ตัวจำกัดฟลักซ์ถูกใช้ในวิธีการคำนวณความละเอียดสูงซึ่งเป็นวิธีการเชิงตัวเลขที่ใช้แก้ปัญหาในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งพลศาสตร์ของไหลที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) มีการใช้ตัวจำกัดฟลักซ์ในวิธีการคำนวณความละเอียดสูง เช่นวิธีการ MUSCLเพื่อหลีกเลี่ยงการแกว่ง (wiggles) ที่ไม่พึงประสงค์ ซึ่งอาจเกิดขึ้นกับวิธีการแยกส่วนเชิงพื้นที่ลำดับสูงเนื่องจากคลื่นกระแทก ความไม่ต่อเนื่อง หรือการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในโดเมนของคำตอบ การใช้ตัวจำกัดฟลักซ์ร่วมกับวิธีการคำนวณความละเอียดสูงที่เหมาะสม จะทำให้คำตอบมีค่าความแปรผันรวมลดลง (TVD)

โปรดทราบว่า ตัวจำกัดฟลักซ์บางครั้งเรียกว่าตัวจำกัดความชันเนื่องจากทั้งสองมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน และทั้งสองมีผลในการจำกัดความชันของคำตอบใกล้กับคลื่นกระแทกหรือความไม่ต่อเนื่อง โดยทั่วไป คำว่า ตัวจำกัดฟลักซ์ ใช้เมื่อตัวจำกัดนั้นกระทำต่อฟลักซ์ ของระบบ และคำว่า ตัวจำกัดความชัน ใช้เมื่อตัวจำกัดนั้นกระทำต่อสถานะ ของระบบ (เช่น ความดัน ความเร็ว เป็นต้น)

แนวคิดหลักเบื้องหลังการสร้างแผนการจำกัดฟลักซ์คือการจำกัดอนุพันธ์เชิงพื้นที่ให้อยู่ในค่าที่สมจริง – สำหรับปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม โดยทั่วไปหมายถึงค่าที่สามารถเกิดขึ้นได้จริงและมีความหมายในทางกายภาพ แผนการเหล่านี้ใช้ในแผนการที่มีความละเอียดสูงสำหรับการแก้ปัญหาที่อธิบายโดยสมการอนุพันธ์ย่อย และจะทำงานก็ต่อเมื่อมีหน้าคลื่นที่คมชัดเท่านั้น สำหรับคลื่นที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบเรียบ แผนการจำกัดฟลักซ์จะไม่ทำงาน และอนุพันธ์เชิงพื้นที่สามารถแสดงได้ด้วยการประมาณลำดับที่สูงกว่าโดยไม่ก่อให้เกิดการแกว่งที่ไม่พึงประสงค์ พิจารณาแผนการกึ่งดิสครีต 1 มิติด้านล่างนี้

${\displaystyle {\frac {du_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)-F\left(u_{i-{1}/{2}}\right)\right]=0,}$

โดยที่และแทนฟลักซ์ขอบสำหรับ เซลล์ที่ iหากฟลักซ์ขอบเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วย รูปแบบความละเอียด ต่ำและสูงตัวจำกัดฟลักซ์สามารถสลับระหว่างรูปแบบเหล่านี้ได้ขึ้นอยู่กับความชันใกล้กับเซลล์นั้นๆ ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)}$${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)}$

$${\displaystyle F\left(u_{i+1/2}\right)=f_{i+1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i}\right)\left(f_{i+1/2}^{\text{low}}-f_{i+1/2}^{\text{high}}\right),}$$$${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)=f_{i-1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i-1}\right)\left(f_{i-1/2}^{\text{low}}-f_{i-1/2}^{\text{high}}\right),}$$

ที่ไหน

• ${\displaystyle f^{\text{low}}}$คือฟลักซ์ที่มีความละเอียดต่ำ
• ${\displaystyle f^{\text{high}}}$คือฟลักซ์ที่มีความละเอียดสูง
• ${\displaystyle \phi \ (r)}$คือฟังก์ชันจำกัดฟลักซ์ และ
• ${\displaystyle r}$แสดงถึงอัตราส่วนของค่าความชันที่ต่อเนื่องกันบนตาข่ายคำตอบ กล่าวคือ$${\displaystyle r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.}$$

ฟังก์ชันตัวจำกัดถูกจำกัดให้มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ. ดังนั้น เมื่อตัวจำกัดมีค่าเท่ากับศูนย์ (ความชันสูง ความชันตรงข้าม หรือความชันเป็นศูนย์) ฟลักซ์จะถูกแสดงด้วยแผนผังความละเอียดต่ำในทำนองเดียวกัน เมื่อตัวจำกัดมีค่าเท่ากับ 1 (คำตอบที่ราบเรียบ) ฟลักซ์จะถูกแสดงด้วยแผนผังความละเอียดสูงตัวจำกัดต่างๆ มีลักษณะการสลับที่แตกต่างกัน และจะถูกเลือกตามปัญหาและแผนผังการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นๆ ยังไม่มีตัวจำกัดใดที่ใช้งานได้ดีกับทุกปัญหา และโดยปกติแล้วการเลือกตัวจำกัดจะทำโดยการลองผิดลองถูก ${\displaystyle \phi \ (r)\geq 0}$

ต่อไปนี้คือรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันจำกัดฟลักซ์/ความชัน: ${\displaystyle \phi (r)}$

• CHARM [ไม่ใช่ TVD ลำดับที่ 2] ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \phi _{cm}(r)={\begin{cases}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}},&r>0,&\lim _{r\to \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,&r\leq 0\end{cases}}}$$
• HCUS [ไม่ใช่ TVD ลำดับที่ 2] ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+2\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hc}(r)=3.}$$
• HQUICK [ไม่ใช่ TVD ลำดับที่ 2] ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+3\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hq}(r)=4.}$$
• Koren ^{[ 3 ]} – แม่นยำลำดับที่สามสำหรับข้อมูลที่เรียบเพียงพอ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,{\dfrac {(1+2r)}{3}},2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{kn}(r)=2.}$$
• minmod – สมมาตร^{[ 5 ]}$${\displaystyle \phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mm}(r)=1.}$$
• ศูนย์กลางแบบโมโนโทน (MC) – สมมาตร^{[ 6 ]}$${\displaystyle \phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mc}(r)=2.}$$
• โอเชอร์^{[ 7 ]}$${\displaystyle \phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{os}(r)=\beta .}$$
• ospre – สมมาตร^{[ 2 ]}$${\displaystyle \phi _{op}(r)={\frac {1.5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^{2}+r+1\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{op}(r)=1.5\,.}$$
• สมาร์ท [ไม่ใช่ TVD ลำดับที่ 2] ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),4\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sm}(r)=4.}$$
• ซูเปอร์บี – สมมาตร^{[ 5 ]}$${\displaystyle \phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r,2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sb}(r)=2.}$$
• Sweby – สมมาตร^{[ 9 ]}$${\displaystyle \phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sw}(r)=\beta .}$$
• UMIST – สมมาตร^{[ 10 ]}$${\displaystyle \phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),\left(0.75+0.25r\right),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{um}(r)=2.}$$
• ฟาน อัลบาดา 1 – สมมาตร^{[ 11 ]}$${\displaystyle \phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va1}(r)=1.}$$
• van Albada 2 – รูปแบบทางเลือก [ไม่ใช่ TVD ลำดับที่ 2] ที่ใช้ในแผนผังลำดับเชิงพื้นที่สูง^{[ 12 ]}$${\displaystyle \phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va2}(r)=0.}$$
• แวน เลียร์ – สมมาตร^{[ 13 ]}$${\displaystyle \phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{vl}(r)=2.}$$
• ตัวจำกัดทั้งหมดข้างต้นที่ระบุว่ามีความสมมาตรแสดงคุณสมบัติความสมมาตรดังต่อไปนี้$${\displaystyle {\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right).}$$

นี่เป็นคุณสมบัติที่พึงประสงค์ เนื่องจากช่วยให้มั่นใจได้ว่าการจำกัดการเปลี่ยนแปลงไปข้างหน้าและย้อนกลับจะทำงานในลักษณะเดียวกัน

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ฟังก์ชันจำกัดข้างต้นเป็นฟังก์ชันจำกัดแบบTVD อันดับสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเหล่านี้ได้รับการออกแบบให้ผ่านบริเวณหนึ่งของคำตอบที่เรียกว่าบริเวณ TVD เพื่อรับประกันเสถียรภาพของวิธีการ ฟังก์ชันจำกัดแบบ TVD อันดับสองต้องเป็นไปตามเกณฑ์อย่างน้อยดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle r\leq \phi (r)\leq 2r,\left(0\leq r\leq 1/2\right)\ }$,
• ${\displaystyle r\leq \phi (r)\leq 1,\left(1/2\leq r\leq 1\right)\ }$,
• ${\displaystyle \phi (1)=1\ }$,
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq r,\left(1\leq r\leq 2\right)\ }$,
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq 2,\left(r>2\right)\ }$,

ขอบเขตตัวจำกัดที่ยอมรับได้สำหรับแผนการ TVD ลำดับที่สองแสดงอยู่ในแผนภาพ Swebyด้านตรงข้าม^{[ 9 ]}และพล็อตที่แสดงฟังก์ชันตัวจำกัดที่ซ้อนทับบนขอบเขต TVD แสดงอยู่ด้านล่าง ในภาพนี้ พล็อตสำหรับตัวจำกัด Osher และ Sweby ได้รับการสร้างขึ้นโดยใช้ ${\displaystyle \beta =1.5}$

ตัวจำกัดเพิ่มเติมที่มีรูปแบบที่น่าสนใจคือตระกูลตัวจำกัด minmod แบบพารามิเตอร์เดียวของ van-Leer ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ $${\displaystyle \phi _{mg}(r,\theta )=\max \left(0,\min \left(\theta r,{\frac {1+r}{2}},\theta \right)\right),\quad \theta \in \left[1,2\right].}$$

หมายเหตุ: จะมีการสูญเสียพลังงานมากที่สุดเมื่อลดรูปเป็นและมีการสูญเสียพลังงานน้อยที่สุดเมื่อ ${\displaystyle \phi _{mg}}$${\displaystyle \theta =1,}$${\displaystyle \phi _{mm},}$${\displaystyle \theta =2}$

• ทฤษฎีบทของโกดูนอฟ
• แผนผังความละเอียดสูง
• โครงการ MUSCL
• เซอร์เกย์ เค. โกดูนอฟ
• ความผันแปรโดยรวมลดลง

• Laney, Culbert B. (1998), พลศาสตร์ของก๊าซเชิงคำนวณ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-57069-5
• LeVeque, Randall (1990), วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับกฎการอนุรักษ์ , ชุดบรรยายคณิตศาสตร์ ETH, Birkhauser-Verlag, ISBN 3-7643-2464-3
• LeVeque, Randall (2002), วิธีปริมาตรจำกัดสำหรับปัญหาไฮเปอร์โบลิก , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 0-521-00924-3
• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics (ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, ISBN 3-540-65966-8
• Tannehill, John C.; Anderson, Dale Arden; Pletcher, Richard H. (1997), กลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณและการถ่ายเทความร้อน (ฉบับที่ 2), Taylor and Francis, ISBN 1-56032-046-X
• Wesseling, Pieter (2001), หลักการของพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ , Springer-Verlag, ISBN 3-540-67853-0