โปรโตคอลFink ^{[ 1 ]} (หรือที่รู้จักกันในชื่อSuccessive Pairs ^{[ 2 ]}หรือLone Chooser ^{[ 3 ]} ) เป็นโปรโตคอลสำหรับการ แบ่ง เค้กตามสัดส่วน

ข้อได้เปรียบหลักคือสามารถดำเนินการในรูปแบบออนไลน์ได้โดยไม่ต้องทราบจำนวนหุ้นส่วนล่วงหน้า เมื่อมีหุ้นส่วนใหม่เข้าร่วม การแบ่งส่วนที่มีอยู่จะถูกปรับเพื่อให้ส่วนแบ่งที่เป็นธรรมแก่สมาชิกใหม่ โดยมีผลกระทบต่อหุ้นส่วนเดิมน้อยที่สุด

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีนี้คือ แทนที่จะให้ชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อกันเพียงชิ้นเดียวแก่คู่ค้าแต่ละราย กลับให้ "เศษชิ้นส่วน" จำนวนมากแก่คู่ค้าแต่ละราย

เราอธิบายขั้นตอนดังกล่าวโดยใช้วิธีอุปนัยสำหรับจำนวนคู่ค้าที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

เมื่อพาร์ทเนอร์หมายเลข 1 เข้ามาในงานปาร์ตี้ เขาจะหยิบเค้กไปทั้งก้อนเลย ดังนั้นมูลค่าของเขาจึงเท่ากับ 1

เมื่อคู่หูคนที่ 2 มาถึง คู่หูคนที่ 1 จะหั่นเค้กออกเป็นสองชิ้นที่เท่ากันในสายตาของเขา คู่หูคนใหม่จะเลือกชิ้นที่คิดว่าดีกว่า ดังนั้นมูลค่าของคู่หูแต่ละคนจึงอย่างน้อยเท่ากับ 1/2 (เช่นเดียวกับใน วิธี การแบ่งและเลือก )

เมื่อหุ้นส่วนคนที่ 3 เข้าร่วม หุ้นส่วนคนที่ 1 และ 2 จะแบ่งส่วนแบ่งของตนออกเป็น 3 ชิ้นที่เท่ากันในสายตาของทั้งสองฝ่าย หุ้นส่วนใหม่จะเลือกส่วนแบ่งหนึ่งชิ้นจากหุ้นส่วนแต่ละคน มูลค่าของส่วนแบ่งของหุ้นส่วนคนที่ 1 และ 2 แต่ละคนจะต้องมีอย่างน้อย 2/3 ของมูลค่าเดิม ซึ่งคือ 1/2 ดังนั้นมูลค่าใหม่ของพวกเขาจะต้องมีอย่างน้อย 1/3 หุ้นส่วนคนที่ 3 ประเมินมูลค่าส่วนแบ่งของหุ้นส่วนคนที่ 1 และ 2 ไว้ที่${\displaystyle v_{1}}$,${\displaystyle v_{2}}$, ที่ไหน${\displaystyle v_{1}+v_{2}=1}$มูลค่าของหุ้นส่วนหมายเลข 3 อย่างน้อยที่สุดคือ${\displaystyle {\frac {v_{1}}{3}}}$จากชิ้นส่วนหมายเลข 1 และอย่างน้อยที่สุด${\displaystyle {\frac {v_{2}}{3}}}$จากชิ้นส่วนหมายเลข 2 ซึ่งทำให้เขาได้เค้กอย่างน้อย 1/3 ของเค้กทั้งหมด

โดยทั่วไป เมื่อหุ้นส่วนคนที่iเข้าร่วมงานเลี้ยง หุ้นส่วนก่อนหน้าi -1 คนจะแบ่งส่วนแบ่งของตนออกเป็นiส่วนเท่าๆ กัน และหุ้นส่วนใหม่จะหยิบส่วนแบ่งจากแต่ละกอง เช่นเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่ามูลค่าของหุ้นส่วนแต่ละคนอย่างน้อยที่สุดต้องเท่ากับ 1/ nของมูลค่ารวมทั้งหมด ดังนั้นการแบ่งจึงเป็นสัดส่วนกัน

การใช้งานอัลกอริธึมแบบตรงไปตรงมาจะสร้างผลลัพธ์${\displaystyle n!}$ชิ้นส่วน แต่ในความเป็นจริงมีเพียงประมาณเท่านั้น${\displaystyle n^{3}/3}$สิ่งเหล่านี้จำเป็น เนื่องจากหุ้นส่วนแต่ละฝ่ายจำเป็นต้องทำเพียงแค่สิ่งที่จำเป็นเท่านั้น${\displaystyle n-1}$ตัดเมื่อ${\displaystyle n}$^{คู่รัก}ก็มาถึง

โปรโตคอลของฟิงค์ถูกนำไปใช้ในซับรูทีนในโปรโตคอลการตัดเค้กอื่นๆ:

• โปรโตคอลของวูดอลล์สำหรับการแบ่งสัดส่วนแบบพิเศษสำหรับผู้เล่น nคน
• ขั้นตอนการใช้มีดเคลื่อนย้ายของออสตินโดยมอบชิ้นส่วนที่หุ้นส่วนแต่ละคนให้คุณค่าอย่างแม่นยำให้แก่กัน${\displaystyle 1/n}$จากทั้งหมด