คณะรัฐมนตรีคาร์เนลล์ชุดแรกเป็นคณะรัฐมนตรีชุดที่ห้าของรัฐบาลเขตปกครองพิเศษออสเตรเลียนำโดยเคท คาร์เนลล์หัวหน้าคณะรัฐมนตรีจากพรรคเสรีนิยม และรองหัวหน้าคณะรัฐมนตรี สามคนต่อมา ได้แก่โทนี่ เดอ โดเมนิโกแกรี่ ฮัมฟรีส์และเทรเวอร์ เคนตามลำดับ คณะรัฐมนตรีชุดนี้เข้ารับตำแหน่งเมื่อวันที่ 15 มีนาคม 1995 หลังจากที่คาร์เนลล์นำพรรคเสรีนิยมคว้าชัยชนะในการเลือกตั้งเขตปกครองพิเศษออสเตรเลียครั้งแรกในประวัติศาสตร์ (ก่อนหน้านี้พรรคเคยดำรงตำแหน่งในรูปแบบพันธมิตรกับกลุ่มผู้อยู่อาศัยตั้งแต่ปี 1989 ถึง 1991 โดยมีเคนเป็นหัวหน้าคณะรัฐมนตรี ซึ่งเกิดขึ้นจากมติไม่ไว้วางใจ รัฐบาล แรงงาน ของ ฟอลเล็ต ที่ประสบความสำเร็จ )

หลังจากได้รับชัยชนะด้วยคะแนนเสียงข้างมากอย่างท่วมท้น คาร์เนลล์ได้แต่งตั้งคณะรัฐมนตรีชุดเต็มซึ่งประกอบด้วยสมาชิกจากพรรคเสรีนิยมโทนี่ เดอ โดเมนิโกสมาชิกใหม่เช่นกัน ได้รับการแต่งตั้งเป็นรองนายกรัฐมนตรีของคาร์เนลล์ พร้อมด้วยบิล สเตฟานิแอคในตำแหน่งรัฐมนตรีว่าการกระทรวงศึกษาธิการแกรี่ ฮัมฟรีย์สเป็นรัฐมนตรีเพียงคนเดียวที่ได้รับเลือกกลับมาจากรัฐบาลของเคน ได้รับการแต่งตั้งเป็นอัยการสูงสุด ส่วนเคนเอง ซึ่งเป็นฝ่ายตรงข้ามกับคาร์เนลล์ ก็ต้องนั่งอยู่ในที่นั่งธรรมดา

กระทรวงนี้มีการเปลี่ยนแปลงครั้งสำคัญครั้งหนึ่ง เมื่อในเดือนมกราคม ปี 1997 รองหัวหน้าคณะรัฐมนตรีโทนี่ เดอ โดเมนิโก ลาออกจากรัฐสภาอย่างกะทันหัน เพื่อไปรับตำแหน่งในภาคเอกชน ฮัมฟรีย์ส ซึ่งได้รับการสนับสนุนจากคาร์เนลล์ ได้สาบานตนเข้ารับตำแหน่งรองหัวหน้าคณะรัฐมนตรีชั่วคราวในวันที่ 9 มกราคม แต่พ่ายแพ้ให้กับเคนในการชิงตำแหน่งถาวร หลังจากการล็อบบี้อย่างหนักจากเคนและพันธมิตรของเขาภายในพรรค เคนจึงกลับเข้าสู่คณะรัฐมนตรีอีกครั้ง โดยรับตำแหน่งในกระทรวงเดิมของเดอ โดเมนิโก รวมถึงบทบาทรัฐมนตรีช่วยว่าการกระทรวงการคลัง (ซึ่งในขณะนั้นคือคาร์เนลล์)

คณะรัฐมนตรีชุดนี้ดำรงตำแหน่งจนถึงวันที่ 31 มีนาคม 1998 เมื่อคณะรัฐมนตรีชุดที่สองของคาร์เนลล์เข้ารับตำแหน่งหลังจากรัฐบาลคาร์เนลล์ได้รับเลือกตั้งอีกครั้งใน การเลือกตั้ง ปี1998

ช่วงเวลานี้ครอบคลุมตั้งแต่ 15 มีนาคม 1995 (เมื่อกระทรวงเข้ารับตำแหน่ง) ^{[ 1 ]}จนถึง 31 มกราคม 1997 เมื่อมีการปรับเปลี่ยนตำแหน่งครั้งสำคัญ มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยสองครั้งในช่วงเวลานี้ ประการแรก เมื่อวันที่ 28 มิถุนายน 1996 โทนี่ เดอ โดเมนิโกได้รับการแต่งตั้งให้ดำรงตำแหน่งรัฐมนตรีว่าการกระทรวงปฏิรูปกฎระเบียบ ซึ่งเป็นตำแหน่งใหม่ มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยสองครั้ง โดยมีการควบรวมกระทรวงที่ครอบคลุมด้านตำรวจและบริการฉุกเฉินสำหรับฮัมฟรีส์ และกระทรวงศึกษาธิการและการฝึกอบรมสำหรับสเตกานิแอค^{[ 2 ]}การเปลี่ยนแปลงครั้งที่สองเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 9 มกราคม 1997 เมื่อแกรี่ ฮัมฟรีส์ เข้า รับตำแหน่งรองหัวหน้าคณะรัฐมนตรีหลังจากที่โดเมนิโกประกาศอย่างกะทันหันว่าเขาจะรับข้อเสนอตำแหน่งในภาคเอกชน^{[ 3 ]}

ช่วงเวลานี้ครอบคลุมตั้งแต่ 31 มกราคม 1997 ^{[ 4 ]}จนถึง 31 มีนาคม 1998 ซึ่งเป็นวันที่คณะรัฐมนตรีชุดที่สองของคาร์เนลล์เข้ารับตำแหน่ง ในช่วงเวลานี้ ตำแหน่งรองหัวหน้าคณะรัฐมนตรีมีการแข่งขันกันอย่างดุเดือดในการต่อสู้ทางการเมืองระหว่างกลุ่มของคาร์เนลล์และเคน ฮัมฟรีย์เป็นผู้สมัครจากกลุ่มของคาร์เนลล์สำหรับตำแหน่งรองหัวหน้าคณะรัฐมนตรี เขาได้รับการแต่งตั้งโดยคาร์เนลล์ในตอนแรก หลังจากการลาออกของเดอ โดเมนิโก แต่เคนเอาชนะฮัมฟรีย์ในการลงคะแนนเสียงในที่ประชุมพรรค คาร์เนลล์ถูกบังคับให้ฮัมฟรีย์ถอนตัวออกไปเกือบสามสัปดาห์จนถึงวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 1997 ^{[ 5 ]}เมื่อพวกเขารวบรวมจำนวนสมาชิกกลุ่มเพื่อโค่นล้มเคน การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวในคณะรัฐมนตรีในช่วงเวลานี้คือตำแหน่งรองหัวหน้าคณะรัฐมนตรี