In statistics, Fisher's method,^[1][2] also known as Fisher's combined probability test, is a technique for data fusion or "meta-analysis" (analysis of analyses). It was developed by and named for Ronald Fisher. In its basic form, it is used to combine the results from several independence tests bearing upon the same overall hypothesis (H).

Fisher's method combines extreme value probabilities from each test, commonly known as "p-values", into one test statistic (X²) using the formula

${\displaystyle X_{2k}^{2}=-2\sum _{i=1}^{k}\ln p_{i},}$

where p is the p-value for the i^th hypothesis test. When the p-values tend to be small, the test statistic X² will be large, which suggests that the null hypotheses are not true for every test.

When all the null hypotheses are true, and the p (or their corresponding test statistics) are independent, X² has a chi-squared distribution with 2kdegrees of freedom, where k is the number of tests being combined. This fact can be used to determine the p-value for X².

การแจกแจงของX²เป็นการแจกแจงแบบไคกำลังสองด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ภายใต้สมมติฐานว่างสำหรับการทดสอบⁱ ค่า p i จะเป็นการแจกแจงแบบเอกรูปใน [0,1] ลอการิทึม ลบ ของค่าที่แจกแจงแบบเอกรูปจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลการปรับขนาดค่าที่เป็นไปตามการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลด้วยตัวประกอบสองจะได้ปริมาณที่เป็นไปตามการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มีสององศาอิสระ สุดท้าย ผลรวมของ ค่าไคกำลังสองอิสระ kค่า แต่ละค่ามีสององศาอิสระ จะเป็นไปตามการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มี 2k องศาอิสระ

โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์ระหว่างการทดสอบทางสถิติจะเป็น^ไปในเชิงบวก ซึ่งหมายความว่า ค่า pของX²จะมีค่าน้อยเกินไป (ไม่เป็นไปตามหลักการอนุรักษ์นิยม) หากไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์ดังกล่าว ดังนั้น หากใช้วิธีของฟิชเชอร์สำหรับการทดสอบอิสระในบริบทที่มีความสัมพันธ์กัน และ ค่า pไม่น้อยพอที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่าง ข้อสรุปนั้นก็จะยังคงอยู่แม้ว่าจะไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์อย่างเหมาะสมก็ตาม อย่างไรก็ตาม หากไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์ในเชิงบวก และ พบว่าค่า p ของการวิเคราะห์เมตา (meta-analysis ) มีค่าน้อย หลักฐานที่ขัดแย้งกับสมมติฐานว่างโดยทั่วไปจะถูกกล่าวเกินจริงอัตราการค้นพบที่ผิดพลาดโดยเฉลี่ย${\displaystyle \alpha (k+1)/(2k)}$,${\displaystyle \alpha }$เมื่อลดค่าสำหรับ การทดสอบอิสระ kครั้ง หรือมีความสัมพันธ์เชิงบวก อาจเพียงพอที่จะควบคุมค่าอัลฟา เพื่อการเปรียบเทียบที่มีประโยชน์กับค่า pที่เล็กเกินไปจากการทดสอบ^X² ของ Fisher 

ในกรณีที่การทดสอบไม่เป็นอิสระต่อกันการแจกแจงแบบ nullของX²จะซับซ้อนมากขึ้น กลยุทธ์ทั่วไปคือการประมาณการแจกแจงแบบ null ด้วยตัวแปรสุ่มที่มี^การแจกแจง^แบบχ² ที่ปรับขนาดแล้ว อาจใช้วิธีการที่แตกต่างกันไป ขึ้นอยู่กับว่าทราบค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างค่าp ที่แตกต่างกันหรือไม่

วิธีของ Brown ^{[ 3 ]}สามารถใช้เพื่อรวม ค่า p ที่ขึ้นอยู่กัน ซึ่งสถิติการทดสอบพื้นฐานมีการกระจายแบบปกติหลายตัวแปร ที่มี เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่ทราบวิธีของ Kost ^{[ 4 ]}ขยายวิธีของ Brown เพื่อให้สามารถรวม ค่า p ได้ เมื่อเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นที่ทราบเพียงแค่ปัจจัยการคูณสเกลาร์เท่านั้น

ค่าpเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นทางเลือกแทนวิธีของ Fisher สำหรับการรวม ค่า pเมื่อโครงสร้างการพึ่งพาไม่เป็นที่รู้จัก แต่ไม่สามารถถือว่าการทดสอบเป็นอิสระต่อกันได้^{[ 5 ] [ 6 ]}

วิธีการของฟิชเชอร์มักใช้กับชุดสถิติการทดสอบอิสระ ซึ่งโดยปกติมาจากงานวิจัยแยกต่างหากที่มีสมมติฐานว่างเดียวกัน สมมติฐานว่างของการวิเคราะห์เมตาคือ สมมติฐานว่างแยกต่างหากทั้งหมดเป็นจริง สมมติฐานทางเลือกของการวิเคราะห์เมตาคือ อย่างน้อยหนึ่งใน สมมติฐาน ทางเลือก แยกต่างหาก เป็นจริง

ในบางสถานการณ์ การพิจารณาความเป็นไปได้ของ "ความแตกต่างหลากหลาย" (heterogeneity) อาจมีความเหมาะสม ซึ่งหมายถึงสมมติฐานหลักอาจเป็นจริงในบางการศึกษาแต่ไม่ใช่ในการศึกษาอื่น หรือสมมติฐานทางเลือกที่แตกต่างกันอาจเป็นจริงในการศึกษาที่แตกต่างกัน เหตุผลทั่วไปสำหรับความแตกต่างหลากหลายในรูปแบบหลังนี้คือขนาดของผลกระทบอาจแตกต่างกันไปในแต่ละประชากร ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุดการศึกษาทางการแพทย์ที่ตรวจสอบความเสี่ยงของการรับประทานอาหารที่มีกลูโคสสูงต่อการเกิดโรคเบาหวาน ชนิดที่ 2 เนื่องจากปัจจัยทางพันธุกรรมหรือสิ่งแวดล้อม ความเสี่ยงที่แท้จริงที่เกี่ยวข้องกับระดับการบริโภคกลูโคสที่กำหนดอาจสูงกว่าในบางประชากรมากกว่าในประชากรอื่น

ในสถานการณ์อื่นๆ สมมติฐานทางเลือกอาจเป็นเท็จโดยสิ้นเชิง หรือเป็นจริงโดยสิ้นเชิง กล่าวคือไม่มีความเป็นไปได้ที่มันจะเป็นจริงในบางสถานการณ์แต่ไม่เป็นจริงในสถานการณ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการทดลองหลายๆ อย่างที่ออกแบบมาเพื่อทดสอบกฎทางฟิสิกส์เฉพาะอย่างหนึ่ง ความคลาดเคลื่อนใดๆ ในผลลัพธ์จากการศึกษาหรือการทดลองที่แยกจากกันจะต้องเกิดจากความบังเอิญ ซึ่งอาจเกิดจากความแตกต่างของกำลังการทดสอบ

ในกรณีของการวิเคราะห์เมตาโดยใช้การทดสอบแบบสองด้าน เป็นไปได้ที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่างของการวิเคราะห์เมตา แม้ว่าการศึกษาแต่ละชิ้นจะแสดงผลกระทบที่ชัดเจนในทิศทางที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เรากำลังปฏิเสธสมมติฐานที่ว่าสมมติฐานว่างเป็นจริงในทุกการศึกษา แต่ไม่ได้หมายความว่ามีสมมติฐานทางเลือกที่เป็นเอกภาพที่ใช้ได้กับการศึกษาทั้งหมด ดังนั้น การวิเคราะห์เมตาแบบสองด้านจึงมีความไวต่อความแตกต่างในสมมติฐานทางเลือกเป็นพิเศษ การวิเคราะห์เมตาแบบด้านเดียวสามารถตรวจจับความแตกต่างในขนาดของผลกระทบได้ แต่จะมุ่งเน้นไปที่ทิศทางของผลกระทบที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเพียงทิศทางเดียว

แนวทางที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีของ Fisher คือ Stouffer's Z ซึ่งอิงตามคะแนน Z แทนที่จะ เป็นค่า pทำให้สามารถรวมน้ำหนักการศึกษาได้ วิธีนี้ตั้งชื่อตามนักสังคมวิทยาSamuel A. Stouffer [ ^{7 ] ถ้า} เราให้Z   = Φ ^{− 1} ( p ) โดยที่Φ คือ ฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติมาตรฐานแล้ว   

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}{\sqrt {k}}},}$

เป็นค่า Z-score สำหรับการวิเคราะห์เมตาโดยรวม ค่า Z-score นี้เหมาะสมสำหรับ ค่า p แบบหางขวาด้านเดียว สามารถทำการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยได้หาก กำลังวิเคราะห์ค่า p แบบสองด้านหรือหางซ้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากกำลังวิเคราะห์ค่า pแบบสองด้านจะใช้ ค่า pแบบสองด้าน( pi 1- pi หาก ใช้ค่าpแบบหางซ้าย^{[ 8 ]}

เนื่องจากวิธีของ Fisher อิงตามค่าเฉลี่ยของ ค่า − log( p ) และวิธี Z-score อิงตามค่าเฉลี่ยของ ค่า Z ความสัมพันธ์ระหว่างสองวิธีนี้จึงมาจากความสัมพันธ์ระหว่างzและ− log( p )  = − log(1 − Φ ( z )) สำหรับการแจกแจงแบบปกติ ค่าทั้งสองนี้ไม่ได้มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงอย่างสมบูรณ์ แต่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงสูงในช่วงค่า Z ที่พบได้บ่อยที่สุด ตั้งแต่ 1 ถึง 5 ดังนั้น ประสิทธิภาพของวิธี Z-score จึงเกือบจะเท่ากับประสิทธิภาพของวิธี Fisher 

ข้อดีอย่างหนึ่งของวิธีการ Z-score คือสามารถกำหนดน้ำหนักได้อย่างง่ายดาย ^{[ 9 ] [ 10 ]} หากZ-score ^ที่ i ถูกถ่วงน้ำหนักด้วย w แล้ว Z-score ของการวิเคราะห์เมตาจะเป็น

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}w_{i}Z_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}w_{i}^{2}}}},}$

ซึ่งเป็นไปตามการแจกแจงปกติมาตรฐานภายใต้สมมติฐานว่าง ในขณะที่สามารถหาค่าสถิติของฟิชเชอร์แบบถ่วงน้ำหนักได้ แต่การแจกแจงภายใต้สมมติฐานว่างจะกลายเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าสถิติไคกำลังสองอิสระ ซึ่งใช้งานได้ไม่สะดวกนัก

• การขยายวิธีการของฟิชเชอร์
• แหล่งข้อมูลทางเลือกสำหรับบันทึกของฟิชเชอร์ในปี 1948:
• สูตรคำนวณค่า Z ของ Fisher, Stouffer และสูตรคำนวณค่า Z ที่เกี่ยวข้องอื่นๆ ถูกนำมาใช้ใน แพ็กเกจ metap ในภาษา R