกประชากรp สามารถแมปไปยังช่วงคะแนนR = {1,...,10} ได้ ดังนั้น 'ความฉลาด' จึงถูกแบ่งออกเป็นสามประเภท ได้แก่ ภาษา ( q ) ตัวเลข ( q 2 ) และเชิงพื้นที่ ( q 3 ) เมื่อรวมกันแล้วPซึ่งเป็นจำนวนประชากร และQ = { q , q , q } ซึ่งเป็นเซตของประเภทสติปัญญา จะก่อให้เกิดผลคูณคาร์ทีเซียนซึ่งเป็นโดเมนการแมป การแมปนี้เป็นการแปลงจากเซตของคู่ (pi, qj) ไปยังช่วงคะแนนการทดสอบทั่วไปR = {1, ... ,10}: P × Q → R       

เฟเซต (Facet) คือเซตที่ทำหน้าที่เป็นเซตส่วนประกอบของผลคูณคาร์ทีเซียน ดังนั้นPเรียกว่าเฟเซตประชากร Q เรียกว่าเฟเซตเนื้อหาและเซตของคะแนนที่ได้จากการทดสอบแต่ละครั้งเรียกว่าเฟเซตช่วงคะแนนเฟเซตช่วงคะแนนของรายการต่างๆ (ตัวแปร) ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน: พวกมันอาจมีจำนวนคะแนนหรือหมวดหมู่ที่จำกัดใดๆ ก็ได้ ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ 2

ช่วงของรายการต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาหรือขอบเขตของข้อมูลที่กำลังศึกษา – ในตัวอย่างนี้คือสติปัญญา – ควรมีช่วงความหมายร่วมกัน (Common Meaning Range: CMR) กล่าวคือ ต้องเรียงลำดับจากสูงไปต่ำโดยอิงจากความหมายร่วมกัน ตามแนวคิดของกัตต์แมน ความหมายร่วมกันที่เสนอสำหรับช่วงของรายการสติปัญญาคือ "ความถูกต้องตามกฎเกณฑ์ที่เป็นกลาง"

แนวคิดของ CMR เป็นหัวใจสำคัญในทฤษฎีด้านต่างๆ: มันทำหน้าที่กำหนดขอบเขตของเนื้อหาที่กำลังศึกษาโดยการระบุขอบเขตของรายการต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหานั้น ดังนั้นนิยามของการทำแผนที่ของสติปัญญาที่เสนอโดยทฤษฎีด้านต่างๆ คือ:

"สิ่งของจะจัดอยู่ในกลุ่มสิ่งของที่เกี่ยวข้องกับสติปัญญาได้ก็ต่อเมื่อขอบเขตของสิ่งของนั้นต้องการการปฏิบัติงานด้านการรับรู้ที่เกี่ยวข้องกับกฎเกณฑ์ที่เป็นกลาง และช่วงของสิ่งของนั้นเรียงลำดับจากความถูกต้องสูงไปจนถึงความถูกต้องต่ำเมื่อเทียบกับกฎเกณฑ์นั้น"

กรอบแนวคิดเบื้องต้นสำหรับการสังเกตสติปัญญาอาจเป็นการทำแผนที่ประโยคที่ 1

ประโยคที่ใช้ในการกำหนดโครงสร้างนั้นทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางความหมายที่เป็นเอกภาพสำหรับการระบุระบบของข้อสอบวัดระดับสติปัญญา ตามแนวคิดในปัจจุบัน ด้านเนื้อหาของประโยค ซึ่งก็คือด้านวัสดุ อาจใช้เป็นเกณฑ์ในการจำแนกประเภทของข้อสอบวัดระดับสติปัญญาที่จะนำมาพิจารณา ดังนั้น ในการออกแบบการสังเกตการณ์ การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นจึงเกิดขึ้นได้โดยการเลือกข้อสอบที่เหมาะสมจากแต่ละองค์ประกอบของด้านวัสดุ กล่าวคือ จากแต่ละประเภทของข้อสอบ ได้แก่ ข้อสอบด้านภาษา ด้านตัวเลข และด้านมิติสัมพันธ์

การออกแบบการวิจัยสามารถเสริมให้ดียิ่งขึ้นได้โดยการเพิ่มการจำแนกประเภทเพิ่มเติมที่เป็นอิสระของข้อมูลสังเกตการณ์ในรูปแบบของแง่มุมเนื้อหาเพิ่มเติมลงในประโยคแผนผัง ซึ่งจะช่วยให้สามารถแยกแยะข้อมูลสังเกตการณ์ได้อย่างเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น รายการความฉลาดอาจถูกจำแนกตามการดำเนินการทางปัญญาที่จำเป็นในการตอบสนองต่อรายการนั้นอย่างถูกต้อง ไม่ว่าจะเป็นการระลึกถึงกฎ (ความจำ) การประยุกต์ใช้กฎ หรือการอนุมานกฎ แทนที่จะมีจักรวาลย่อยของเนื้อหาความฉลาดสามจักรวาลที่กำหนดโดยแง่มุมทางวัตถุเพียงอย่างเดียว ตอนนี้เรามีจักรวาลย่อยของเนื้อหาเก้าจักรวาลที่กำหนดโดยการคูณแบบคาร์ทีเซียนของแง่มุมทางวัตถุและการดำเนินการทางจิตใจ ดูประโยคแผนผังข้อที่ 2

อีกวิธีหนึ่งในการเพิ่มคุณค่าให้กับประโยคแผนผัง (และขอบเขตของการวิจัย) คือการเพิ่มองค์ประกอบ (คลาส) เข้าไปในด้านเนื้อหาที่มีอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น การเพิ่มเนื้อหาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างบุคคลเป็นองค์ประกอบใหม่เข้าไปในด้านเนื้อหาที่มีอยู่แล้ว ดูประโยคแผนผังข้อที่ 3

การเลือกองค์ประกอบหนึ่งจากแต่ละด้านของเนื้อหาทั้งสองด้าน จะกำหนดโปรไฟล์เนื้อหา ซึ่งแสดงถึงจักรวาลย่อยของสติปัญญาตัวอย่างเช่น โปรไฟล์เนื้อหา ( c2, q2 ) แสดงถึงการประยุกต์ใช้กฎสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ เช่น การหารยาว จักรวาลย่อย 3x4=12 จักรวาล ประกอบด้วยรายการสติปัญญา 12 ประเภท ในการออกแบบการสังเกต นักวิจัยจะพยายามรวมรายการที่หลากหลายจากแต่ละประเภททั้ง 12 ประเภทนี้ เพื่อให้ตัวอย่างของรายการที่สังเกตได้เป็นตัวแทนของจักรวาลสติปัญญาทั้งหมด แน่นอนว่า การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นนี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดของนักวิจัยเกี่ยวกับโดเมนที่ศึกษา ซึ่งสะท้อนให้เห็นในทางเลือกของด้านเนื้อหา แต่ในวงจรที่ใหญ่กว่าของการสืบสวนทางวิทยาศาสตร์ (ซึ่งรวมถึง Faceted SSA ของข้อมูลเชิงประจักษ์ ดูส่วนถัดไป) แนวคิดนี้อาจได้รับการปรับเปลี่ยนและปรับเปลี่ยนใหม่ จนนำไปสู่ทางเลือกที่ดีขึ้นของด้านเนื้อหาและการสังเกต และในที่สุดก็ไปสู่ทฤษฎีที่แข็งแกร่งในโดเมนการวิจัย โดยทั่วไป การสร้างแผนที่ประโยคอาจมีความซับซ้อน ขนาด และความเป็นนามธรรมสูงได้ผ่านการดำเนินการทางตรรกะต่างๆ เช่น การเรียกซ้ำ การบิด การแยกส่วน และการเติมเต็ม

ในการร่างประโยคแผนที่นั้น จะพยายามรวมเอาแง่มุมเนื้อหาที่โดดเด่นที่สุดไว้ด้วย ตามแนวคิดที่มีอยู่ของผู้วิจัยเกี่ยวกับโดเมนที่กำลังศึกษา และสำหรับแต่ละแง่มุมเนื้อหา จะพยายามระบุองค์ประกอบ (ประเภท) ของมันให้ครบถ้วน (สมบูรณ์) และไม่ทับซ้อนกัน ดังนั้น องค์ประกอบ 'ระหว่างบุคคล' จึงถูกเพิ่มเข้าไปในแง่มุมทางวัตถุ 3 องค์ประกอบเดิมของสติปัญญา โดยใช้กระบวนการวิเคราะห์แง่มุมสองขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 คือ การแยกส่วนแบบคาร์ทีเซียนของแง่มุมทางวัตถุ 3 องค์ประกอบ ออกเป็นสองแง่มุมพื้นฐานแบบไบนารี ได้แก่ แง่มุมสิ่งแวดล้อม ซึ่งมีองค์ประกอบคือ 'สิ่งแวดล้อมทางกายภาพ' และ 'สิ่งแวดล้อมของมนุษย์' และแง่มุมการใช้สัญลักษณ์ ซึ่งมีองค์ประกอบคือ 'เชิงสัญลักษณ์' (หรือการใช้สัญลักษณ์ระดับสูง) และ 'เชิงรูปธรรม' (หรือการใช้สัญลักษณ์ระดับต่ำ) ขั้นตอนที่ 2 คือการเติมเต็มแง่มุมทางวัตถุแบบคาร์ทีเซียน โดยพยายามอนุมานเนื้อหาที่ขาดหายไปซึ่งสามารถจัดประเภทได้เป็น 'สิ่งแวดล้อมของมนุษย์' และ 'เชิงรูปธรรม'

ในทฤษฎีด้านลักษณะเฉพาะ (Facet Theory) การจัดกลุ่มข้อมูลการทดสอบความฉลาดแบบ 2x2 นี้ สามารถกำหนดเป็นสมมติฐานที่จะทดสอบเชิงประจักษ์ได้ โดยใช้การวิเคราะห์พื้นที่เล็กที่สุดแบบแบ่งลักษณะเฉพาะ (Faceted Smallest Space Analysis: SSA)

แม้จะมีลักษณะที่ดูแข็งทื่อ แต่รูปแบบประโยคการแมปสามารถรองรับโครงสร้างความหมายที่ซับซ้อน เช่น การบิดและการเรียกซ้ำ ในขณะที่ยังคงรักษาโครงสร้างคาร์ทีเซียนที่สำคัญเอาไว้^{[ 7 ]}

นอกจากจะเป็นแนวทางในการรวบรวมข้อมูลแล้ว ประโยคแผนที่ยังถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์เนื้อหาของแนวคิดและข้อความหลากหลายประเภท เช่น คุณภาพขององค์กร เอกสารทางกฎหมาย และแม้แต่เรื่องราวความฝัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

ทฤษฎี Facet มองว่าคุณลักษณะหลายตัวแปรเป็นจักรวาลเนื้อหาที่กำหนดโดยเซตของรายการทั้งหมดตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของการแมปคุณลักษณะดังที่แสดงไว้ข้างต้น ในการวิเคราะห์ข้อมูลตามทฤษฎี Facet คุณลักษณะ (เช่น สติปัญญา) เปรียบเสมือนพื้นที่ทางเรขาคณิตที่มีมิติที่เหมาะสม ซึ่งจุดต่างๆ แทนรายการที่เป็นไปได้ทั้งหมด รายการที่สังเกตได้จะถูกประมวลผลโดย Faceted SSA ซึ่งเป็นเวอร์ชันหนึ่งของ Multidimensional Scaling (MDS) ^{[ 10 ]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับขั้นตอนต่อไปนี้:

1. รับข้อมูลเข้า (หรือคำนวณจากข้อมูลเข้า) เป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน ซึ่งระบุว่าแต่ละคู่ของรายการมีความคล้ายคลึงกันมากน้อยเพียงใด ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปคือการคำนวณเมทริกซ์สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จากข้อมูลเข้า โดยขนาดของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวจะสะท้อนถึงระดับความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวแปรเหล่านั้น
2. การแมปรายการ (ตัวแปร) เป็นจุดในพื้นที่เรขาคณิตที่มีมิติที่กำหนด ในขณะที่รักษาเงื่อนไขให้ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้: ถ้าr >r แล้วd < d สำหรับทุกi,j,k,l โดยที่r คือการวัดความคล้ายคลึง (เช่น สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์) ระหว่างตัวแปรi,jและd คือระยะห่างระหว่างจุดของตัวแปรเหล่านั้นในพื้นที่ โดยส่วนใหญ่มักใช้ฟังก์ชันระยะทางแบบยุคลิด (ระยะทางมิงโกว์สกีอันดับ 2) แต่ฟังก์ชันระยะทางอื่นๆ โดยเฉพาะฟังก์ชันระยะทางแบบแมนฮัตตัน (ระยะทางมิงโกว์สกีอันดับ 1) ก็มีความจำเป็นเช่นกัน (ดูหัวข้อย่อยการเชื่อมโยงพื้นที่การวัด POSAC กับพื้นที่แนวคิด SSAด้านล่าง) ความเหมาะสมของการแมปที่ได้อาจประเมินได้จากฟังก์ชันการสูญเสีย – สัมประสิทธิ์ความเครียดของ Kruskal ^{[ 11 ]}หรือสัมประสิทธิ์ความแปลกแยกของ Guttman ^{[ 2 ]}
3. แบ่งพื้นที่ออกเป็นส่วนๆ ให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยแบ่งเป็นบริเวณง่ายๆ (เช่น แถบ ส่วน หรือวงแหวนซ้อนกัน) ซึ่งตัวแปรในแต่ละบริเวณจะสัมพันธ์กันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับลักษณะเนื้อหาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ในการใช้งานตัวเลือกนี้ ต้องระบุลักษณะเนื้อหา (หรือหลายลักษณะ) เป็นข้อมูลป้อนเข้าของ Faceted SSA ด้วย

ขั้นตอนที่ 3 ของ Faceted SSA ผสานแนวคิดที่ว่าตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งรวมอยู่ในขั้นตอน Faceted SSA โดยทั่วไปจะประกอบเป็นชุดย่อยเล็กๆ จากรายการนับไม่ถ้วนที่กำหนดจักรวาลเนื้อหาของคุณลักษณะ แต่ตำแหน่งของรายการเหล่านั้นในพื้นที่อาจทำหน้าที่เป็นเบาะแสที่นำทางการแบ่งพื้นที่ออกเป็นภูมิภาค ซึ่งในทางปฏิบัติจะจัดประเภทจุดทั้งหมดในพื้นที่ รวมถึงจุดที่เกี่ยวข้องกับรายการที่ไม่ได้รับการสังเกต (หากได้รับการสังเกต) จากนั้น ขั้นตอนนี้จะทดสอบสมมติฐานระดับภูมิภาคว่าจักรวาลเนื้อหาย่อยที่กำหนดโดยองค์ประกอบด้านเนื้อหาแต่ละอย่างมีอยู่เป็นหน่วยเชิงประจักษ์ที่แตกต่างกัน ดัชนีการแยก Shye-Kingsley (SI) จะประเมินความเหมาะสมของการแบ่งส่วนกับด้านเนื้อหา^{[ 12 ]}

ภาพเชิงวิทยาศาสตร์เชิงพื้นที่ที่เสนอโดยทฤษฎี Facet Theory มีผลกระทบในวงกว้างซึ่งทำให้ทฤษฎี Facet Theory แตกต่างจากกระบวนการทางสถิติและกลยุทธ์การวิจัยอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันช่วยให้สามารถอนุมานเกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาลเนื้อหาทั้งหมดที่ทำการศึกษา รวมถึงสิ่งที่ไม่สามารถสังเกตได้

การทดสอบความฉลาดทางสติปัญญาได้รับการออกแบบดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น โดยใช้ประโยคแผนที่ข้อที่ 2 เป็นกรอบในการดำเนินการ

การสังเกต^{[ 13 ]}ในการศึกษาวิจัยหลายกรณี ตัวอย่างตัวแปรต่างๆ ที่สอดคล้องกับประโยคแผนที่ 2 ได้รับการวิเคราะห์เพื่อยืนยันสมมติฐานระดับภูมิภาคสองข้อ:

• องค์ประกอบด้านเนื้อหา (Material Content Facet) สอดคล้องกับการแบ่งแผนที่ความฉลาดแบบ Faceted SSA ออกเป็นส่วนๆ โดยแต่ละส่วนจะประกอบด้วยรายการของเนื้อหาประเภทเดียว ได้แก่ เนื้อหาเชิงคำพูด ตัวเลข และรูปภาพ (เชิงพื้นที่)
• ด้านการปฏิบัติงานทางปัญญา (Cognitive Operation Facet) สอดคล้องกับการแบ่งแผนที่สติปัญญาแบบ Faceted SSA ออกเป็นวงแหวนซ้อนกัน โดยวงแหวนชั้นในสุดประกอบด้วยรายการการอนุมาน วงแหวนตรงกลางประกอบด้วยรายการการประยุกต์ใช้กฎ และวงแหวนชั้นนอกสุดประกอบด้วยรายการการระลึกถึงกฎ

การซ้อนทับกันของรูปแบบการแบ่งส่วนทั้งสองนี้ส่งผลให้เกิดแผนผังที่เรียกว่าทฤษฎีสติปัญญาของราเด็กซ์ ดังแสดงในรูปที่ 1

โครงสร้าง radex ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจาก "แนวทางใหม่ในการวิเคราะห์ปัจจัย" ^{[ 14 ]}ยังพบได้ในการศึกษาการรับรู้สี^{[ 15 ]}เช่นเดียวกับในโดเมนการวิจัยอื่นๆ

Faceted SSA ได้ถูกนำไปใช้ในหลากหลายสาขาการวิจัย รวมถึงการวิจัยคุณค่า^{[ 16 ] [ 17 ]}งานสังคมสงเคราะห์^{[ 18 ]}และอาชญวิทยา^{[ 19 ] [ 20 ]}และอื่นๆ อีกมากมาย

คุณภาพชีวิตเชิงระบบ (SQOL) ได้รับการนิยามว่าเป็นการทำงานที่มีประสิทธิภาพของบุคคลในระบบย่อยการทำงานสี่ระบบ ได้แก่ ระบบวัฒนธรรม ระบบสังคม ระบบร่างกาย และระบบบุคลิกภาพ^{[ 21 ]}พื้นฐานเชิงสัจพจน์ของ SQOL ชี้ให้เห็นถึงสมมติฐานเชิงภูมิภาคว่าระบบย่อยทั้งสี่ควรได้รับการตรวจสอบเชิงประจักษ์ (เช่น รายการของแต่ละระบบจะอยู่ในภูมิภาคที่แตกต่างกัน) และควรมีการวางแนวร่วมกันในพื้นที่ในรูปแบบ 2x2 เฉพาะที่เทียบเท่ากับโครงสร้างเชิงโทโพโลยีกับการจัดประเภท 2x2 ที่แสดงในรูปที่ 2 (เช่น บุคลิกภาพตรงข้ามกับวัฒนธรรม และร่างกายตรงข้ามกับสังคม) สมมติฐานนี้ได้รับการยืนยันจากการศึกษาหลายครั้ง

ในบรรดาการแบ่งพื้นที่แนวคิด 2 มิติที่เป็นไปได้มากมาย มีสามวิธีที่โดดเด่นและมีประโยชน์เป็นพิเศษสำหรับการสร้างทฤษฎี:

• รูป แบบการแบ่งพื้นที่ ตามแนวแกน : การแบ่งพื้นที่ออกเป็นแถบโดยใช้เส้นขนาน
• รูป แบบการแบ่งพื้นที่ เชิงมุม (หรือเรียกอีกอย่างว่า รูป แบบเชิงขั้ว ): การแบ่งพื้นที่ออกเป็นส่วนๆ โดยใช้รัศมีที่ลากจากจุดหนึ่งในอวกาศ
• รูป แบบการแบ่งพื้นที่ แบบรัศมี (หรือเรียกอีกอย่างว่าแบบโมดูลาร์ ): การแบ่งพื้นที่ออกเป็นวงแหวนซ้อนกันโดยใช้รูปวงกลมซ้อนกัน

ข้อดีของรูปแบบการแบ่งกลุ่มเหล่านี้ในฐานะแบบจำลองที่เป็นไปได้สำหรับข้อมูลพฤติกรรมคือ สามารถอธิบายได้ด้วยพารามิเตอร์จำนวนน้อยที่สุด จึงหลีกเลี่ยงการโอเวอร์ฟิตติ้งและสามารถนำไปปรับใช้กับการแบ่งกลุ่มในพื้นที่ที่มีมิติสูงกว่าได้

ในการทดสอบสมมติฐานระดับภูมิภาค ความเหมาะสมของเนื้อหาด้านใดด้านหนึ่งกับแบบจำลองทั้งสามนี้จะได้รับการประเมินด้วยดัชนีการแยก (SI) ซึ่งเป็นการวัดค่าปกติของการเบี่ยงเบนของตัวแปรจากภูมิภาคที่กำหนดให้กับตัวแปรเหล่านั้นโดยแบบจำลอง^{[ 12 ]}

นอกจากนี้ยังพบพื้นที่แนวคิดในมิติที่สูงกว่าด้วย^{[ 22 ]}

1. คุณลักษณะที่กำลังศึกษานั้นแสดงด้วยพื้นที่ทางเรขาคณิต

2. ตัวแปรของคุณลักษณะจะถูกแทนด้วยจุดในพื้นที่นั้น ในทางกลับกัน ทุกจุดในพื้นที่ทางเรขาคณิตเป็นตัวแปรของคุณลักษณะ นี่คือหลักการความต่อเนื่อง^{[ 3 ]}

3. ตัวแปรที่สังเกตได้ ซึ่งระบุตำแหน่งเป็นจุดในแผนที่ Faceted SSA เชิงประจักษ์นั้น เป็นเพียงตัวอย่างที่ดึงมาจากตัวแปรจำนวนมาก (อาจมีจำนวนอนันต์) ที่ประกอบกันเป็นจักรวาลเนื้อหาของคุณลักษณะที่กำลังศึกษา

4. ตัวแปรสังเกตที่เลือกใช้สำหรับ SSA ต้องอยู่ในกลุ่มเนื้อหาเดียวกันทั้งหมด ซึ่งรับประกันได้โดยการรวมเฉพาะตัวแปรที่มีช่วงค่าเรียงลำดับคล้ายกันโดยสัมพันธ์กับความหมายร่วมกัน (CMR) เข้าไปใน SSA เท่านั้น

5. ตัวอย่างตัวแปรที่ทำเครื่องหมายไว้บนแผนที่ Faceted SSA ใช้เป็นแนวทางในการอนุมานการแบ่งส่วนที่เป็นไปได้ของแผนที่คุณลักษณะ SSA ออกเป็นภูมิภาคต่างๆ โดยแต่ละภูมิภาคแสดงถึงองค์ประกอบหรือโดเมนย่อยของคุณลักษณะนั้น

6. ในทฤษฎีด้านคุณลักษณะ (Facet Theory) ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของคุณลักษณะ (เช่น สติปัญญาด้านภาษาและสติปัญญาด้านตัวเลข ซึ่งเป็นองค์ประกอบของสติปัญญา) จะถูกแสดงออกมาในเชิงเรขาคณิต เช่น รูปทรงและการวางตัวในอวกาศ มากกว่าในเชิงพีชคณิต เช่นเดียวกับการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างประเทศเพื่อนบ้านในแง่ของรูปทรงและการวางตัวทางภูมิศาสตร์ ไม่ใช่ในแง่ของระยะทางระหว่างประเทศเหล่านั้น

7. ภาพลักษณ์ของแอตทริบิวต์ในฐานะพื้นที่ต่อเนื่อง ซึ่งมีการสุ่มตัวอย่างตัวแปรนั้น บ่งชี้ว่าการจัดกลุ่มตัวแปรในแผนที่ SSA นั้นไม่มีนัยสำคัญ: มันเป็นเพียงผลลัพธ์ที่เกิดจากการสุ่มตัวอย่างตัวแปรเท่านั้น ตัวแปรที่สุ่มมาและจัดกลุ่มเข้าด้วยกันอาจอยู่ในโดเมนย่อยที่แตกต่างกัน เช่นเดียวกับสองเมืองที่อยู่ใกล้กันอาจตั้งอยู่ในประเทศที่ต่างกัน ในทางกลับกัน ตัวแปรที่อยู่ห่างกันอาจอยู่ในโดเมนย่อยเดียวกัน เช่นเดียวกับสองเมืองที่อยู่ห่างกันอาจอยู่ในประเทศเดียวกัน สิ่งสำคัญคือการระบุภูมิภาคที่แตกต่างกันด้วยโดเมนย่อยที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ทฤษฎี Facet เสนอวิธีการที่จะก้าวข้ามการจัดกลุ่มตัวแปรโดยบังเอิญโดยมุ่งเน้นไปที่แง่มุมที่แข็งแกร่งและทำซ้ำได้ของข้อมูล นั่นคือความสามารถในการแบ่งส่วนของพื้นที่แอตทริบิวต์

หลักการเหล่านี้ก่อให้เกิดแนวคิดใหม่ คำถามใหม่ และเปิดมุมมองใหม่ในการทำความเข้าใจพฤติกรรม ดังนั้น ทฤษฎี Facet Theory จึงเป็นกระบวนทัศน์เฉพาะตัวสำหรับการวิจัยพฤติกรรมแบบหลายตัวแปร

นอกจากการวิเคราะห์เมทริกซ์ข้อมูลของบุคคลN คนโดยใช้ตัวแปร nตัว ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นแล้ว Faceted SSA ยังมีประโยชน์ในการใช้งานในรูปแบบอื่นๆ อีกด้วย

การวัดความคล้ายคลึง (หรือไม่คล้ายคลึง) โดยตรงสำหรับชุดวัตถุที่กำหนดและการวัดความคล้ายคลึง (หรือไม่คล้ายคลึง) ระหว่างวัตถุแต่ละคู่ Faceted SSA สามารถให้แผนที่ที่มีภูมิภาคที่สอดคล้องกับการจำแนกประเภทของวัตถุที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาการรับรู้สี ตัวอย่างสีสเปกตรัม พร้อมด้วยการวัดความคล้ายคลึงที่รับรู้ระหว่างสีแต่ละคู่ ทำให้เกิดทฤษฎี radex ของการรับรู้สีสเปกตรัม^{[ 15 ]} ในการศึกษาชนชั้นนำของชุมชน การวัดระยะทางที่คิดค้นขึ้นระหว่างผู้นำชุมชนแต่ละคู่ ทำให้เกิดแผนที่ทางสังคมวิทยาที่มีภูมิภาคที่ได้รับการตีความจากมุมมองของทฤษฎีทางสังคมวิทยา^{[ 23 ]}

เมทริกซ์ข้อมูลที่สลับตำแหน่ง การสลับบทบาทของบุคคลและตัวแปร Faceted SSA อาจนำไปใช้กับบุคคลแทนที่จะเป็นตัวแปร ขั้นตอนที่ใช้ไม่บ่อยนี้อาจได้รับการพิสูจน์ได้ว่าเหมาะสมในกรณีที่ตัวแปรครอบคลุมโดเมนการวิจัยอย่างสม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของทีมผู้เชี่ยวชาญสหสาขาวิชาชีพได้รับการคำนวณโดยอิงจากการประเมินคุณค่าคุณภาพชีวิตของมนุษย์ แผนที่ Faceted SSA ที่ได้นั้นให้เรเดกซ์ของสาขาวิชา ซึ่งสนับสนุนความสัมพันธ์ระหว่างสถาบันทางสังคมและคุณค่าของมนุษย์^{[ 24 ]}

ในทฤษฎี Facet Theory การวัดคุณสมบัติของบุคคลที่ทำการศึกษา (และโดยนัยเดียวกัน คือบุคคลทั้งหมดที่อยู่ในกลุ่มตัวอย่าง) โดยพิจารณาจากคุณลักษณะหลายตัวแปรนั้น อาศัยสมมติฐานและเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

• ตัวแปรที่ประมวลผลโดยการดำเนินการวัดตามทฤษฎี Facet ที่จะอธิบายต่อไปนี้ ครอบคลุมเนื้อหาคุณลักษณะทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอ เพื่อให้แน่ใจว่ามีการครอบคลุมดังกล่าว การดำเนินการวัดตามทฤษฎี Facet มักจะดำเนินการไม่ใช่กับตัวอย่างของรายการที่สังเกตได้เอง แต่จะใช้กับตัวแปรเชิงประกอบที่แสดงถึงองค์ประกอบ Facet ที่ได้รับการตรวจสอบความถูกต้องโดย Faceted SSA แล้ว
• กลุ่มตัวอย่างมีความหลากหลายเพียงพอที่จะทำให้สามารถสังเกตโปรไฟล์คะแนนที่มีอยู่ของตัวแปรที่ประมวลผลได้
• ในการวัดผลที่ได้ ความสัมพันธ์เชิงลำดับระหว่างบุคคลควรคงไว้ซึ่งความสัมพันธ์เชิงลำดับ (รวมถึงความสามารถในการเปรียบเทียบและความไม่สามารถเปรียบเทียบได้ ดูด้านล่าง) ระหว่างโปรไฟล์ของแต่ละบุคคลในตัวแปรที่ประมวลผลแล้วได้ดีพอสมควร
• ผลลัพธ์ของการดำเนินการวัดให้จำนวนมาตราส่วนที่น้อยที่สุด
• มาตรวัดที่ได้นั้นแสดงถึงตัวแปรพื้นฐาน ซึ่งการตีความนั้นมาจากเนื้อหาของรายการที่สังเกตได้ แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกลุ่มตัวอย่างรายการที่สังเกตได้โดยเฉพาะ

การวิเคราะห์ลำดับบางส่วนของข้อมูลที่สังเกตได้ให้รายการที่สังเกตได้v ,...,v ที่มีช่วงความหมายร่วมกัน (CMR) แทนจักรวาลเนื้อหาที่ตรวจสอบ ให้A ,..., A เป็นช่วงของรายการเหล่านั้น โดยแต่ละA เรียงลำดับจากสูงไปต่ำตามความหมายร่วมกัน และให้A = A × A   ×  ...  × A เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของทุกด้านของช่วงAj ( j = 1,..., n ) ระบบการสังเกตคือการแมปP → Aจากหัวข้อที่สังเกตได้PไปยังAนั่นคือ หัวข้อแต่ละหัวข้อp จะได้รับคะแนนจากแต่ละA ( j = 1,..., n ) หรือ p → [ a , a , ..., a ]        ${\displaystyle \equiv }$a ( p ) จุดa ( p ) ในAยังเรียกว่าโปรไฟล์ของp และเซตย่อยA ′ของA (${\displaystyle A'\subseteq A}$ลำดับของโปรไฟล์ที่สังเกตได้เรียกว่า สเกลโลแกรม ทฤษฎีเฟเซตกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างโปรไฟล์ดังนี้: โปรไฟล์สองโปรไฟล์ที่แตกต่างกันa   =  [ a , a ,..., a ] และa   =  [ a , a ..., a ] สามารถเปรียบเทียบกันได้ โดยใช้สัญลักษณ์a Sa โดยที่a มากกว่าa , a   > a ก็ต่อเมื่อa ≥ a สำหรับk = 1, ..., nและa > a สำหรับk บางค่า โปรไฟล์สองโปรไฟล์ที่แตกต่างกันไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ โดยใช้สัญลักษณ์a $ a ถ้าทั้งa > a และa > a A และเซตย่อย A ′ ของ Aจึงเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน               

การวัดเชิงทฤษฎีของ Facet ประกอบด้วยการแมปจุดa ( p ) ของA'ไปยังปริภูมิพิกัดXที่มีมิติต่ำที่สุด ในขณะที่ยังคงรักษาความสัมพันธ์เชิงลำดับที่สังเกตได้ รวมถึงความไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้:

คำจำกัดความมิติ po ของสเกลโลแกรมA'คือค่า m ที่เล็กที่สุด ( m  ≤ n ) ซึ่งมีเหลี่ยมมุมm เหลี่ยม X ... X (แต่ละX เรียงลำดับ) และมีการจับคู่แบบ 1 ต่อ 1 Q : X ′ → A ′จากX ′ (     ${\textstyle X'\subseteq X=X_{1}\times \cdots \times X_{m}}$) ไปยังA ′โดยที่a  > a ′ ^ก็ต่อเมื่อx > x ′เมื่อใดก็ตามที่Qแมปจุดx , x ′ในX ′ไปยังจุดa , a ′ ∈ A [ ^{4 ]}      

มาตราส่วนพิกัดX ( i  =  1,  ..., m ) แสดงถึงตัวแปรพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังซึ่งความหมายจะต้องถูกอนุมานในการใช้งานเฉพาะใดๆ มาตราส่วน Guttman ที่รู้จักกันดี^{[ 25 ]} [24] (ตัวอย่าง: 1111, 1121, 1131, 2131, 2231, 2232) เป็นเพียงสเกลโลแกรม 1 มิติ กล่าวคือ โปรไฟล์ทั้งหมดสามารถเปรียบเทียบกันได้ 

กระบวนการระบุและตีความมาตราส่วนพิกัดX ... X เรียกว่าการปรับขนาดหลายระดับ (multiple scaling) การปรับขนาดหลายระดับนี้ทำได้ง่ายขึ้นด้วยการวิเคราะห์สเกลโลแกรมลำดับบางส่วนโดยใช้พิกัดฐาน (POSAC) ซึ่งมีการพัฒนาอัลกอริทึมและโปรแกรมคอมพิวเตอร์ขึ้นมา ในทางปฏิบัติ จะมีการพยายามใช้มิติที่เฉพาะเจาะจง และค้นหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดกับเงื่อนไขการรักษาลำดับ โปรแกรม POSAC/LSA จะค้นหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดในพื้นที่พิกัด 2 มิติ จากนั้นจะทำการวิเคราะห์บทบาทของตัวแปรแต่ละตัวในการจัดโครงสร้างพื้นที่ 2 มิติของ POSAC โดยใช้การวิเคราะห์พื้นที่แลตติส (LSA) ซึ่งจะช่วยให้การตีความมาตราส่วนพิกัดX , X ที่ได้มานั้นง่ายขึ้น การพัฒนาล่าสุดรวมถึงอัลกอริทึมสำหรับการแบ่งพื้นที่ POSAC ด้วยคอมพิวเตอร์โดยใช้ช่วงของแต่ละตัวแปร ซึ่งจะสร้างช่วงเวลา ที่มีความหมายบนมาตราส่วนพิกัดX , Y    

แหล่งที่มา: ^{[ 26 ]}

สมาชิกของกลุ่มประชากรเฉพาะกลุ่มหนึ่งถูกถามคำถามสี่ข้อ: พวกเขาดูทีวีในคืนก่อนหน้าเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงหรือไม่ ในเวลา 19.00 น. (ชั่วโมงที่ 1), 20.00 น. (ชั่วโมงที่ 2), 21.00 น. (ชั่วโมงที่ 3) และ 22.00 น. (ชั่วโมงที่ 4) คำตอบที่เป็นบวกสำหรับคำถามแต่ละข้อจะถูกบันทึกเป็น 1 และคำตอบที่เป็นลบจะถูกบันทึกเป็น 0 ตัวอย่างเช่น โปรไฟล์ 1010 แสดงถึงบุคคลที่ดูทีวีในเวลา 19.00 น. และ 21.00 น. แต่ไม่ได้ดูในเวลา 20.00 น. และ 22.00 น. สมมติว่าจากโปรไฟล์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 16 แบบ มีเพียง 11 โปรไฟล์ต่อไปนี้เท่านั้นที่ถูกสังเกตได้ในทางปฏิบัติ: 0000, 1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 0110, 0011, 1110, 0111, 1111 รูปที่ 3 แสดงการแมปโปรไฟล์เหล่านี้ลงในพื้นที่พิกัด 2 มิติโดยรักษาลำดับไว้

จากผลลัพธ์ของวิธี POSAC นี้ จึงมีการพยายามตีความพิกัดทั้งสองX และX ว่าเป็นมาตรวัดพื้นฐานสองมาตรวัดของปรากฏการณ์การดูโทรทัศน์ในตอนเย็นของประชากรกลุ่มตัวอย่าง โดยเริ่มจากการตีความช่วง (ชั้นสมมูล) ภายในแต่ละพิกัดก่อน แล้วจึงพยายามสร้างแนวคิดเกี่ยวกับความหมายที่ได้มาของช่วงที่เรียงลำดับแล้ว ในแง่ของแนวคิดที่มีความหมายซึ่งอาจกำหนดให้กับพิกัดนั้นได้

ในตัวอย่างที่เรียบง่ายนี้ การทำเช่นนี้เป็นเรื่องง่าย: เมื่อตรวจสอบแผนที่ เราพยายามระบุคุณลักษณะที่แยกแยะโปรไฟล์ทั้งหมดที่มีคะแนนX ที่กำหนด ดังนั้น เราพบว่าโปรไฟล์ที่มีX = 4 เท่านั้นที่แสดงถึงการดูทีวีในชั่วโมงที่สี่ โปรไฟล์ที่มี X = 3 ทั้งหมดจะมีค่า 1 ในชั่วโมงที่สามของการดู แต่มีค่า 0 ในชั่วโมงที่สี่ กล่าวคือ ชั่วโมงที่สามเป็นชั่วโมงที่ดูช้าที่สุดX = 2 จะถูกกำหนดให้กับโปรไฟล์ที่มีชั่วโมงที่ดูช้าที่สุดคือชั่วโมงที่สองเท่านั้น และสุดท้ายX = 1 สำหรับโปรไฟล์ 1000 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชั่วโมงแรกเป็นชั่วโมงเดียวและดูช้าที่สุด (โดยไม่สนใจโปรไฟล์ 0000 ของผู้ที่ไม่ได้ดูทีวีในช่วงเวลาที่กำหนด และสามารถกำหนดค่าเป็น (0,0) ในพื้นที่พิกัดนี้ได้) ดังนั้น จึงอาจสรุปได้ว่า ช่วงพิกัดX แทน j = ชั่วโมงล่าสุดในบรรดา 4 ชั่วโมงที่สังเกต ซึ่งมีการดูโทรทัศน์ ( j = 1, ..., 4) ในทำนองเดียวกัน พบว่าช่วงพิกัดX แทน 5 − kโดยที่k ( k = 1, ..., 4) คือชั่วโมงแรกสุดของการดูโทรทัศน์                 

อันที่จริง สำหรับข้อมูลชุดที่สังเกตได้ ซึ่งแสดงถึงลำดับการรับชมโทรทัศน์อย่างต่อเนื่อง การระบุเวลาการรับชมที่เริ่มต้นและสิ้นสุดที่สุด จะให้รายละเอียดที่ครบถ้วนเกี่ยวกับชั่วโมงการรับชม

ตัวอย่างที่ 3 แสดงให้เห็นถึงคุณลักษณะสำคัญของการวัดแบบหลายระดับด้วย POSAC ซึ่งทำให้กระบวนการนี้เป็นการวัดแบบหลายตัวแปรตามทฤษฎี:

• คะแนนสองค่าที่กำหนดโดย Multiple Scaling ให้กับโปรไฟล์ที่สังเกตได้ทุกโปรไฟล์—และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดให้กับทุกคนในกลุ่มตัวอย่างที่สังเกตได้—จะเข้ามาแทนที่คะแนนจำนวนมาก (สี่ค่าในตัวอย่างนี้) ของตัวแปรที่สังเกตได้ ในขณะที่ยังคงรักษาความสัมพันธ์เชิงลำดับที่สังเกตได้ทั้งหมด รวมถึงความไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ คะแนนใหม่นี้จะประเมินบุคคลที่สังเกตได้บนมาตราส่วนพิกัดสองมาตราส่วน ซึ่งถือว่าเป็นตัวแปรพื้นฐานของธรรมชาติ
• มาตราส่วนพิกัดทั้งสองมีความหมายโดยเนื้อแท้ที่เจาะลึกไปถึงความหมายที่สำคัญกว่าตัวแปรที่สังเกตได้เมื่อพิจารณาแยกกัน ในตัวอย่างนี้ ชั่วโมงแรกสุดและชั่วโมงสุดท้ายนั้นครอบคลุมแง่มุมที่สำคัญทั้งหมดของรูปแบบการดูโทรทัศน์แล้ว โดยพิจารณาจากชุดข้อมูลที่สังเกตได้เฉพาะเจาะจง
• แนวคิดที่ได้มาสำหรับมาตราส่วนพิกัดพื้นฐานที่ไม่สามารถสังเกตได้นั้นยังคงรักษา CMR ไว้ ซึ่งเป็นความหมายสำคัญที่ใช้ร่วมกันในตัวแปรที่สังเกตได้ทั้งหมด ในตัวอย่างนี้ CMR คือการดูทีวีมากขึ้น (เทียบกับน้อยลง) เพราะเมื่อพิจารณาตัวแปรที่สังเกตได้ แต่ละตัวจะบันทึกการดูทีวีสูง (1) เทียบกับต่ำ (0) ในชั่วโมงที่กำหนด และมาตราส่วนพิกัดที่ได้มาก็บันทึกการดูทีวีสูง (4) เทียบกับต่ำ (1) เช่นกัน เนื่องจากเมื่อปัจจัยอื่นๆ คงที่ ยิ่งชั่วโมงที่ดูทีวีดึกเท่าไหร่ ก็ยิ่งดูทีวีมากขึ้นเท่านั้น ( X ) และยิ่งชั่วโมงที่ดูทีวีเช้าเท่าไหร่ ก็ยิ่งดูทีวีมากขึ้นเท่านั้น ( X )

คุณลักษณะเหล่านี้ยังปรากฏอยู่ในแอปพลิเคชันที่ไม่ชัดเจนนัก เพื่อสร้างมาตราส่วนที่มีความหมายแปลกใหม่

ในทฤษฎีระบบของความยุติธรรมในการกระจาย (DJ) การจัดสรรทางเลือกของทรัพยากรทางการศึกษาจำนวนหนึ่ง (ชั่วโมงการสอนเสริม 100 ชั่วโมง) ระหว่างนักเรียนที่มีความสามารถและนักเรียนที่ด้อยโอกาส สามารถจำแนกได้เป็น 4 ประเภท โดยความชอบในแต่ละประเภทจะสะท้อนถึงทัศนคติ DJ ของแต่ละบุคคล: ^{[ 27 ]}

ความเท่าเทียมกัน ที่นักเรียนที่มีความสามารถพิเศษและนักเรียนที่ด้อยโอกาสได้รับทรัพยากรเสริมในปริมาณเท่ากัน

ความเป็นธรรม คือการที่นักเรียนที่ด้อยโอกาสได้รับทรัพยากรมากกว่านักเรียนที่มีความสามารถพิเศษ โดยพิจารณาตามสัดส่วนความอ่อนแอของพวกเขาเมื่อเทียบกับนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษ

หลักการจัดสรรทรัพยากรอย่างมีประสิทธิภาพ โดยให้นักเรียนที่มีความสามารถพิเศษได้รับทรัพยากรมากกว่านักเรียนที่ด้อยโอกาส (เพื่อส่งเสริมการมีส่วนร่วมต่อส่วนรวมในอนาคต)

มาตรการแก้ไข โดยที่นักเรียนที่ด้อยโอกาสจะได้รับทรัพยากรมากกว่านักเรียนที่มีความสามารถพิเศษ นอกเหนือจากสัดส่วนความอ่อนแอของนักเรียนที่ด้อยโอกาสเมื่อเทียบกับนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษ (เพื่อชดเชยความเสียเปรียบที่สะสมมาในอดีต)

หลังจากการตรวจสอบความถูกต้องของ Faceted SSA สำหรับโหมด DJ ทั้งสี่ ได้แก่ ความเท่าเทียม ความยุติธรรม ประโยชน์ใช้สอย และการแก้ไข ได้มีการสร้างโปรไฟล์โดยอิงจากตัวแปรทัศนคติ DJ แบบสองค่าแปดตัวแปรที่สังเกตได้จากกลุ่มตัวอย่างผู้ตอบแบบสอบถาม 191 คน โปรไฟล์ 35 จาก 256 โปรไฟล์ที่เป็นไปได้ในเชิงการรวมกันได้รับการสังเกตและวิเคราะห์โดย POSAC เพื่อให้ได้พื้นที่การวัดดังแสดงในรูปที่ 4 สำหรับแต่ละตัวแปร จะมีการคำนวณเส้นแบ่งที่เหมาะสมที่สุดซึ่งแยกคะแนนสูงออกจากคะแนนต่ำในตัวแปรนั้น (ตามหลักตรรกะ เส้นแบ่งต้องมีลักษณะเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่ไม่เพิ่มขึ้น) จากนั้น สำหรับทัศนคติทั้งสี่ประเภท จะมีการระบุเส้นแบ่งลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้:

ความเป็นธรรม—เส้นตรงแนวตั้ง;

ประโยชน์ใช้สอย—เส้นตรงแนวนอน;

ความเท่าเทียมกัน—เส้นตรงรูปตัว L;

การดำเนินการแก้ไข—เส้นรูปตัว L คว่ำ

ความสำคัญเชิงเนื้อหาของช่วงเวลาที่เกิดจากเส้นแบ่งเหล่านี้บนพิกัด X และพิกัด Y ของพื้นที่ POSAC ได้รับการระบุแล้ว และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดเนื้อหาของมาตราส่วนพิกัด X และ Y ของทัศนคติ DJ

มาตราส่วนพิกัด X ซึ่งตีความได้ว่าเป็นมาตราส่วนทัศนคติความยุติธรรมขั้นสูง:

• ช่วงที่ 1. ทัศนคติของดีเจที่ขาดความยุติธรรมและความเสมอภาค
• ช่วงที่ 2. ทัศนคติของดีเจที่เน้นความยุติธรรมต่ำและความเสมอภาคสูง
• ช่วงที่ 3. ทัศนคติของดีเจที่เน้นความยุติธรรมสูงและการดำเนินการแก้ไขต่ำ
• ช่วงที่ 4. ทัศนคติของดีเจที่เน้นความยุติธรรมสูงและการดำเนินการแก้ไขที่รวดเร็ว

กล่าวคือ ทัศนคติที่ส่งเสริมความเป็นธรรม แม้จะอยู่ในระดับต่ำ (ช่วงที่ 1 และ 2) ก็ยังคงมีอยู่บ้างเมื่อให้ความสำคัญกับความเท่าเทียมกัน (ช่วงที่ 2) และหากทัศนคติที่ส่งเสริมความเป็นธรรมอยู่ในระดับสูง (ช่วงที่ 3 และ 4) ก็จะไปถึงระดับสูงสุด (ช่วงที่ 4) เมื่อให้ความสำคัญกับการดำเนินการแก้ไข

มาตราส่วนพิกัด Y ซึ่งตีความได้ว่าเป็นมาตราส่วนทัศนคติเชิงประโยชน์ที่ได้รับการปรับปรุง :

• ช่วงที่ 1. ทัศนคติของดีเจที่มีประโยชน์น้อยและความเท่าเทียมต่ำ
• ช่วงที่ 2. ทัศนคติของดีเจที่เน้นประโยชน์ใช้สอยต่ำและความเท่าเทียมกันสูง
• ช่วงที่ 3. ประโยชน์สูงและการดำเนินการแก้ไขต่ำ ทัศนคติของดีเจ
• ช่วงที่ 4. ทัศนคติของดีเจที่มีประโยชน์สูงและดำเนินการแก้ไขสูง

กล่าวคือ ทัศนคติที่มุ่งเน้นประโยชน์ใช้สอยที่เพิ่มขึ้น แม้จะอยู่ในระดับต่ำ (ช่วงที่ 1 และ 2) ก็ยังคงมีอยู่บ้างเมื่อให้ความสำคัญกับความเท่าเทียมกัน (ช่วงที่ 2) หากทัศนคติที่มุ่งเน้นประโยชน์ใช้สอยที่เพิ่มขึ้นอยู่ในระดับสูง (ช่วงที่ 3 และ 4) ก็จะถึงระดับสูงสุด (ช่วงที่ 4) เมื่อให้ความสำคัญกับการดำเนินการแก้ไข (ซึ่งอาจสะท้อนถึงความรู้สึกที่ว่า ในระยะยาว การพัฒนาของนักเรียนที่ด้อยโอกาสจะเป็นประโยชน์ต่อส่วนรวม)

ความหมายของตัวแปรพื้นฐาน X และ Y แม้จะอาศัยแนวคิดเรื่องความยุติธรรมและประโยชน์ใช้สอยตามลำดับ แต่ก็ชี้ให้เห็นถึงแนวคิดใหม่ที่ปรับเปลี่ยนแนวคิดเหล่านั้น แนวคิดใหม่เหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อว่า ความยุติธรรมที่ได้รับการปรับปรุง (หรือขยายเพิ่มเติม) และประโยชน์ใช้สอยที่ได้รับการปรับปรุง (หรือขยายเพิ่มเติม)

เส้นแบ่งลำดับที่สูงกว่าพื้นที่การวัดแบบง่ายข้างต้นแสดงให้เห็นเส้นแบ่งที่เป็นเส้นตรงหรือมีส่วนโค้งหนึ่งส่วน พื้นที่การวัดที่ซับซ้อนกว่าจะเกิดขึ้นกับรายการที่มีเส้นแบ่งที่มีส่วนโค้งสองส่วนขึ้นไป^{[ 28 ]}

ในขณะที่พื้นที่ลำดับบางส่วนถูกใช้เป็นหลักในการวิเคราะห์โปรไฟล์คะแนน (โดยอิงจากแง่มุมช่วง) ภายใต้เงื่อนไขบางประการ พื้นที่เหล่านี้อาจนำไปใช้กับการวิเคราะห์โปรไฟล์เนื้อหา กล่าวคือ โปรไฟล์ที่อิงจากแง่มุมเนื้อหา^{[ 29 ]}

การเชื่อมโยงพื้นที่การวัด POSAC กับพื้นที่แนวคิด SSAพื้นที่การวัด POSAC และพื้นที่แนวคิด SSA แบบแบ่งชั้นมีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์โดยอาศัยเมทริกซ์ข้อมูลเดียวกัน ความสัมพันธ์ที่พิสูจน์แล้วนั้นอาศัยการแนะนำสัมประสิทธิ์ชนิดใหม่ E* ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงเชิงโครงสร้าง^{[ 4 ]}ในขณะที่ E* ประเมินความคล้ายคลึงแบบคู่ระหว่างตัวแปร แต่ก็ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงในตัวแปร n-2 ที่เหลือที่ประมวลผล กล่าวคือ ตามแนวคิดของทฤษฎีการแบ่งชั้น E* ขึ้นอยู่กับเนื้อหาที่สุ่มตัวอย่างรวมถึงประชากรที่สุ่มตัวอย่างด้วย ขั้นตอน LSA1 ภายในโปรแกรม POSAC/LSA แบบ 2 มิติ เป็น SSA เวอร์ชันพิเศษที่มี E* เป็นสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง และมีแลตติส ("บล็อกเมือง") เป็นฟังก์ชันระยะทาง ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด LSA1 สามารถหาได้ง่ายจากมาตราส่วนขอบเขตของการกำหนดค่า POSAC ซึ่งจะเน้นย้ำถึงความเป็นคู่ของพื้นที่แนวคิด/การวัด