ในทางสถิติวิธีของฟิชเชอร์ [ 1 ^{] [ 2 ] หรือ}ที่รู้จักกันในชื่อ^การทดสอบความน่าจะเป็นแบบรวมของฟิชเชอร์เป็นเทคนิคสำหรับการรวมข้อมูลหรือ " การวิเคราะห์เชิงเมตา " (การวิเคราะห์ของการวิเคราะห์) วิธีนี้ได้รับการพัฒนาและตั้งชื่อตามโรนัลด์ ฟิชเชอร์ในรูปแบบพื้นฐาน ใช้เพื่อรวมผลลัพธ์จากการทดสอบความเป็นอิสระ หลายรายการที่เกี่ยวข้องกับ สมมติฐานโดยรวมเดียวกัน( H )

วิธีของฟิชเชอร์รวมค่าความน่าจะ เป็นสุดขั้วจากแต่ละการทดสอบ ^ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า " ค่าp " เข้าเป็น ค่าสถิติการทดสอบเดียว( X² ) โดยใช้สูตร

${\displaystyle X_{2k}^{2}=-2\sum _{i=1}^{k}\ln p_{i},}$

โดยที่p คือ ค่า pสำหรับ การทดสอบสมมติฐาน ^ที่iเมื่อ ค่า pมีแนวโน้มเล็ก ค่าสถิติการทดสอบX ²จะมีค่ามาก ซึ่งบ่งชี้ว่าสมมติฐานว่างไม่เป็นจริงสำหรับการทดสอบทุกครั้ง

เมื่อสมมติฐานว่างทั้งหมดเป็นจริง และค่าp (หรือสถิติการทดสอบที่เกี่ยวข้อง) เป็นอิสระต่อกัน ค่าX ²จะมีการแจกแจงแบบไคกำลัง สองที่มี องศาอิสระ 2 k โดยที่kคือจำนวนการทดสอบที่นำมารวมกัน ข้อเท็จจริงนี้สามารถนำมาใช้ในการกำหนด ค่า pสำหรับX ²ได้

การแจกแจงของX²เป็นการแจกแจงแบบไคกำลังสองด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ภายใต้สมมติฐานว่างสำหรับการทดสอบⁱ ค่า p i จะเป็นการแจกแจงแบบเอกรูปใน [0,1] ลอการิทึม ลบ ของค่าที่แจกแจงแบบเอกรูปจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลการปรับขนาดค่าที่เป็นไปตามการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลด้วยตัวประกอบสองจะได้ปริมาณที่เป็นไปตามการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มีสององศาอิสระ สุดท้าย ผลรวมของ ค่าไคกำลังสองอิสระ kค่า แต่ละค่ามีสององศาอิสระ จะเป็นไปตามการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มี 2k องศาอิสระ

โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์ระหว่างการทดสอบทางสถิติจะเป็น^ไปในเชิงบวก ซึ่งหมายความว่า ค่า pของX²จะมีค่าน้อยเกินไป (ไม่เป็นไปตามหลักการอนุรักษ์นิยม) หากไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์ดังกล่าว ดังนั้น หากใช้วิธีของฟิชเชอร์สำหรับการทดสอบอิสระในบริบทที่มีความสัมพันธ์กัน และ ค่า pไม่น้อยพอที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่าง ข้อสรุปนั้นก็จะยังคงอยู่แม้ว่าจะไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์อย่างเหมาะสมก็ตาม อย่างไรก็ตาม หากไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์ในเชิงบวก และ พบว่าค่า p ของการวิเคราะห์เมตา (meta-analysis ) มีค่าน้อย หลักฐานที่ขัดแย้งกับสมมติฐานว่างโดยทั่วไปจะถูกกล่าวเกินจริงอัตราการค้นพบที่ผิดพลาดโดยเฉลี่ย${\displaystyle \alpha (k+1)/(2k)}$,${\displaystyle \alpha }$เมื่อลดค่าสำหรับ การทดสอบอิสระ kครั้ง หรือมีความสัมพันธ์เชิงบวก อาจเพียงพอที่จะควบคุมค่าอัลฟา เพื่อการเปรียบเทียบที่มีประโยชน์กับค่า pที่เล็กเกินไปจากการทดสอบ^X² ของ Fisher 

ในกรณีที่การทดสอบไม่เป็นอิสระต่อกันการแจกแจงแบบ nullของX²จะซับซ้อนมากขึ้น กลยุทธ์ทั่วไปคือการประมาณการแจกแจงแบบ null ด้วยตัวแปรสุ่มที่มี^การแจกแจง^แบบχ² ที่ปรับขนาดแล้ว อาจใช้วิธีการที่แตกต่างกันไป ขึ้นอยู่กับว่าทราบค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างค่าp ที่แตกต่างกันหรือไม่

วิธีของ Brown ^{[ 3 ]}สามารถใช้เพื่อรวม ค่า p ที่ขึ้นอยู่กัน ซึ่งสถิติการทดสอบพื้นฐานมีการกระจายแบบปกติหลายตัวแปร ที่มี เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่ทราบวิธีของ Kost ^{[ 4 ]}ขยายวิธีของ Brown เพื่อให้สามารถรวม ค่า p ได้ เมื่อเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นที่ทราบเพียงแค่ปัจจัยการคูณสเกลาร์เท่านั้น

ค่าpเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นทางเลือกแทนวิธีของ Fisher สำหรับการรวม ค่า pเมื่อโครงสร้างการพึ่งพาไม่เป็นที่รู้จัก แต่ไม่สามารถถือว่าการทดสอบเป็นอิสระต่อกันได้^{[ 5 ] [ 6 ]}

วิธีการของฟิชเชอร์มักใช้กับชุดสถิติการทดสอบอิสระ ซึ่งโดยปกติมาจากงานวิจัยแยกต่างหากที่มีสมมติฐานว่างเดียวกัน สมมติฐานว่างของการวิเคราะห์เมตาคือ สมมติฐานว่างแยกต่างหากทั้งหมดเป็นจริง สมมติฐานทางเลือกของการวิเคราะห์เมตาคือ อย่างน้อยหนึ่งใน สมมติฐาน ทางเลือก แยกต่างหาก เป็นจริง

ในบางสถานการณ์ การพิจารณาความเป็นไปได้ของ "ความแตกต่างหลากหลาย" (heterogeneity) อาจมีความเหมาะสม ซึ่งหมายถึงสมมติฐานหลักอาจเป็นจริงในบางการศึกษาแต่ไม่ใช่ในการศึกษาอื่น หรือสมมติฐานทางเลือกที่แตกต่างกันอาจเป็นจริงในการศึกษาที่แตกต่างกัน เหตุผลทั่วไปสำหรับความแตกต่างหลากหลายในรูปแบบหลังนี้คือขนาดของผลกระทบอาจแตกต่างกันไปในแต่ละประชากร ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุดการศึกษาทางการแพทย์ที่ตรวจสอบความเสี่ยงของการรับประทานอาหารที่มีกลูโคสสูงต่อการเกิดโรคเบาหวาน ชนิดที่ 2 เนื่องจากปัจจัยทางพันธุกรรมหรือสิ่งแวดล้อม ความเสี่ยงที่แท้จริงที่เกี่ยวข้องกับระดับการบริโภคกลูโคสที่กำหนดอาจสูงกว่าในบางประชากรมากกว่าในประชากรอื่น

ในสถานการณ์อื่นๆ สมมติฐานทางเลือกอาจเป็นเท็จโดยสิ้นเชิง หรือเป็นจริงโดยสิ้นเชิง กล่าวคือไม่มีความเป็นไปได้ที่มันจะเป็นจริงในบางสถานการณ์แต่ไม่เป็นจริงในสถานการณ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการทดลองหลายๆ อย่างที่ออกแบบมาเพื่อทดสอบกฎทางฟิสิกส์เฉพาะอย่างหนึ่ง ความคลาดเคลื่อนใดๆ ในผลลัพธ์จากการศึกษาหรือการทดลองที่แยกจากกันจะต้องเกิดจากความบังเอิญ ซึ่งอาจเกิดจากความแตกต่างของกำลังการทดสอบ

ในกรณีของการวิเคราะห์เมตาโดยใช้การทดสอบแบบสองด้าน เป็นไปได้ที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่างของการวิเคราะห์เมตา แม้ว่าการศึกษาแต่ละชิ้นจะแสดงผลกระทบที่ชัดเจนในทิศทางที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เรากำลังปฏิเสธสมมติฐานที่ว่าสมมติฐานว่างเป็นจริงในทุกการศึกษา แต่ไม่ได้หมายความว่ามีสมมติฐานทางเลือกที่เป็นเอกภาพที่ใช้ได้กับทุกการศึกษา ดังนั้น การวิเคราะห์เมตาแบบสองด้านจึงมีความไวต่อความแตกต่างในสมมติฐานทางเลือกเป็นพิเศษ การวิเคราะห์เมตาแบบด้านเดียวสามารถตรวจจับความแตกต่างในขนาดของผลกระทบได้ แต่จะมุ่งเน้นไปที่ทิศทางของผลกระทบที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเพียงทิศทางเดียว

แนวทางที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีของ Fisher คือ Stouffer's Z ซึ่งอิงตามคะแนน Z แทนที่จะ เป็นค่า pทำให้สามารถรวมน้ำหนักการศึกษาได้ วิธีนี้ตั้งชื่อตามนักสังคมวิทยาSamuel A. Stouffer [ ^{7 ] ถ้า} เราให้Z   = Φ ^{− 1} ( p ) โดยที่Φ คือ ฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติมาตรฐานแล้ว   

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}{\sqrt {k}}},}$

เป็นค่า Z-score สำหรับการวิเคราะห์เมตาโดยรวม ค่า Z-score นี้เหมาะสมสำหรับ ค่า p แบบหางขวาด้านเดียว สามารถทำการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยได้หาก กำลังวิเคราะห์ค่า p แบบสองด้านหรือหางซ้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากกำลังวิเคราะห์ค่า pแบบสองด้านจะใช้ ค่า pแบบสองด้าน( pi 1- pi หาก ใช้ค่าpแบบหางซ้าย^{[ 8 ]}

เนื่องจากวิธีของ Fisher อิงตามค่าเฉลี่ยของ ค่า − log( p ) และวิธี Z-score อิงตามค่าเฉลี่ยของ ค่า Z ความสัมพันธ์ระหว่างสองวิธีนี้จึงมาจากความสัมพันธ์ระหว่างzและ− log( p )  = − log(1 − Φ ( z )) สำหรับการแจกแจงแบบปกติ ค่าทั้งสองนี้ไม่ได้มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงอย่างสมบูรณ์ แต่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงสูงในช่วงค่า Z ที่พบได้บ่อยที่สุด ตั้งแต่ 1 ถึง 5 ดังนั้น ประสิทธิภาพของวิธี Z-score จึงเกือบจะเท่ากับประสิทธิภาพของวิธี Fisher 

ข้อดีอย่างหนึ่งของวิธีการ Z-score คือสามารถกำหนดน้ำหนักได้อย่างง่ายดาย ^{[ 9 ] [ 10 ]} หากZ-score ^ที่ i ถูกถ่วงน้ำหนักด้วย w แล้ว Z-score ของการวิเคราะห์เมตาจะเป็น

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}w_{i}Z_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}w_{i}^{2}}}},}$

ซึ่งเป็นไปตามการแจกแจงปกติมาตรฐานภายใต้สมมติฐานว่าง ในขณะที่สามารถหาค่าสถิติของฟิชเชอร์แบบถ่วงน้ำหนักได้ แต่การแจกแจงภายใต้สมมติฐานว่างจะกลายเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าสถิติไคกำลังสองอิสระ ซึ่งใช้งานได้ไม่สะดวกนัก

• การขยายวิธีการของฟิชเชอร์
• แหล่งข้อมูลทางเลือกสำหรับบันทึกของฟิชเชอร์ในปี 1948:
• สูตรคำนวณค่า Z ของ Fisher, Stouffer และสูตรคำนวณค่า Z ที่เกี่ยวข้องอื่นๆ ถูกนำมาใช้ใน แพ็กเกจ metap ในภาษา R