ในการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์พื้นที่ที่เป็นไปได้เซตที่เป็นไปได้หรือพื้นที่คำตอบคือเซตของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เซตของค่าของตัวแปรตัวเลือก) ของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ ที่ตรงตาม ข้อจำกัดของปัญหาซึ่งอาจรวมถึงอสมการ ความ เท่าเทียมกันและข้อจำกัดจำนวนเต็ม^{[ 1 ]}นี่คือเซตเริ่มต้นของคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับปัญหา ก่อนที่เซตของคำตอบที่เป็นไปได้จะถูกจำกัดให้แคบลง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันโดยสัมพันธ์กับตัวแปร x และ y ภาย ใต้ เงื่อนไข y = 0 และ y = 1 โดยที่เซตที่เป็นไปได้คือเซตของคู่ (x, y) ซึ่งค่าของ x มีค่าอย่างน้อย 1 และอย่างมาก 10 และค่าของy มีค่าอย่างน้อย 5 และอย่างมาก 12 เซตที่เป็นไปได้ของปัญหานี้แยกต่างหากจากฟังก์ชันเป้าหมายซึ่งระบุเกณฑ์ที่จะต้องหาค่าที่เหมาะสมที่สุด และในตัวอย่างข้างต้นคือ y = 0${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle 1\leq x\leq 10}$${\displaystyle 5\leq y\leq 12.\,}$${\displaystyle x^{2}+y^{4}.}$

ในปัญหาหลายๆ ปัญหา เซตที่เป็นไปได้สะท้อนถึงข้อจำกัดที่ว่าตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวต้องมีค่าไม่เป็นลบ ใน ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงจำนวนเต็ม บริสุทธิ์ เซตที่เป็นไปได้คือเซตของจำนวนเต็ม (หรือเซตย่อยบางส่วนของจำนวนเต็ม) ใน ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเซตที่เป็นไปได้คือรูปหลายเหลี่ยมนูน : บริเวณในปริภูมิหลายมิติที่มีขอบเขตเป็นระนาบหลายมิติและมุมเป็นจุดยอด

การแก้ปัญหาข้อจำกัดคือกระบวนการค้นหาจุดภายในขอบเขตที่เป็นไปได้

เซต ที่เป็นไปได้ แบบนูนคือ เซตที่ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดที่เป็นไปได้สองจุดใดๆ จะผ่านเฉพาะจุดที่เป็นไปได้อื่นๆ เท่านั้น และไม่ผ่านจุดใดๆ ที่อยู่นอกเซตที่เป็นไปได้นั้น เซตที่เป็นไปได้แบบนูนเกิดขึ้นในปัญหาหลายประเภท รวมถึงปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น และมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เพราะหากปัญหามีฟังก์ชันเป้าหมายแบบนูนที่ต้องการลดค่าให้เหลือน้อยที่สุด โดยทั่วไปแล้วจะแก้ปัญหาได้ง่ายกว่าเมื่อมีเซตที่เป็นไปได้แบบนูน และค่าเหมาะสมที่สุดเฉพาะที่ ใดๆ ก็จะเป็นค่าเหมาะสมที่สุด โดยรวม ด้วย

หากข้อจำกัดของปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดนั้นขัดแย้งกันเอง จะไม่มีจุดใดที่ตรงตามข้อจำกัดทั้งหมด ดังนั้นขอบเขตที่เป็นไปได้จึงเป็นเซตว่างในกรณีนี้ ปัญหาจะไม่มีคำตอบและกล่าวได้ว่าเป็นปัญหาที่ไม่สามารถหาคำตอบได้

เซตที่เป็นไปได้อาจมีขอบเขตหรือไม่มีขอบเขตก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซตที่เป็นไปได้ที่กำหนดโดยเซตข้อจำกัด { x ≥ 0, y ≥ 0} นั้นไม่มีขอบเขต เพราะในบางทิศทางไม่มีข้อจำกัดว่าสามารถเคลื่อนที่ไปได้ไกลแค่ไหนจึงจะยังคงอยู่ในบริเวณที่เป็นไปได้ ในทางตรงกันข้าม เซตที่เป็นไปได้ที่เกิดจากเซตข้อจำกัด { x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2 y ≤ 4} นั้นมีขอบเขต เพราะขอบเขตของการเคลื่อนที่ในทิศทางใดๆ นั้นถูกจำกัดโดยข้อจำกัด

ในปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มี ตัวแปร nตัวเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการที่เซตที่เป็นไปได้จะมีขอบเขตจำกัดคือ จำนวนข้อจำกัดต้องมีอย่างน้อยn + 1 (ดังที่แสดงในตัวอย่างข้างต้น)

หากเซตที่เป็นไปได้ไม่มีขอบเขต อาจมีหรือไม่มีคำตอบที่เหมาะสมที่สุด ขึ้นอยู่กับรายละเอียดเฉพาะของฟังก์ชันเป้าหมาย ตัวอย่างเช่น หากขอบเขตที่เป็นไปได้ถูกกำหนดโดยเซตข้อจำกัด { x ≥ 0, y ≥ 0} ปัญหาการเพิ่มค่าx + y ให้ สูงสุดจะไม่มีคำตอบที่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากคำตอบที่เป็นไปได้ใด ๆ ก็สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้โดยการเพิ่มค่าxหรือyแต่ถ้าปัญหาคือ การหาค่า x + y ให้ต่ำสุด จะมีคำตอบที่เหมาะสมที่สุด (โดยเฉพาะที่ ( x , y ) = (0, 0))

ในการเพิ่มประสิทธิภาพและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์และในอัลกอริธึมการค้นหา (ซึ่งเป็นหัวข้อหนึ่งใน วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ) โซลูชันที่เป็นไปได้คือสมาชิกของเซตของโซลูชันที่เป็นไปได้ในขอบเขตที่เป็นไปได้ของปัญหาที่กำหนด^{[ 2 ]}โซลูชันที่เป็นไปได้ไม่จำเป็นต้องเป็นโซลูชันที่มีแนวโน้มหรือสมเหตุสมผลสำหรับปัญหา เพียงแต่เป็นส่วนหนึ่งของเซตที่ตรงตามข้อจำกัด ทั้งหมด นั่นคือ เป็นส่วนหนึ่งของเซตของโซลูชันที่เป็นไปได้อัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพประเภทต่างๆ มักจะจำกัดเซตของโซลูชันที่เป็นไปได้ให้เหลือเพียงเซตย่อยของโซลูชันที่เป็นไปได้ ซึ่งจุดต่างๆ ในเซตย่อยนี้จะยังคงเป็นโซลูชันที่เป็นไปได้ ในขณะที่โซลูชันที่เป็นไปได้อื่นๆ จะถูกตัดออกจากการเป็นโซลูชันที่เป็นไปได้ต่อไป

พื้นที่ของโซลูชันที่เป็นไปได้ทั้งหมด ก่อนที่จะมีการยกเว้นจุดที่เป็นไปได้ใดๆ เรียกว่า พื้นที่ที่เป็นไปได้ เซตที่เป็นไปได้ พื้นที่การค้นหา หรือพื้นที่โซลูชัน^{[ 2 ]}นี่คือเซตของโซลูชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตรงตามข้อจำกัดของปัญหาความพึงพอใจของข้อจำกัดคือกระบวนการค้นหาจุดในเซตที่เป็นไปได้

ในกรณีของอัลกอริธึมทางพันธุกรรมโซลูชันที่เป็นไปได้คือบุคคลในประชากรที่กำลังพัฒนาโดยอัลกอริธึม^{[ 3 ]}

ในแคลคูลัส การหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดนั้นทำได้โดยใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับแรก : อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดจะถูกกำหนดให้เท่ากับศูนย์ และค่าใดๆ ของตัวแปรที่เลือกซึ่งสอดคล้องกับสมการนี้จะถือว่าเป็นคำตอบที่เป็นไปได้ (ในขณะที่ค่าที่ไม่สอดคล้องจะถูกตัดออกจากการเป็นคำตอบที่เป็นไปได้) มีหลายวิธีที่คำตอบที่เป็นไปได้อาจไม่ใช่คำตอบที่แท้จริง ประการแรก อาจให้ค่าต่ำสุดเมื่อต้องการหาค่าสูงสุด (หรือในทางกลับกัน) และประการที่สอง อาจไม่ให้ทั้งค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด แต่กลับเป็นจุดอานม้าหรือจุดเปลี่ยนเว้าซึ่งเป็นจุดที่การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในบริเวณนั้นหยุดชั่วคราว คำตอบที่เป็นไปได้ดังกล่าวอาจถูกตัดออกได้โดยใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองซึ่งการสอดคล้องกับการทดสอบนี้เพียงพอที่จะทำให้คำตอบที่เป็นไปได้นั้นเป็นค่าที่เหมาะสมที่สุดอย่างน้อยในระดับท้องถิ่น ประการที่สาม คำตอบที่เป็นไปได้อาจเป็น ค่า ที่เหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่นแต่ไม่ใช่ ค่าที่เหมาะสมที่สุด ใน ระดับสากล

ในการหาอนุพันธ์ย้อนกลับของเอกนามในรูปแบบคำตอบที่เสนอโดยใช้สูตรการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของ Cavalieriจะเป็นคำตอบที่เสนอนี้ถูกต้องแล้ว ยกเว้นเมื่อ${\displaystyle x^{n},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}x^{n+1}+C.}$${\displaystyle n=-1.}$

ในวิธีการซิมเพล็กซ์สำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจุดยอด หนึ่ง ของรูปหลายเหลี่ยม ที่เป็นไปได้ จะถูกเลือกเป็นคำตอบที่เป็นไปได้เบื้องต้นและทดสอบหาค่าที่เหมาะสมที่สุด หากไม่พบว่าเป็นค่าที่เหมาะสมที่สุด จุดยอดที่อยู่ติดกันจะถูกพิจารณาเป็นคำตอบที่เป็นไปได้ถัดไป กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าจะพบคำตอบที่เป็นไปได้ค่าที่เหมาะสมที่สุด